☉趙維華

拓?fù)鋵W(xué)家張素誠(chéng)提出：“數(shù)學(xué)中的許多問(wèn)題，其靈魂往往來(lái)自幾何”。幾何直觀是借助于圖形描述，實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題的形象化展示，便于探究解題思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要盡量多借用幾何直觀，順應(yīng)小學(xué)生形象化思維特點(diǎn)，來(lái)討論和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)課堂中的問(wèn)題，多源于生活實(shí)踐，對(duì)于抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，往往可以從生活中尋找相應(yīng)的邏輯模型。幾何直觀作為一種數(shù)學(xué)教學(xué)方法，有助于學(xué)生掌握“授人以漁”的方法。

一、從“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)中融入幾何直觀

在數(shù)學(xué)里，“數(shù)”與“代數(shù)”是基礎(chǔ)?！皵?shù)”本身是抽象的，與生活實(shí)踐緊密關(guān)聯(lián)，從“數(shù)”中來(lái)表示實(shí)際事物。同樣，對(duì)于“代數(shù)”也是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)。華羅庚提出：“數(shù)以形而直觀，形以數(shù)而入微”。可見(jiàn)，對(duì)“數(shù)”的認(rèn)識(shí)，應(yīng)該讓學(xué)生從直觀化的“形”入手，來(lái)增進(jìn)數(shù)學(xué)思維意識(shí)。在了解了整數(shù)后，小數(shù)的學(xué)習(xí)是對(duì)“數(shù)”概念的延伸，但對(duì)于小學(xué)生，小數(shù)的理解往往更為抽象，不易理解。在數(shù)的本質(zhì)上，小數(shù)也是分?jǐn)?shù)的一種特殊形式，也是基于分?jǐn)?shù)概念而構(gòu)建的。由于學(xué)生年齡小，對(duì)小數(shù)的意義存在理解偏差，使得學(xué)生在理解零點(diǎn)幾與十分之幾、零點(diǎn)幾幾與百分之幾，零點(diǎn)幾幾幾與千分之幾等關(guān)系時(shí)更難。在學(xué)習(xí)“小數(shù)的意義”時(shí)，教學(xué)的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)有：一是對(duì)“1”的認(rèn)識(shí)；二是對(duì)小數(shù)單位的認(rèn)識(shí)；三是通過(guò)直觀方法來(lái)展示1位小數(shù)、2位小數(shù)、3位小數(shù)。通過(guò)對(duì)“1”的平分，可以分成10份、100份，1000份，這個(gè)過(guò)程可以進(jìn)行形象直觀展示，由此得到取其幾份，就是整體的幾分之幾。同樣，在對(duì)其關(guān)鍵點(diǎn)講解時(shí)，對(duì)于十分位與十分之幾，百分位與百分之幾，千分位與千分之幾的認(rèn)識(shí)，我們可以通過(guò)小正方體的組合結(jié)構(gòu)，將整體看作單位“1”，如果平分兩份，則每份為0.5或者1/2；如果平分10份、100份、1000份，則得到十分之幾，百分之幾，千分之幾。在這個(gè)過(guò)程中，我們可以讓學(xué)生自己動(dòng)手在小正方體上進(jìn)行涂色，幫助學(xué)生理解0.1、0.01、0.001的概念。同樣，由此可以延伸0.3、0.5；延伸0.02、0.06，以及0.25、0.35等小數(shù)，還可以通過(guò)涂色，來(lái)認(rèn)識(shí)0.001、0.005，以及0.100、0.150等小數(shù)。從而建立一位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)所對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)幾、零點(diǎn)幾幾、零點(diǎn)幾幾幾，以及十分之幾、百分之幾、千分之幾等概念。

二、從“圖形與幾何”教學(xué)中融入幾何直觀

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，“圖形與幾何”教學(xué)模塊主要考查學(xué)生的空間意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)空間想象、聯(lián)想能力。在學(xué)習(xí)圖形時(shí)，同樣可以結(jié)合幾何方法，引入幾何直觀教學(xué)思路，來(lái)展現(xiàn)圖形知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生從中鍛煉空間思維。在小學(xué)階段，圓是最先接觸的曲邊圖形，也是教學(xué)難點(diǎn)。對(duì)于圓的學(xué)習(xí)，有面積計(jì)算方法。圓的面積公式如何進(jìn)行推導(dǎo)也是教學(xué)的重點(diǎn)。在認(rèn)識(shí)圓概念時(shí)，我們導(dǎo)入一個(gè)特殊的概念“π”，在對(duì)圓進(jìn)行圖形直觀轉(zhuǎn)化上，很難將之與規(guī)則圖形建立關(guān)聯(lián)，所以，推導(dǎo)圓的面積，與前期所學(xué)的三角形、平行四邊形面積具有較大差異。事實(shí)上，在對(duì)圓面積的延伸學(xué)習(xí)中，還涉及“有限”與“無(wú)限”的概念，也是小學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)。一些教材在展示圓面積推導(dǎo)公式時(shí)，往往通過(guò)有限均分，將圓轉(zhuǎn)化為直邊圖形，但對(duì)于分割后剩下的“弧”則并未說(shuō)明，導(dǎo)致學(xué)生疑惑重重。為此，在解決該類(lèi)問(wèn)題時(shí)，我們要向?qū)W生展示“無(wú)限”分割的思想，要讓學(xué)生理解“化曲為直”時(shí)所存在的“弧”問(wèn)題。一方面，我們可以數(shù)學(xué)多媒體動(dòng)畫(huà)，將以動(dòng)畫(huà)直觀展示將“圓”進(jìn)行多次均分后，拼接成不同的長(zhǎng)方形、三角形、梯形等結(jié)構(gòu)過(guò)程；另一方面，我們通過(guò)分發(fā)學(xué)生16塊圓的分割圖形，讓學(xué)生自己動(dòng)手拼圖，將其轉(zhuǎn)換為直邊圖形，從中體會(huì)“化曲為直”的過(guò)程，再結(jié)合多媒體，將圓進(jìn)行均分32份、64份、128份、1000份等所拼接的圖形進(jìn)行展示，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”的道理。

三、從“概率與統(tǒng)計(jì)”教學(xué)中融入幾何直觀

“概率與統(tǒng)計(jì)”也是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要板塊知識(shí)，其教學(xué)目標(biāo)在于引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)收集、整理、分析數(shù)學(xué)信息，了解數(shù)據(jù)處理的方法。引入幾何直觀，讓學(xué)生從生產(chǎn)生活實(shí)踐中，認(rèn)識(shí)“概率與統(tǒng)計(jì)”知識(shí)，加深對(duì)其理解和應(yīng)用。如在學(xué)習(xí)扇形統(tǒng)計(jì)圖時(shí)，從扇形本身可以展示“部分”與“整體”的關(guān)系，讓學(xué)生從“部分”中來(lái)獲取相關(guān)信息，做出判斷與決策。扇形統(tǒng)計(jì)圖是實(shí)踐中常用的數(shù)量關(guān)系表示方法，對(duì)于扇形統(tǒng)計(jì)圖，可以將之與圓、按比例分配、百分?jǐn)?shù)等知識(shí)進(jìn)行統(tǒng)籌學(xué)習(xí)。通過(guò)學(xué)習(xí)扇形統(tǒng)計(jì)圖，讓學(xué)生從中認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用。如在某題中，我國(guó)的地形具有多樣性，各種地形所占總面積的大小可以用如下扇形圖來(lái)表示。由此，可以快速了解高原、山地、平原、丘陵、盆地等地形所占的比重，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)整體地形結(jié)構(gòu)的全面認(rèn)識(shí)。

四、從“綜合與實(shí)踐”教學(xué)中融入幾何直觀

數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)在于應(yīng)用，“綜合與實(shí)踐”就是倡導(dǎo)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的培養(yǎng)。我們可以利用幾何直觀教學(xué)，結(jié)合具體的數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題，拓展學(xué)生的解題思路，讓學(xué)生能夠從直觀感受上，重新認(rèn)識(shí)和表征數(shù)學(xué)問(wèn)題，將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題解決出來(lái)。通常，數(shù)學(xué)問(wèn)題中涉及的各類(lèi)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，可以將之與圖形、符號(hào)進(jìn)行轉(zhuǎn)換或表征，便于我們進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理，還原數(shù)學(xué)的本質(zhì)。在古代《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”問(wèn)題，在解決該題的方法有很多，如列表法、按腿法、砍腿法、方程法、作圖法等等。由于小學(xué)四年級(jí)學(xué)生未接觸方程，對(duì)方程法的教學(xué)不能用。而采用列舉法，涉及的數(shù)學(xué)計(jì)算量較大，也不宜選用。很多教師采用砍腿法、按腿法來(lái)計(jì)算。但卻很少有教師引入幾何直觀法來(lái)解決，忽視對(duì)幾何直觀法的應(yīng)用。事實(shí)上，在小學(xué)四年級(jí)，學(xué)生的形象思維仍占主導(dǎo)，幾何直觀教學(xué)法的應(yīng)用，也順應(yīng)學(xué)生形象化思維特點(diǎn)。同時(shí)，幾何直觀本身與雞兔同籠問(wèn)題的融合，可以將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化。如我們將線段AB代表雞的頭數(shù)量，BC代表兔的頭數(shù)量，AC代表總頭數(shù)量，AC=35；FC代表兔的腳數(shù)，F(xiàn)C=4；AD代表雞的腳數(shù)，AD=2；由此長(zhǎng)方形ACHD面積加上長(zhǎng)方形EHFG的面積為總腳數(shù)，即SACHD+SEHFG=94。因?yàn)镾ACHD=AC×AD=35×2=70，則SEHFG=94-70=24，再因?yàn)镕H=CH=2，則EH=24÷2=12；又因?yàn)镋H=BC，則BC=12。根據(jù)前述BC是兔子頭數(shù)，即有12只兔子；同樣，雞就有35-12=23只。由此，我們借助于幾何直觀教學(xué)思路，將雞兔同籠問(wèn)題轉(zhuǎn)換為平面圖形邊長(zhǎng)與面積的關(guān)系，讓學(xué)生能夠從圖形化展示中直觀的解決問(wèn)題，簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)問(wèn)題，也深刻的理解各個(gè)數(shù)量關(guān)系，鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維力，幫助學(xué)生構(gòu)建起數(shù)學(xué)知識(shí)體系。

五、結(jié)語(yǔ)

幾何直觀作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要思想，對(duì)于廣大教師而言，還缺失幾何直觀教學(xué)意識(shí)，影響幾何直觀在數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效應(yīng)用。教師要認(rèn)識(shí)到幾何直觀的重要性，關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)與幾何直觀的關(guān)聯(lián)，特別是在小學(xué)數(shù)學(xué)中，貼近小學(xué)生思維認(rèn)知實(shí)際，深入挖掘幾何直觀的運(yùn)用途徑，讓數(shù)學(xué)知識(shí)脈絡(luò)更加清晰、直觀，啟發(fā)學(xué)生拓展數(shù)學(xué)思維，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。幾何直觀同樣對(duì)教師也提出了更高要求，教師還要加強(qiáng)專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)，加強(qiáng)教研與交流，發(fā)揮幾何直觀的教學(xué)價(jià)值，讓數(shù)學(xué)課堂不再枯燥、固化。