李偉

問題1 設(shè)f（x）=ex-1-x-ax2.

（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間;

（2）當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥0，求a的取值范圍.

本題是2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（新課標(biāo)版）理科數(shù)學(xué)第21題，是一道壓軸題，難度系數(shù)較大，大多數(shù)考生只能完成第一問，對(duì)第二問只能望洋興嘆，無從下手，下面給出幾種解法.

解 （1）略.

（2）解法一：標(biāo)準(zhǔn)答案（略）

標(biāo)準(zhǔn)答案中給出的解法是利用分類討論的思想，很多學(xué)生一時(shí)很難把握分幾步討論，如何討論，下面筆者給出大家經(jīng)常用的分離參數(shù)法.

解法二：（分離參數(shù)法）

f（x）≥0等價(jià)于ex-1-x-ax2≥0，即ax2≤ex-1-x.

當(dāng)x=0時(shí)，上式恒成立.

當(dāng)x>0時(shí)，上式等價(jià)于a≤ex-1-xx2，即a≤ex-1-xx2min.

令g（x）=ex-1-xx2，下面只需求g（x）的最小值，求解如下：

g′（x）=（ex-1）x2-2x（ex-1-x）x4=ex（x-2）+x+2x3.

令h（x）=ex（x-2）+x+2，則h′（x）=ex（x-1）+1，h″（x）=xex.

∵x>0，∴h″（x）>0，∴h′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，因此，h′（x）>h′（0）=0.

從而可得h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

即h（x）>h（0）=0.

由以上分析可得g′（x）>0，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）>g（0）.

但在x=0處g（x）沒有意義，

所以只需求出

limx→0g（x）=limx→0ex-1-xx2=limx→0ex-12x=limx→0ex2=12.

綜上可得，a≤12..

這種解法利用了洛必達(dá)法則，解法雖然較為煩瑣，但是巧妙地利用了高等數(shù)學(xué)的知識(shí)解決了分離參數(shù)之后求最小值的問題.

下面筆者給出一種較為簡(jiǎn)單的方法和大家分享，解法如下：

解法三：∵ex=1+x+x22+…+xnn！（泰勒展開式），

∴當(dāng)x≥0時(shí)，ex≥1+x+x22，（*）

∴當(dāng)x>0時(shí)，ex-1-xx2≥12（當(dāng)x=0時(shí)解法二已討論）.

從而可得，a≤12.

此解法非常巧妙地利用泰勒展開式求出分離參數(shù)之后a的取值范圍，原本復(fù)雜、煩瑣的問題經(jīng)過化簡(jiǎn)之后變得極為簡(jiǎn)單，通過此題也讓我們感受到近年來高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)題與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系慢慢地增多，對(duì)學(xué)生的知識(shí)層次要求逐漸地提高，當(dāng)然對(duì)上述解法中的（*）式也可以通過移項(xiàng)求最值的方法證明.同時(shí)也讓我們發(fā)現(xiàn)本題和我們所學(xué)新課標(biāo)教材是緊密相連的，真正體現(xiàn)出了高考題源于教材卻高于教材.

問題2 已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m）.

（1）設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)性;

（2）當(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）>0.

本題是2013年全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅱ理科第21題，是一道壓軸題，第一問較為簡(jiǎn)單，可第二問難度系數(shù)較大，學(xué)生得分率普遍較低，很多學(xué)生做此題時(shí)利用分類討論的思想，最后由于時(shí)間有限很難做出正確的結(jié)果，筆者看完此題之后發(fā)現(xiàn)可以使用較為簡(jiǎn)便的方法，現(xiàn)給出如下解法.

解 （1）略.

（2）因?yàn)閘n（x+m）≤ln（x+2），所以要證f（x）>0，

只需證ex-ln（x+2）>0，即證ex>ln（x+2），

下面證ln（x+2）≤x+1，（x>-2）.

令g（x）=ln（x+2）-x-1，g′（x）=-x-1x+2.

令g′（x）=0得x=-1，

所以當(dāng)-20，遞增，

當(dāng)x>-1時(shí)，g′（x）<0，遞減，

因此，g（x）的最大值為g（-1）=0，所以g（x）≤g（-1），即ln（x+2）≤x+1，

所以只需證ex>1+x，而根據(jù)問題（1）得ex≥1+x恒成立，

當(dāng)x=0時(shí)e0>ln2，從而有ex>ln（x+2）.

上述解法避免了大量的討論，利用化歸的思想將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成較為簡(jiǎn)單的不等式加以證明，而且做完此題后筆者發(fā)現(xiàn)問題1和問題2之間有一種隱秘的聯(lián)系，在解決第二問時(shí)，如果用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想都可以避免復(fù)雜的運(yùn)算，它們都是新課標(biāo)Ⅱ理科第21題，都是壓軸題，但是解題時(shí)利用的一些不等式在教材練習(xí)題中就有，只要將課后習(xí)題做熟練，利用上述方法就可以很快地解決本題，再一次體現(xiàn)了高考題的源頭在教材.常言道“條條大路通羅馬”，在高考有限的兩個(gè)小時(shí)中如果能快速而準(zhǔn)確地解決一道壓軸題就必須有好的解題方法，方法對(duì)則事半功倍，方法欠妥則事倍功半，方法錯(cuò)則錯(cuò)失良機(jī)得不到高分.章建躍先生認(rèn)為：“好算法是具備相關(guān)知識(shí)并形成一定運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)后形成的，能迅速設(shè)計(jì)好算法是能力強(qiáng)的表現(xiàn)”，因此，如果在高考復(fù)習(xí)中有好而快的方法就必須研讀教材，挖掘教材，深思教材，做到視野開闊、心中有數(shù)！