成金德

在只有重力或者彈力做功的情形下，物體的動(dòng)能和勢(shì)能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但機(jī)械能的總量保持不變，這個(gè)規(guī)律叫做機(jī)械能守恒定律. 對(duì)某個(gè)研究系統(tǒng)而言，機(jī)械能是否守恒？可以從以下七個(gè)方面進(jìn)行分析和判斷.

1. 只有重力做功時(shí)機(jī)械能守恒

如果一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)只有重力做功，系統(tǒng)內(nèi)只有重力勢(shì)能和動(dòng)能之間發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，沒(méi)有與其它形式的能發(fā)生轉(zhuǎn)化，則系統(tǒng)的動(dòng)能和重力勢(shì)能總和保持不變，即機(jī)械能守恒.

【例1】如圖1所示，質(zhì)量為m的小球從高為h、傾角為θ的光滑斜面頂端A點(diǎn)由靜止下滑，到達(dá)斜面底端B點(diǎn)時(shí)的速度為2v0. 若小球從A點(diǎn)沿斜面以初速度■v0下滑，求小球到達(dá)斜面底端B點(diǎn)時(shí)的速度.

分析：小球沿斜面從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到底端B點(diǎn)的過(guò)程中，只有小球所受的重力做功，其它的力不做功，則由小球和地球組成的系統(tǒng)（通常就說(shuō)小球）機(jī)械能守恒. 取斜面底端處的重力勢(shì)能為零，由機(jī)械能守恒定律得：

小球由靜止下滑時(shí)：mgh=■m（2v0）2

小球以初速度■v0下滑時(shí)：mgh+■m（■v0）2=■mv2

解以上兩式得：v=3v0 .

2. 只有彈力做功時(shí)機(jī)械能守恒

如果由彈簧與物體組成的系統(tǒng)內(nèi)只有彈簧的彈力做功，系統(tǒng)內(nèi)只有彈性勢(shì)能與動(dòng)能之間發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，而不與其它形式的能發(fā)生轉(zhuǎn)化，則系統(tǒng)的彈性勢(shì)能和動(dòng)能總和保持不變，即系統(tǒng)機(jī)械能守恒.

【例2】如圖2所示，一輕彈簧一端固定在墻上，另一端與物體A相連. 彈簧的原長(zhǎng)為L(zhǎng)，勁度系數(shù)為K. 當(dāng)彈簧伸長(zhǎng)（或縮短）的長(zhǎng)度為x時(shí)，彈簧具有的彈性勢(shì)能為EP =■Kx2. 物體A的質(zhì)量為m. 現(xiàn)設(shè)法壓縮彈簧，使彈簧的長(zhǎng)度縮短l，然后撤除壓縮裝置，物體A在彈簧作用下開(kāi)始運(yùn)動(dòng). 求當(dāng)物體A的速度為v時(shí)彈簧的長(zhǎng)度.

分析：撤除壓縮裝置，物體A在彈簧作用下開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后，由物體A、彈簧和地球組成的系統(tǒng)，只有彈簧的彈力做功，其它的力不做功，可見(jiàn)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒. 設(shè)當(dāng)物體A的速度為v時(shí)彈簧伸長(zhǎng)（或縮短）長(zhǎng)度為y，由機(jī)械能守恒定律得：

■Kl2 =■mv2+■Ky2

即：y=■

則此時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為：

L1=L+■或L2=L-■.

3. 重力與彈力同時(shí)做功，但無(wú)其它力做功時(shí)機(jī)械能也守恒

如果系統(tǒng)內(nèi)同時(shí)有重力和彈力（這里的彈力僅指象彈簧等物體所產(chǎn)生的力，此彈力做功，將引起彈性勢(shì)能與其它形式的能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，高中階段僅限于彈簧所產(chǎn)生的彈力）做功，系統(tǒng)內(nèi)只有重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能和動(dòng)能之間的相互轉(zhuǎn)化，而系統(tǒng)的總機(jī)械能保持不變，即系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.

【例3】如圖3所示，輕彈簧一端系一個(gè)質(zhì)量為m的小球，另一端固定于O點(diǎn)，彈簧的勁度系數(shù)為K，彈簧的原長(zhǎng)為L(zhǎng). 將小球拉到與O點(diǎn)等高處，并使彈簧的長(zhǎng)度恰好等于原長(zhǎng). 將小球由靜止釋放，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度為l，求小球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)速度的大小.

分析：由小球、彈簧（通常可隱去地球）組成的系統(tǒng)，在小球從A處運(yùn)動(dòng)到B處的過(guò)程中，只有重力和彈簧的彈力做功，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒. 取B處為重力勢(shì)能的零勢(shì)能位置，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：

mg（L+l）=■mv2+■Kl2

則小球在最低點(diǎn)B處的速度為：v=■.

4. 有內(nèi)力（非重力和彈力）做功，但所做的功的代數(shù)和為零，則機(jī)械能守恒

如果系統(tǒng)內(nèi)除了重力和彈力做功外，系統(tǒng)內(nèi)的其它力（即內(nèi)力）也做功，且這些力做功的代數(shù)和為零，此過(guò)程實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)一個(gè)物體的機(jī)械能轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體上，系統(tǒng)的總機(jī)械能不變，即機(jī)械能守恒.

【例4】如圖4所示，帶有光滑的半徑為R的1/4圓弧軌道的滑塊靜止在光滑的水平面上，此滑塊的質(zhì)量為M，一個(gè)質(zhì)量為m的小球由靜止開(kāi)始從A點(diǎn)釋放，當(dāng)小球從滑塊的B處水平飛出時(shí)，滑塊的反沖速度為多大？

分析：在小球下滑過(guò)程中，由小球和滑塊組成的系統(tǒng)，除小球所受的重力做功外，小球與滑塊間的彈力也做功，小球所受到的彈力對(duì)小球做負(fù)功，滑塊所受到的小球?qū)λ膹椓?duì)滑塊做正功，使得小球的一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)移到滑塊上. 但由于兩個(gè)彈力大小相等，作用點(diǎn)始終在同一點(diǎn)，因此，這兩個(gè)彈力做功的代數(shù)和等于零，即系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.

取B處為重力勢(shì)能的零位置. 設(shè)滑塊的反沖速度為v2 . 根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：

mgR=■mv1 2 +■Mv2 2

由于系統(tǒng)在水平方向不受外力的作用，則系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒：

mv1=Mv2

解以上兩式得：v2=■.

5. 有外力（非系統(tǒng)內(nèi)的力）做功，且所做的功的代數(shù)和為零，則機(jī)械能守恒

若系統(tǒng)內(nèi)除了重力和彈力做功外，系統(tǒng)外的力（外力）也做功，且外力做功的代數(shù)和為零，則系統(tǒng)與外界無(wú)能量交換，系統(tǒng)的總機(jī)械能保持不變，即系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.

【例5】如圖5所示，粗細(xì)均勻的U形管內(nèi)裝有總長(zhǎng)為4L的水. 開(kāi)始時(shí)閥門K閉合，左右支管內(nèi)水面高度差為L(zhǎng). 打開(kāi)閥門K后，左右水面剛好相平時(shí)左管液面的速度是多大？（摩擦阻力忽略不計(jì)）

分析：取水柱和地球組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，在水柱運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，系統(tǒng)內(nèi)有重力做功，系統(tǒng)外有大氣壓力做功，其中左邊水柱受到的大氣壓力做正功，右邊水柱受到的大氣壓力做負(fù)功，這兩個(gè)力做功的代數(shù)和等于零，因此，系統(tǒng)與外界無(wú)能量交換，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.

從初始狀態(tài)到左右支管水面相平止，此過(guò)程相當(dāng)于有長(zhǎng)L/2的水柱由左管移到右管. 此過(guò)程中系統(tǒng)的重力勢(shì)能減少，動(dòng)能增加. 整個(gè)水柱勢(shì)能的減少量等效于高L/2的水柱高度降低L/2重力勢(shì)能的減少量. 設(shè)水柱總質(zhì)量為8m，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：

mg·■=■·8m·v2 ???解得：v=■.

6. 有內(nèi)力（非重力和彈力）做功，且所做的功的代數(shù)和不為零，則機(jī)械能不守恒

如果系統(tǒng)內(nèi)除了重力和彈力做功外，系統(tǒng)內(nèi)的其它力（即內(nèi)力）也做功，且這些力做功的代數(shù)和不為零，此過(guò)程實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)與系統(tǒng)外物體間能量的轉(zhuǎn)移或轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)的總機(jī)械能將發(fā)生變化，即系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒.

【例6】海岸炮將炮彈水平射出. 炮身質(zhì)量（不含炮彈）為M，每顆炮彈質(zhì)量為m. 當(dāng)炮身固定時(shí)，炮彈水平射程為s，那么當(dāng)炮身不固定時(shí)，發(fā)射同樣的炮彈，水平射程將是多少？（不計(jì)其它阻力）

分析：取炮身和炮彈為研究對(duì)象. 顯然，在發(fā)射炮彈的過(guò)程中，系統(tǒng)內(nèi)力做了功，將化學(xué)能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，所以，系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒.

當(dāng)炮身固定時(shí)，化學(xué)能全部轉(zhuǎn)化為炮彈的動(dòng)能，即：

E=■mv2

當(dāng)炮身不固定時(shí)，化學(xué)能轉(zhuǎn)化為炮身和炮彈的動(dòng)能，即：

E=■mv1 2 +■Mv2 2

由于炮身和炮彈組成的系統(tǒng)在水平方向不受外力作用，它們的總動(dòng)量守恒，即：

mv1=Mv2

由于炮彈做平拋運(yùn)動(dòng)的射高相等，則炮彈兩次射程之比等于拋出時(shí)初速度之比：

■=■

解以上幾式得：s1=s■.

7. 有外力（非系統(tǒng)內(nèi)的力）做功，且所做的功的代數(shù)和不為零，則機(jī)械能不守恒

若除了系統(tǒng)內(nèi)重力和彈力做功外，系統(tǒng)外的力（外力）也做功，且外力做功的代數(shù)和不為零，則系統(tǒng)與外界有能量交換，系統(tǒng)的總機(jī)械能將發(fā)生變化，即系統(tǒng)的機(jī)械能不守恒.

【例7】質(zhì)量為m的小球，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩懸掛于O點(diǎn)，小球在水平力F作用下，從平衡位置P點(diǎn)緩慢地移動(dòng)到Q點(diǎn)，如圖7所示，則力F所做的功為（ ???????）

A. mgLcos θ ???????B. FL sin θ

C. mgL（1-cos θ） ??D. FL cos θ

分析：取小球（包括地球）為研究對(duì)象，除了重力做功外，還有外力F也對(duì)小球做功，且外力做正功，將有能量從外界轉(zhuǎn)移到小球上，使得小球的機(jī)械能增大，故小球的機(jī)械能不守恒. 設(shè)F所做的功為W，根據(jù)動(dòng)能定理得：

W-mgL（1-cosθ）=0

則有：W=mgL（1-cosθ），可見(jiàn)本題的正確選項(xiàng)為C.

總之，一個(gè)系統(tǒng)是不是滿足機(jī)械能守恒定律，關(guān)鍵在于該系統(tǒng)中有哪些力參與了做功，是將何種形式的能量轉(zhuǎn)化為何種形式的能量. 如果只是動(dòng)能和勢(shì)能間的相互轉(zhuǎn)化，而沒(méi)有與其它形式的能發(fā)生轉(zhuǎn)化，則機(jī)械能總量保持不變，即系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.

責(zé)任編輯 ??李平安