黃雄偉

（福建省明溪縣第一中學(xué)，福建明溪 365200）

引言

函數(shù)和方程思想是數(shù)學(xué)解題必備的思想方法，也是高中數(shù)學(xué)的精華。當(dāng)學(xué)生掌握函數(shù)和方程解題的思想方法后，原本困難的題目將會迎刃而解，通過函數(shù)與方程思想，學(xué)生能迅速找到其中答題的技巧和方法，從而更好地提升數(shù)學(xué)能力。

一、數(shù)學(xué)函數(shù)及思想方法探究

數(shù)學(xué)函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段是較為實用的思想方法[1]，如一些方程題目、不等式題目可將其轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)思想后進行解答，一些函數(shù)的解題思想可以為問題的解答提供相應(yīng)的支撐。數(shù)學(xué)解題思想是解答題目的標(biāo)準，其具有易掌握的優(yōu)點，可為數(shù)學(xué)教育教學(xué)提供支撐點，解題思想是數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，但要依據(jù)數(shù)學(xué)方法才能展現(xiàn)其核心性質(zhì)。

（一）函數(shù)模型的一般呈現(xiàn)模型

高中數(shù)學(xué)函數(shù)模型多種多樣，其中最常見的有“對鉤函數(shù)”、二次函數(shù)、分段函數(shù)等。函數(shù)方程思想的實踐操作可以根據(jù)以下步驟逐漸深入：解函數(shù)方程、參數(shù)方程的解答、對方程的解題探究、構(gòu)造方程的解答。

（二）數(shù)學(xué)方程的一般解題思想

在解決一道數(shù)學(xué)問題時，運用方程的特性進行思考、改變、破解的過程就是運用方程思想的過程[2]。方程思想是將其運動中的邏輯關(guān)系轉(zhuǎn)換為公式的方式來解決。然而其主旨是方程聯(lián)系函數(shù)，將兩者相結(jié)合解決實際數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)函數(shù)與方程兩者一般在解題過程中相互結(jié)合、相互聯(lián)系，若能發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系，掌握運用技巧，那么就能提高解題效率。方程與函數(shù)的結(jié)合運用一般先分析函數(shù)問題，然后建立兩者之間的聯(lián)系，得出方程式，問題自然迎刃而解。

二、函數(shù)與方程思想結(jié)合的實例

首先，建立函數(shù)之間的聯(lián)系；其次，從建立的函數(shù)模型

結(jié)語

的特點入手，將方程與函數(shù)模型相結(jié)合，得出兩者之間的聯(lián)系；最后，輕松解決問題。下面筆者列舉一些實例進行講解。

【方法1】函數(shù)與方程思想在平面向量問題中的應(yīng)用

【案例1】已知e1，e2是單位向量，，若平面向量b滿足b·e1＝2，，且對于任意x，y∈R，|b-(xe1＋ye2)|≥|b-(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，則x0＝____________，y0＝__________，|b|＝___________。

【解析】由條件可知，當(dāng)且僅當(dāng)x＝x0，y＝y(tǒng)0時，|b-(xe1＋ye2)|取到最小值1，

即|b-(xe1＋ye2)|2＝b2＋x2e21＋y2e22-2xb·e1-2yb·e2＋2xye1·e2＝|b|2＋x2＋y2-4x-5y＋xy在x＝x0，y＝y(tǒng)0時取到最小值1。(向量代數(shù)化)

又|b|2＋x2＋y2-4x-5y＋xy＝x2＋(y-4)x＋。(代數(shù)式函數(shù)化)

【反思】解決有關(guān)向量的模的問題時，常利用平方的方法把模問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問題，進而利用函數(shù)與方程思想，結(jié)合相關(guān)條件達到解決問題的目的。

【方法2】函數(shù)與方程思想在數(shù)列問題中的應(yīng)用

【案例2】若a，b是函數(shù)f(x)＝x2-px＋q(p＞0，q＞0)的兩個不同的零點，且a，b，-2這三個數(shù)適當(dāng)排序后可成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值等于 _________________。

不妨設(shè)a＞b＞0，則a，b，-2成等差數(shù)列，a，-2，b成等比數(shù)列，故，

可得q＝ab＝4。(數(shù)列代數(shù)化)

把a＝2b＋2代入ab＝4，整理可得b2＋b-2＝0，解得b＝1(負值舍去)，(函數(shù)、方程應(yīng)用)

則有a＝4，那么p＝a＋b＝5，可得p＋q＝9，故填9。(得出結(jié)論)

【反思】將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為方程的根的關(guān)系，結(jié)合已知條件，抓住三個數(shù)成等差數(shù)列或成等比數(shù)列的中間項進行分析討論，把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為方程（函數(shù)）問題來解決，邏輯推理是解題的關(guān)鍵。

【方法3】函數(shù)與方程思想在解析幾何問題中的應(yīng)用

【案例3】設(shè)直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，與圓C：(x-5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于點M，且M為線段AB的中點。若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是( )。

A．(1,3) B．(1,4) C．(2,3) D．(2,4)

【解析】設(shè)直線l的方程為x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直線l的方程代入拋物線方程y2＝4x,整理得y2-4ty-4m＝0，(解幾代數(shù)化)

則Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝-4m，

那么x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t2＋2m，

則線段AB的中點M(2t2＋m，2t)。

由題意可得直線AB與直線MC垂直，且C(5,0)。

當(dāng)t≠0時，有kMC·kAB＝-1，

把m＝3-2t2代入Δ＝16t2＋16m＞0，可得3-t2＞0，即0＜t2＜3。

由于圓心C到直線AB的距離等于半徑，

所以2＜r＜4，此時滿足題意且不垂直于x軸的直線有兩條。(函數(shù)應(yīng)用)

當(dāng)t＝0時，這樣的直線l恰有2條，即x＝5±r，

所以0＜r＜5。

綜上可得，若這樣的直線恰有4條，則2＜r＜4，故選D。(得出結(jié)論)

【反思】利用函數(shù)與方程思想解決直線與圓錐曲線的綜合問題，通常借助一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系進行求解。“設(shè)而不求”（設(shè)直線、曲線方程、交點坐標(biāo)，而不求交點坐標(biāo)）是解析幾何問題求解的常用方法，通過含參數(shù)的代數(shù)運算、不等式的求解等方法解決解析幾何中的弦長、參數(shù)取值范圍、定值、定點等問題。

根據(jù)以上實例可知，將函數(shù)與方程思想應(yīng)用于解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段是較為實用的思想方法。函數(shù)的解題思想及對方程式進行巧妙處理可以為問題的解答提供有效而便捷的途徑。

結(jié)語

總而言之，函數(shù)與方程的思想是高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題部分的基本操作方法之一，數(shù)學(xué)本身也涉及這一方法，但是此方法不僅僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域上被運用，其中還包含考查學(xué)生的空間邏輯思維以及解題的認知能力、將一種實例多重運用的能力等。

數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程思想在高中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中占比較大，在高考中也是重點考查的內(nèi)容。在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)在函數(shù)這一部分內(nèi)容中融入多元化的教學(xué)方式，通過實踐或其他方式讓學(xué)生清楚掌握函數(shù)和方程思想的具體應(yīng)用，組織學(xué)生之間相互探討，交換解題思路，共同解決問題。當(dāng)然，也要使學(xué)生學(xué)會獨立思考，提高解決問題的能力，讓學(xué)生進一步加強對函數(shù)方程的運用能力，提高解題效率與準確率。