国产日韩欧美一区二区三区三州_亚洲少妇熟女av_久久久久亚洲av国产精品_波多野结衣网站一区二区_亚洲欧美色片在线91_国产亚洲精品精品国产优播av_日本一区二区三区波多野结衣 _久久国产av不卡

404 Not Found


nginx
404 Not Found

404 Not Found


nginx
404 Not Found

404 Not Found


nginx
404 Not Found

404 Not Found


nginx
404 Not Found

404 Not Found


nginx
404 Not Found

404 Not Found


nginx

形式三角矩陣環(huán)上(F,F(xiàn))-Gorenstein投射模

2019-11-26 05:36:12何東林李煜彥
關(guān)鍵詞:投射模環(huán)上同態(tài)

何東林,李煜彥

(隴南師范高等??茖W(xué)校數(shù)信學(xué)院,甘肅 隴南 742500)

Gorenstein 同調(diào)理論是相對(duì)同調(diào)代數(shù)的重要內(nèi)容.1969年Auslander 和Bridger[1]討論了雙邊Noether 環(huán)上有限生成模的G-維數(shù),1995年Enochs 和Jenda[2]給出任意環(huán)上Gorenstein 投射模的概念,由于Gorenstein 投射模有許多與投射模類似的性質(zhì),引起了很多作者的關(guān)注和研究.特別地,Pan 等人[3]將其推廣到(X,Y)-Gorenstein 投射模.易知(P,P)-Gorenstein 投射模就是Gorenstein 投射模,其中P 表示投射模類.形式三角矩陣環(huán)作為環(huán)論中一類重要的非交換環(huán),在環(huán)模理論和代數(shù)表示論中扮演著重要的角色.2011年Enochs 等[4]研究了形式三角矩陣環(huán)上的平坦覆蓋與極小Quillen 分解.2014年Eshraghi等[5]進(jìn)一步討論了形式三角矩陣環(huán)上Gorenstein 投射模.自然而然地,可考慮形式三角矩陣環(huán)上的(F,F(xiàn))-Gorenstein 投射模的性質(zhì)和等價(jià)刻畫,其中F 表示平坦模類.

其中α1:X→U 左R-模同態(tài),α2:Y→V 為左S-模同態(tài).為了方便,文中的左Γ-模均用三元組的形式.對(duì)應(yīng)地,左 Γ-模同態(tài)均用二元組[α1,α2]的形式.同態(tài)[α1,α2]作用于元素均為右側(cè)作用,即同態(tài)的合成為右側(cè)合成,即對(duì)任意同態(tài)[α1,α2]與[β1,β2]的合成記為左 Γ-模中的零模簡(jiǎn)記為0,其余未涉及的概念和記號(hào)參見文獻(xiàn)[7-8].

1 定義和引理

定義1[3]設(shè)A 為任意結(jié)合環(huán),X 和 Y 均為左 A-模類且P?X.稱RM 模是(X,Y)-Gorenstein 投射模,如果存在正合列

其中Xi∈X,M?Ker(X-1→X-2)且對(duì)任意Y∈Y,該序列在函子HomR(-,Y)下正合.

(1)δ 在函子HomR(-,Y)下正合;

(2)對(duì)所有i∈Z,短正合列0→Kerfi→Xi→Kerfi-1→0 在函子HomR(-,Y)下正合.

證明 由Hom 函子的性質(zhì)易證.

引理2[4]是左Γ-模,則以下條件等價(jià):

(2)φ :M?RX →Y 是單同態(tài),X 是平坦左 R-模且余核 Cokerφ 是平坦左 S-模.

(1)Ker([α1,α2])=其中(對(duì)任意m∈M,x∈Kerα1).進(jìn)而[α1,α2]是單同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng) α1,α2均為單同態(tài).

(2)Im([α1,α2])=其中u∈Imα1).進(jìn)而[α1,α2]是滿同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng) α1,α2均為滿同態(tài).

即(1M?α1)φ=φα2.因?yàn)閷?duì)任意 m∈M,x∈Kerα1,有

可見(m?x)φα2=0,(m?x)φ=Kerα2.不妨令

注意到下圖可交換

(2)證明過程與(1)對(duì)偶.

為了方便,下文中均假設(shè)ε 是左Γ-模復(fù)形,ε 及與其相關(guān)的導(dǎo)出復(fù)形具體形式如下:

引理4 復(fù)形ε 為正合復(fù)形當(dāng)且僅當(dāng)εR和εS均為正合復(fù)形.

2 主要結(jié)論

定理1 設(shè)εR為正合復(fù)形,且εR在M?R-下仍正合.則以下條件等價(jià):

(1)對(duì)任意FR∈RF,εR在函子HomR(-,F(xiàn)R)下仍正合;

(2)對(duì)任意FR∈RF 和i∈Z,正合列下正合;

證明由εR為正合復(fù)形且εR在M?R-下正合易知,導(dǎo)出復(fù)形也是正合復(fù)形.根據(jù)引理 1 和引理 3 可得(1)?(2)且(3)?(4).只須證明(2)?(3).

可交換,即(1M?h1)η=h2,所以

(3)?(2)對(duì)任意 FR∈RF 和 i∈Z,由引理 2 知是左Γ-平坦模.對(duì)任意模同態(tài)考慮左Γ-模同態(tài)由(3)知存在同態(tài)使得

定理2 設(shè)εS為正合復(fù)形,且 M?RF?SF⊥.則以下條件等價(jià):

(1)對(duì)任意FS∈SF,εS在函子HomR(-,F(xiàn)R)下仍正合;

(2)對(duì)任意FS∈SF 和i∈Z,短正合列在HomS(-,F(xiàn)S)下正合;

證明 由εS為正合復(fù)形易知,導(dǎo)出復(fù)形是正合復(fù)形.由引理1 和引理3 得(1)?(2)且(3)?(4).只須證明(2)?(3).

[g1,g2]就是滿足要求的同態(tài).因此正合列在函子HomR(-,F(xiàn))下仍正合.

(3)?(2)對(duì)任意 FS∈SF 和 i∈Z,由引理 2 知是左Γ-平坦模.要證短正合列在函子 HomS(-,F(xiàn)S)下仍正合,只須證對(duì)任意左 S-模同態(tài)總存在同態(tài)使得注意到為左Γ-模同態(tài),由(3)知存在同態(tài)使得可見不妨令則 g 就是滿足要求的同態(tài).因此在HomS(-,F(xiàn)S)下正合.

(2)對(duì)任意QR∈RF 和QS∈SF,有εR在函子HomR(-,QR)下正合且Coker ε 在HomS(-,QS)下正合.

證明 由ε 為正合復(fù)形和引理4 易知,εR和εS為正合復(fù)形.又由εR在M?R-下正合知,M?RεR也是正合復(fù)形.因?yàn)橛梢?2 可知且 φi為單同態(tài).根據(jù)復(fù)形正合列 0→M?RεR→εS→Coker ε→0 得,Coker ε 也是正合復(fù)形.考慮復(fù)形短正合列

由定理3 易得如下結(jié)論.

推論2 設(shè)εR和εS均為正合復(fù)形,下正合且M ?RF?SF⊥.則以下說法成立:

(1)如果 U 是(F,F(xiàn))-Gorenstein 投射左 R-模,那么是(F,F(xiàn))-Gorenstein 投射左Γ-模.

(2)如果 V 是(F,F(xiàn))-Gorenstein 投射左 S-模,那么是(F,F(xiàn))-Gorenstein 投射左 Γ-模.

定理4 設(shè)εR和εS均為正合復(fù)形,下正合且則以下條件等價(jià):

(2)X 是(F,F(xiàn))-Gorenstein 投射左 R-模,Cokerφ 是(F,F(xiàn))-Gorenstein 投射左 S-模且 φ是單同態(tài).

3 總結(jié)

利用同調(diào)代數(shù)的方法,研究了形式三角矩陣環(huán)Γ 上的(F,F(xiàn))-Gorenstein 投射模.結(jié)果表明由模RX 和SY 以及左S-同態(tài)φ:M?RX→Y 組成的Γ-模是(F,F(xiàn))-Gorenstein 投射模,當(dāng)且僅當(dāng)RX 和SCokerφ 均是(F,F(xiàn))-Gorenstein 投射模且 φ 為單同態(tài).從而補(bǔ)充了形式三角矩陣環(huán)上模的基礎(chǔ)理論.

猜你喜歡
投射模環(huán)上同態(tài)
X-丁投射模
關(guān)于半模同態(tài)的分解*
拉回和推出的若干注記
Gorenstein投射模的張量積
主動(dòng)脈瓣環(huán)擴(kuò)大聯(lián)合環(huán)上型生物瓣膜替換治療老年小瓣環(huán)主動(dòng)脈瓣狹窄的近中期結(jié)果
SR—擬投射模
一種基于LWE的同態(tài)加密方案
HES:一種更小公鑰的同態(tài)加密算法
交換環(huán)上四階反對(duì)稱矩陣?yán)畲鷶?shù)的BZ導(dǎo)子
取繩子
404 Not Found

404 Not Found


nginx
404 Not Found

404 Not Found


nginx
404 Not Found

404 Not Found


nginx
404 Not Found

404 Not Found


nginx
404 Not Found

404 Not Found


nginx
肃南| 京山县| 云安县| 三河市| 南汇区| 东乌| 呼玛县| 木里| 澄城县| 太康县| 宁远县| 文成县| 邢台市| 平南县| 石门县| 成安县| 泰顺县| 泗洪县| 都江堰市| 福鼎市| 安阳县| 黄平县| 前郭尔| 盐山县| 凌源市| 翁源县| 德格县| 崇左市| 兴文县| 攀枝花市| 衡阳市| 简阳市| 嘉善县| 昭觉县| 武夷山市| 邢台县| 光山县| 黎平县| 华亭县| 兴国县| 英山县|