候繼倉(cāng)　孫波

項(xiàng)目情境分析

本案例選自上?？萍冀逃霭嫔绲慕滩摹缎畔⒓夹g(shù)（必修1 數(shù)據(jù)與計(jì)算）》第三單元算法與程序設(shè)計(jì)之項(xiàng)目七：以計(jì)算圓周率為例——設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單數(shù)值數(shù)據(jù)算法。該項(xiàng)目通過(guò)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單數(shù)值型數(shù)據(jù)算法解決計(jì)算圓周率問(wèn)題，對(duì)程序三種控制結(jié)構(gòu)進(jìn)行深入探究，并通過(guò)比較不同算法的運(yùn)行時(shí)間感受算法效率，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)對(duì)程序或算法進(jìn)行優(yōu)化。本項(xiàng)目引導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域的思想方法界定問(wèn)題，抽象特征，并能設(shè)計(jì)合理的算法形成解決問(wèn)題的方案，有效促進(jìn)計(jì)算思維素養(yǎng)的逐步養(yǎng)成。

圓周率π是一個(gè)在數(shù)學(xué)及物理學(xué)中常用的數(shù)學(xué)常數(shù)，它是圓的周長(zhǎng)與直徑的比值，也等于圓的面積與半徑平方之比。π是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，可以借助計(jì)算機(jī)編程，利用歐拉公式、沃利斯公式及隨機(jī)投點(diǎn)法等方法來(lái)計(jì)算圓周率，并可比較不同算法的效率，有意識(shí)地對(duì)算法和程序進(jìn)行優(yōu)化。

項(xiàng)目活動(dòng)安排

1.活動(dòng)1：用沃利斯公式計(jì)算圓周率

活動(dòng)要求：

（1）給出幾個(gè)簡(jiǎn)單的累乘或累加公式，如5！=5*4*3*2*1，s1=1+3+5+7+9，s2=1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32，分別討論它們的通項(xiàng)及累乘或累加變量的初值。

（2）分析沃利斯公式可知，這是一個(gè)累乘問(wèn)題，通過(guò)觀察找出通項(xiàng)公式，確定累乘變量的初值，確定控制循環(huán)的方法。注意：通項(xiàng)公式并不唯一，因此累乘變量初值和循環(huán)控制方法也會(huì)相應(yīng)發(fā)生改變。

（3）分組討論，結(jié)合循環(huán)控制方法，分別用自然語(yǔ)言和流程圖描述沃利斯公式求解π的算法。

（4）根據(jù)小組討論確定的算法，使用for循環(huán)或while循環(huán)編寫(xiě)Python程序，并調(diào)試運(yùn)行。

2.活動(dòng)2：對(duì)比兩種計(jì)算圓周率的算法

活動(dòng)要求：

（1）改寫(xiě)數(shù)學(xué)公式法求解圓周率的程序設(shè)計(jì)，要求可以輸入精確度要求，并輸出運(yùn)行時(shí)間。

（2）多次運(yùn)行程序，改變limit的值，得到不同的圓周率近似值，并在表格3-4中記錄每次的運(yùn)行結(jié)果。

（3）改寫(xiě)隨機(jī)投點(diǎn)法的程序，要求可以輸入總投點(diǎn)數(shù)，并輸出運(yùn)行時(shí)間。

（4）多次運(yùn)行程序，改變總投點(diǎn)數(shù)，得到不同的圓周率近似值，并用表格3-4記錄每次的運(yùn)行結(jié)果。

（5）對(duì)比兩種算法計(jì)算圓周率的運(yùn)行情況，并填寫(xiě)表格3-5。

3.拓展思考

（1）用歐拉公式和沃利斯公式計(jì)算圓周率的時(shí)候，對(duì)累加器或累乘器變量初值的設(shè)置有什么不同？

（2）在隨機(jī)投點(diǎn)法中，隨著總投點(diǎn)數(shù)的增加，圓周率的值有什么變化？如何使圓周率的值更加精確？

（3）在日常生活中，哪些事情是反復(fù)操作的？類(lèi)似于本節(jié)課學(xué)習(xí)的循環(huán)程序設(shè)計(jì)，你能舉兩個(gè)例子嗎？

4.活動(dòng)實(shí)施說(shuō)明

（1）圓周率π是一個(gè)在數(shù)學(xué)及物理學(xué)中常用的數(shù)學(xué)常數(shù)，在這個(gè)問(wèn)題的計(jì)算上，一代一代的數(shù)學(xué)家貢獻(xiàn)出了自己的智慧，本項(xiàng)目中分別給出了歐拉公式、沃利斯公式和計(jì)算機(jī)模擬隨機(jī)投點(diǎn)法來(lái)計(jì)算圓周率，讓學(xué)生通過(guò)Python編程來(lái)實(shí)現(xiàn)用計(jì)算機(jī)從不同的方法和角度來(lái)解決問(wèn)題，并對(duì)解決問(wèn)題的效率進(jìn)行比較，從而實(shí)現(xiàn)“運(yùn)用基本算法設(shè)計(jì)解決問(wèn)題的方案，能使用編程或其他數(shù)字化工具實(shí)現(xiàn)這一方案”的目標(biāo)。

（2）活動(dòng)1的難點(diǎn)是提取問(wèn)題的基本特征，進(jìn)行抽象處理，并用形式化的方法表述問(wèn)題，重點(diǎn)是設(shè)計(jì)算法、理解并掌握如何構(gòu)建一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)解決問(wèn)題。該項(xiàng)目適用于學(xué)科核心素養(yǎng)要求在水平2的教學(xué)場(chǎng)合。

在本活動(dòng)中，s=s*item這個(gè)式子為累乘的通項(xiàng)公式，對(duì)上述沃利斯公式來(lái)說(shuō)，item的一種表示方式是item=（i/（i-1））*（i/（i+1）），i從2開(kāi)始，每次增加2。解決本問(wèn)題需要重復(fù)進(jìn)行的工作就是：①構(gòu)造item值，即item=（i/（i-1））*（i/（i+1）），i=i+2;②累乘item到s，即s=s*item。這里的循環(huán)控制條件是變量i的值達(dá)到指定值。i的初值為2，終值自己設(shè)定，每次加2。上述累乘算法可用自然語(yǔ)言描述，具體如圖1所示。

活動(dòng)1中用流程圖描述算法時(shí)，要注意強(qiáng)調(diào)循環(huán)結(jié)構(gòu)的畫(huà)法，如圖2所示。

（3）分別用for循環(huán)和while循環(huán)的程序設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)沃利斯公式計(jì)算圓周率，對(duì)比兩種循環(huán)的不同點(diǎn)（如圖3）。本次兩種循環(huán)均為確定次數(shù)的循環(huán)，for循環(huán)此時(shí)采用遍歷結(jié)構(gòu)中元素的個(gè)數(shù)來(lái)體現(xiàn)。while循環(huán)可以實(shí)現(xiàn)確定次數(shù)的循環(huán)，也可以實(shí)現(xiàn)不確定次數(shù)的循環(huán)。

（4）活動(dòng)2是在活動(dòng)1的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，通過(guò)對(duì)兩種算法做簡(jiǎn)單的改寫(xiě)和對(duì)比，讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題，確定算法，并正確組織問(wèn)題解決過(guò)程中涉及的各種數(shù)據(jù)，體驗(yàn)不同算法的效率。程序中涉及到了Python對(duì)函數(shù)庫(kù)的引用方法，格式是：from〈庫(kù)名〉import〈函數(shù)名〉。

Python語(yǔ)言中time庫(kù)是處理時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)庫(kù)，math庫(kù)用于進(jìn)行科學(xué)計(jì)算，均為Python自帶庫(kù)，安裝好Python之后可直接導(dǎo)入，不需另外安裝。clock（）函數(shù)以浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算的秒數(shù)返回當(dāng)前的CPU時(shí)間。兩次調(diào)用clock（）用來(lái)衡量不同程序的耗時(shí)。

（5）程序中用到了關(guān)系與運(yùn)算符，特別要注意的是，Python中使用“=”表示賦值語(yǔ)句，使用“==”表示“等于”。此外，Python語(yǔ)言中支持連續(xù)比較，如判斷x是否為100和200之間的一個(gè)數(shù)，其表達(dá)式為：100<=x>=200。

（6）注意在完成表3-4時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，運(yùn)行程序，輸入相同的limit值，會(huì)得到相同的pi的值，但是每次得到的運(yùn)行時(shí)間是不一樣的，這與系統(tǒng)運(yùn)行的外部環(huán)境相關(guān)。在完成表格3-5時(shí)，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)這一比較的前提是在數(shù)據(jù)規(guī)模相同的情況下進(jìn)行的。

（7）拓展思考（1）的意義在于讓學(xué)生理解在用計(jì)算機(jī)解決相同問(wèn)題時(shí)，根據(jù)算法的不同，其初值的設(shè)置是不一樣的。拓展思考（2）是為了讓學(xué)生體驗(yàn)隨機(jī)投點(diǎn)法在數(shù)據(jù)量較小的情況下，不確定性很大，但是隨著數(shù)據(jù)規(guī)模的增大，結(jié)果也越來(lái)越精確。拓展思考（3）是為了實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，總結(jié)利用計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的過(guò)程和方法，并遷移到與之相關(guān)的其他問(wèn)題解決中去。

項(xiàng)目學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.學(xué)科核心素養(yǎng)目標(biāo)

能夠采用計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域的思想方法界定問(wèn)題、抽象特征;運(yùn)用合理的算法形成解決問(wèn)題的方案;總結(jié)利用計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的過(guò)程和方法，并遷移到與之相關(guān)的其他問(wèn)題的解決中。

2.內(nèi)容目標(biāo)

從生活實(shí)例出發(fā)，概述算法的概念與特征，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)拿枋龇椒ê涂刂平Y(jié)構(gòu)表示簡(jiǎn)單算法。掌握一種程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言的基本知識(shí)，使用程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單算法。通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，體驗(yàn)程序設(shè)計(jì)的基本流程，感受算法的效率，掌握程序調(diào)試與運(yùn)行的方法。

3.學(xué)業(yè)目標(biāo)

依據(jù)解決問(wèn)題的需要，設(shè)計(jì)和表示簡(jiǎn)單算法;掌握一種程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言的基本知識(shí)，利用程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單算法，解決實(shí)際問(wèn)題。

4.課時(shí)建議

活動(dòng)1共2課時(shí)，建議連堂進(jìn)行?；顒?dòng)2在活動(dòng)1進(jìn)行完之后開(kāi)展，時(shí)間為2課時(shí)。