王文杰，楊火其，孫逸豪

(浙江省水利河口研究院，杭州 310020)

經(jīng)典的土力學(xué)書籍均將板樁的土力學(xué)計算與擋土墻編寫在一起，其基本思路是板樁因樁后承受土壓力而發(fā)生水平移動的趨勢，使板樁兩側(cè)分別產(chǎn)生主動和被動土壓力，然后采用力和力矩平衡條件建立方程，再利用已知條件聯(lián)立解出板樁的入土深度?；谶@一思路，目前普遍采用圖解法求解。這種解題方法基本上都假定板樁為剛性物體。對于截面尺寸較大且長度較短的板樁，這樣做基本符合實際，但對于截面尺寸較小且長度較長的板樁，則該假定便顯得不盡合理，此時應(yīng)將其視作彈性物體考慮?！锻亮W(xué)》教材采用板樁發(fā)生彈性變形的力學(xué)模型推導(dǎo)出板樁入土深度計算方程組的，但該方程組存在兩個方面的問題：其一是它采用力和力矩極限平衡條件建立方程式，所得結(jié)果是極限平衡解，并沒有考慮到工程設(shè)計中常用的安全系數(shù)，所以無法在工程設(shè)計中直接采用。

1-a 板樁計算模型 1-b 板樁變形圖1 板樁受力分析簡圖Fig.1 Sheet pile stress analysis

本文根據(jù)武漢水利電力大學(xué)出版的《土力學(xué)》[2]中的板樁受力模型，重新推導(dǎo)出力和力矩極限平衡方程式，然后參照有關(guān)規(guī)范，采用穩(wěn)定安全系數(shù)對力和力矩極限平衡方程進行修正，得出可供工程設(shè)計者直接應(yīng)用的板樁入土深度計算方程。

1 板樁受力情況分析

圖1-a是較常見的板樁受力情況，將多根板樁扣接起來便成為板樁墻，它可用作永久性或臨時性的擋土結(jié)構(gòu)，屬于受彎構(gòu)件，其撓度曲線如圖1-b所示。

板樁的結(jié)構(gòu)形式可分為懸臂式與錨定式兩大類，本文僅就如圖1-a、1-b所示的懸臂式板樁進行分析。

板樁受水平力F作用而發(fā)生變形，使緊鄰地面以下一段板樁所受的土壓力與F力反向，而更深處的板樁所受的土壓力又與F力同向，如圖1-a所示。由于土壓力是板樁推動土體而產(chǎn)生的，所以合壓力應(yīng)為被動土壓力和主動土壓力之差。假定合壓力從地面向下按(EP-EA)比例線性增大到某點m達(dá)到最大值，此點距樁底端的距離為z，然后按線性比例減小到零，至n點，此點距樁底端的距離為z′，再往下則合壓力反向，且逐漸按線性比例增大，至樁底端達(dá)到最大。

2 板樁極限平衡方程式的推導(dǎo)

根據(jù)學(xué)者們的研究[3-10]，板樁穩(wěn)定與多種因素有關(guān)，如抗力系數(shù)、樁基承載力、分項系數(shù)、承載力可靠指標(biāo)等，均對板樁的穩(wěn)定性產(chǎn)生影響，需要綜合分析研究。

2.1 土壓力及力臂

如圖1-a所示，板樁受3個力的作用而處于極限平衡狀態(tài)，即向左的集中力F、淺層向右的三角形分布力和深層向左的三角形分布力。

(1)向左的集中力。

集中力F的作用點在板樁頂端，計算時將地面以上部分的土壓力轉(zhuǎn)換成等效的集中力。力臂(系指力的作用點距板樁底端距離，下同)為(h+d)。

(2)淺層向右力。

m點以上部分力

該力力臂為

m點以下部分力

該力力臂

(3)深層向左力。

該力力臂

2.2 極限平衡方程式的推導(dǎo)

力以向左為正，力矩以逆時針方向旋轉(zhuǎn)為正。

力極限平衡方程

整理后得

(1)

力矩極限平衡方程

整理后得

(2)

式中：z為淺層與F反向的土壓力最大值距樁底端的距離，m；

d為板樁外側(cè)刷深后的灘面距樁底端的距離，m；

h為樁頂距刷深后灘面的距離，m；

F為樁頂集中力，將灘面以上部分土壓力轉(zhuǎn)換成等效集中力，kN/m；

γ為土體容重，水下用浮容重，kN/m3；

Ka為主動土壓力系數(shù)，Ka=tan2(45-φ/2)；

Kp為被動土壓力系數(shù)，Kp=tan2(45+φ/2)；

c為土內(nèi)聚力，kPa；

φ為土的磨擦角，(°)。

3 板樁入土深度方程

方程式(1)和(2)是板樁處于極限平衡條件下導(dǎo)得的方程式，所以不能在工程設(shè)計中直接應(yīng)用。根據(jù)《地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范》規(guī)定，抗水平滑動穩(wěn)定安全系數(shù)KF≥1.3，抗傾覆穩(wěn)定安全系數(shù)KM≥1.5。顯然，力平衡方程式中的向左力促使板樁發(fā)生水平滑動，而向右力則阻止板樁發(fā)生水平滑動，故可在該方程式的各向左力項中分別乘以抗水平滑動穩(wěn)定安全系數(shù)KF，其值可取1.3；力矩平衡方程中逆時針旋轉(zhuǎn)的力矩促使板樁發(fā)生傾覆，而順時針旋轉(zhuǎn)的力矩則為阻止板樁發(fā)生傾覆，故可在各逆時針力矩項中乘以抗傾覆穩(wěn)定安全系數(shù)KM，計算時可取1.5。用上述系數(shù)對方程式(1)和(2)進行修正，則得工程設(shè)計中計算板樁入土深度方程為

(3)

(4)

式中：KF為抗水平滑動穩(wěn)定安全系數(shù)，據(jù)《地基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范》規(guī)定，KF≥1.3；

KM為抗傾覆穩(wěn)定安全系數(shù)，據(jù)《地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范》規(guī)定，KM≥1.5；其余符號同前。

方程式(3)和(4)便是計算板樁入土深度d的方程式，方程組中未知數(shù)為d和z，由于該方程組為二階擬線性方程組，故一般采用試算法求解。根據(jù)《理論土力學(xué)》(美)太沙基著板樁計算一章，板樁實際入土深度值可將計算值放大20%，即為1.2 d。

4 板樁最大彎矩確定

根據(jù)《材料力學(xué)》，最大彎矩發(fā)生在剪切力為零處(即圖1中的n點)，該斷面彎矩為

(5)

5 板樁入土深度方程式驗證

用《工程地質(zhì)手冊》(第五版)第二章關(guān)于懸臂支護樁設(shè)計一節(jié)的計算實例來驗證板樁入土深度方程的有效性。

該書介紹了常用的三種方法—圖表法、圖解法和試算法。其中試算法的基本思路大體與作者的類同，即均考慮了穩(wěn)定安全系數(shù)和板樁入土深度的附加值。現(xiàn)利用該書P798頁例題二，分別用試算法和本文的方法進行計算。

圖2 板樁計算非彈性模型Fig.2 Sheet pile calculation inelastic model

5.1 試算法

(1)解題步驟。

如圖2所示，試算步驟分為：

①先假定插入深度為d1，計算繞e點的力矩，使凈被動土壓力DEF所產(chǎn)生的抵抗力矩為凈主動土壓力ACD所產(chǎn)生力矩的1.5～2.0倍；

②然后將d1增加15%，作為實際需要的插入深度。

(2)計算實例。

選取《工程地質(zhì)手冊》(第五版)P798頁的例題二。

①已知條件。

表面均布荷載q=9 kN/m3，H=6.5 m，c=0，φ=30°，地下水高程-5.5 m，濕容重γ=18 kN/m3，浮容重γ′=8 kN/m3。

②計算步驟及結(jié)果。

設(shè)d1=11 m，則繞e點逆時針力矩Me=253 kN·m，順時針力矩Me=276 kN·m，安全系數(shù)k=1.09<1.5，不滿足要求。

再設(shè)d1=12.5 m，則繞點逆時針力矩Me=283 kN·m，順時針力矩Me=434 kN·m，安全系數(shù)k=1.53>1.5，滿足要求。故實際入土深度d=12.5×1.15=14.38 m。

5.2 作者方法

(1)計算條件。

計算條件同上。

(2)計算結(jié)果。

運用本文介紹的方程式(3)～(4)，采用計算機計算得d1=11.7 m，板樁實際入土深度d=11.7×1.15=13.5 m。

由此可知，兩者計算結(jié)果相近，說明本文介紹的方程可在工程初步設(shè)計中應(yīng)用。

6 應(yīng)用實例

本文作者在承擔(dān)《浙江省上虞市標(biāo)準(zhǔn)海塘工程(呂家埠—花宮段)初步設(shè)計》課題任務(wù)時，對底腳防沖方案比較曾進行板樁結(jié)構(gòu)計算及技術(shù)經(jīng)濟比較，板樁入土深度及最大彎矩計算時采用方程(3)～(5)。從工程多年運行情況看，計算結(jié)果安全可靠。計算過程如下：

(1)計算條件。

板樁頂高程3.0 m(1985國家基準(zhǔn)，下同)，板樁出露高度3.0 m；設(shè)計低水位3.05 m，故采用浮容重，γ=7.6 kN/m3；土體的力學(xué)指標(biāo)為c=14.6 kPa,φ=6.1°。

(2)計算結(jié)果。

將以上已知條件代入方程式(3)～式(5)，采用試算法求得d=4.2 m，z=2.76 m，Ep=220 kN/m，EA=26.5 kN/m，F(xiàn)=5.0 kN/m，Mmax=260 kN·m。

板樁護腳措施已在浙江省錢塘江海塘北岸險段標(biāo)準(zhǔn)塘工程海寧段建設(shè)中被采用。它既能防止底腳淘刷，又能適當(dāng)提高海塘整體穩(wěn)定性。

7 結(jié)論

本文根據(jù)板樁受力分析，采用極限平衡方程式，推導(dǎo)出板樁入土深度方程，然后采用《工程地質(zhì)手冊》中的相關(guān)算例進行驗證，計算結(jié)果與其相近。最后，采用工程實例對板樁入土深度方程進行應(yīng)用。結(jié)果表明，經(jīng)過工程多年運行實踐，認(rèn)為計算結(jié)果安全可靠。