王歡歡

【摘要】數(shù)學(xué)思想在教學(xué)過(guò)程中的滲透有利于鍛煉學(xué)生的邏輯思維與創(chuàng)造性思維.圓冪定理揭示了過(guò)同一點(diǎn)的弦，切線及割線之間存在的比例關(guān)系.本文主要探討圓冪定理在中學(xué)平面幾何運(yùn)用中的三類(lèi)數(shù)學(xué)思想，旨在對(duì)圓冪定理的教學(xué)提供一些參考.

【關(guān)鍵詞】圓冪定理;數(shù)學(xué)思想;統(tǒng)一性

數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、理論、方法和規(guī)律性的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，它在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用，帶有普遍指導(dǎo)意義，是建立數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的指導(dǎo)思想.常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、函數(shù)與方程思想、極限思想等.

圓冪定理是相交弦定理、切割線定理、割線定理及推論的統(tǒng)稱(chēng)，其中相交弦定理與割線定理被歐幾里得編入了《幾何原本》（第三篇的第35個(gè)命題和第36個(gè)命題）.這三個(gè)定理可以統(tǒng)一地表示為：過(guò)一定點(diǎn)P向圓O作任一直線交圓O于兩點(diǎn)，定點(diǎn)P到兩交點(diǎn)的距離之積為定值PA·PB=|OP²·r²|（|OP²·r²|），即如下圖所示.

圓冪定理不僅在初中解平面幾何題中有所涉及，在人教A版高中數(shù)學(xué)教材選修4-1第一章第三節(jié)對(duì)圓冪定理也有詳細(xì)的介紹，是幾何中的重要定理，因此，對(duì)圓冪定理的研究有很多.參考文獻(xiàn)[1]-[3]從圓冪定理的應(yīng)用角度探討圓冪定理;參考文獻(xiàn)[4]-[6]從圓冪定理的推廣角度研究圓冪定理;參考文獻(xiàn)[7]-[9]從教學(xué)設(shè)計(jì)角度研究圓冪定理.本文主要從數(shù)學(xué)思想方面探究圓冪定理，總結(jié)了圓冪定理在定理所蘊(yùn)含的幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，幾何中的運(yùn)動(dòng)變化思想，數(shù)學(xué)的統(tǒng)一思想三類(lèi)數(shù)學(xué)思想，并由此提出了一些教學(xué)建議.

一、幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)化的思想

圓冪定理描述了滿足特定位置關(guān)系情況下的線段之間的數(shù)量關(guān)系，實(shí)質(zhì)上就是把線段之間的長(zhǎng)度關(guān)系用代數(shù)上的比例關(guān)系表達(dá)，因此，圓冪定理本身就可以看成是幾何與代數(shù)的轉(zhuǎn)換.在幾何證明過(guò)程中，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用圓冪定理可以將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，從而簡(jiǎn)潔地解答幾何問(wèn)題.例如，運(yùn)用圓冪定理求線段的長(zhǎng)可以利用比例關(guān)系設(shè)出方程，解答方程得到未知線段的長(zhǎng).運(yùn)用圓冪定理證明線段的長(zhǎng)相等可以利用線段之間的比例關(guān)系的轉(zhuǎn)化來(lái)證明.雖然學(xué)生在學(xué)習(xí)及應(yīng)用圓冪定理過(guò)程中能夠明確感受到將一個(gè)復(fù)雜的幾何問(wèn)題，有時(shí)把它轉(zhuǎn)化為一個(gè)代數(shù)問(wèn)題會(huì)更好地解決，但這僅僅是學(xué)生的一種數(shù)感，需要教師在教學(xué)過(guò)程中不僅滲透這種幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)換的思想，還要對(duì)這種方法進(jìn)行總結(jié)，以便學(xué)生在遇到幾何問(wèn)題時(shí)不僅僅局限于聯(lián)想幾何方面的知識(shí)，還能有將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題的思維.

二、幾何中的運(yùn)動(dòng)變化思想

在圓冪定理中，將弦內(nèi)分（或外分）成兩條線段的定點(diǎn)的位置是任意的，可以在圓內(nèi)、圓上、圓外.因此，可以把它看成一個(gè)“動(dòng)點(diǎn)”.當(dāng)這個(gè)“動(dòng)點(diǎn)”運(yùn)動(dòng)到圓內(nèi)時(shí)，出現(xiàn)相交弦定理;當(dāng)“動(dòng)點(diǎn)”運(yùn)動(dòng)到圓外時(shí)出現(xiàn)割線定理，而這時(shí)將其中一條割線視為“動(dòng)直線”變換到切線位置時(shí)就會(huì)出現(xiàn)切割線定理.在上述基礎(chǔ)上，保持切線和“動(dòng)點(diǎn)”的位置不變，將割線繞“動(dòng)點(diǎn)”旋轉(zhuǎn)使它經(jīng)過(guò)圓心.設(shè)“動(dòng)點(diǎn)”P(pán)（P在圓外）與圓心O的距離為d，圓的半徑為r，切點(diǎn)為A.根據(jù)切割線定理可以得PA²=（d+r）（d-r）=d²-r².這就把三個(gè)定理寫(xiě)成了圓冪定理的統(tǒng)一的形式.教師通過(guò)這種運(yùn)動(dòng)變化的思想來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，不僅能使學(xué)生清楚明了地看到三個(gè)定理間的關(guān)系，而且還能加深學(xué)生對(duì)圓冪定理統(tǒng)一形式的理解.更重要的是讓學(xué)生體會(huì)到幾何中的許多問(wèn)題都來(lái)自同一模型，雖然圖形中的某些要素的位置關(guān)系不同，但本質(zhì)是相同的，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力.

三、數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性

（一）定理形式的統(tǒng)一性

相交弦定理、切割線定理、割線定理都能夠統(tǒng)一成一種形式，即過(guò)一定點(diǎn)P向圓O作任一直線交圓O于兩點(diǎn)，定點(diǎn)P到兩交點(diǎn)的距離之積為定值（該點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的平方差的絕對(duì)值）.

（二）證明結(jié)果的統(tǒng)一性

歐幾里得在《幾何原本》中運(yùn)用了等面積法證明相交弦定理和割線定理，在高中數(shù)學(xué)選修4-1中運(yùn)用了相似三角形來(lái)證明圓冪定理，還有人用極坐標(biāo)來(lái)證明圓冪定理.雖然證明方法不同，但是，最后得到了相同的結(jié)論，反映了證明結(jié)果的統(tǒng)一性.

定理形式的統(tǒng)一方便學(xué)生對(duì)公式的記憶，證明結(jié)果的統(tǒng)一讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)“殊途同歸”的魔力.教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生一起鑒賞數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美與簡(jiǎn)潔美，感受數(shù)學(xué)的魅力，增加學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

在圓冪定理的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師滲透幾何與代數(shù)轉(zhuǎn)換的思想，運(yùn)動(dòng)變化思想，并引領(lǐng)學(xué)生鑒賞數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，筆者認(rèn)為會(huì)取得好的效果.

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