李 東，馮韶偉，王 月，吳 潔，鄭明珠

（1. 北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京，100191；2. 中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京，100076； 3. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076；4. 北京航天計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究所，北京，100076）

0 引 言

隨著國際空間組織對(duì)發(fā)射場(chǎng)、落區(qū)環(huán)境的要求，以液氫-液氧作為推進(jìn)劑的無毒、無污染的液體運(yùn)載火箭成為世界各國關(guān)注和研發(fā)的重點(diǎn)。液氫-液氧是目前液體運(yùn)載火箭中比沖最高的實(shí)用型推進(jìn)劑組合[1]。然而這種推進(jìn)劑的溫度極低，會(huì)在加注、增壓過程中造成箭體結(jié)構(gòu)的變形，從而對(duì)箭體結(jié)構(gòu)和管路系統(tǒng)設(shè)計(jì)的補(bǔ)償量提出更高的要求。

為了計(jì)算貯箱在工作過程中的變形量，在工程中通常采用有限元計(jì)算方法，該方法能夠有效模擬貯箱在增壓、加注以及飛行過程中不同載荷條件下箭體結(jié)構(gòu)的變形量，計(jì)算結(jié)果直觀。但有限元方法的計(jì)算規(guī)模較大造成分析效率較低，難以模擬線膨脹系數(shù)隨溫度的變化規(guī)律，且該方法對(duì)建模與實(shí)物的相符程度要求較高，否則會(huì)造成結(jié)果失真。

在傳統(tǒng)的運(yùn)載火箭研究過程中，缺少有效的低溫加注后變形量系統(tǒng)的試驗(yàn)檢測(cè)方法，造成試驗(yàn)難以覆蓋設(shè)計(jì)，以及試驗(yàn)結(jié)果的外推性不強(qiáng)的難題。

針對(duì)運(yùn)載火箭貯箱的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，本文提出一種低溫火箭變形量解析設(shè)計(jì)方法，獲得貯箱在低溫、增壓作用下的變形量，并基于平面視覺測(cè)量原理對(duì)試驗(yàn)中的貯箱變形量進(jìn)行檢測(cè)，通過與有限元方法及試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比，驗(yàn)證解析方法的合理性，從而為低溫液體運(yùn)載火箭變形補(bǔ)償量的設(shè)計(jì)提供參考和依據(jù)。

1 貯箱變形量解析方法

1.1 溫度載荷

靜定結(jié)構(gòu)在各處均勻的溫度載荷作用下，模型各個(gè)部件間連接處的位移連續(xù)且不會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力。由模型的邊界條件可認(rèn)為模型形狀將不發(fā)生變化，各幾何尺寸發(fā)生相同比例的伸縮[2]。因此可以認(rèn)為，在低溫液體加注之后，所有區(qū)域都由初始溫度T0變化到T1，對(duì)于長度為l 的貯箱，由溫度變化產(chǎn)生的位移δ 為

式中α 為貯箱的材料線膨脹系數(shù)，表示溫度每變化 1 ℃，材料長度變化的百分比[3]。對(duì)于固體物質(zhì)來說，表示溫度每改變1 ℃時(shí)，其長度的變化與其在0 ℃時(shí)長度的比值。

假設(shè)所研究貯箱的材料為5A06 鋁合金，其線膨脹系數(shù)隨溫度的變化曲線如圖1 所示。因此，對(duì)于工作溫度的線膨脹系數(shù)，應(yīng)進(jìn)行差值選取，本文采用3 次拉格朗日差值法。

貯箱在各處均勻的溫度載荷作用下，各個(gè)部件間的連接處的位移連續(xù)且不會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力，各幾何尺寸發(fā)生相同比例的伸縮。由初始溫度T0變化到T1后，貯箱體積V 變?yōu)?/p>

1.2 內(nèi)壓載荷

在內(nèi)壓載荷下，將貯箱（高度為H，半徑為r）筒段及前、后底分開考慮，假設(shè)貯箱的壁厚為d。在箱筒段處，由平衡方程貯箱箱筒段在內(nèi)壓P 的作用下的軸向應(yīng)力 σ1和徑向應(yīng)力 σ2分別為

由物理方程可以得到貯箱箱筒段的軸向應(yīng)變1ε 和徑向應(yīng)變2ε 為

式中E，μ分別為材料的彈性模量和泊松比。

由此可以得到柱段高度變化量和柱段半徑變化量分別為

對(duì)于前后底，在相同內(nèi)壓的作用下，結(jié)構(gòu)的應(yīng)力表達(dá)式為

同理，可以推導(dǎo)貯箱前后底的變形為

從式（5）和式（7）可以看出，圓筒和半球形封頭將在連續(xù)處產(chǎn)生不連續(xù)位移，不連續(xù)量為

圖2 貯箱內(nèi)壓載荷下變形示意 Fig.2 Deformation of the Tank under the Internal Pressure

在實(shí)際結(jié)構(gòu)中，這種位移不連續(xù)現(xiàn)象是不允許的，因此在半球形封頭和圓柱段連接處必然存在圓周均勻分布的剪力 Q，而且其大小恰好消除這種不連續(xù)位 移[4]。封頭區(qū)因?yàn)樯鲜鲈虍a(chǎn)生的彎曲應(yīng)力只對(duì)該區(qū)域附近有較大影響，所以可以將這一區(qū)域當(dāng)成無限長柱筒的一部分來處理。在算例中，圓筒和封頭的厚度相同，在這種情況下可以認(rèn)為彎矩很小，僅橫向剪力Q就使該部分產(chǎn)生相等的變形。根據(jù)圓柱殼體的軸對(duì)稱理論可得：

1.3 軸壓載荷

貯箱在前底與筒段連接位置受到軸壓F的作用時(shí)，對(duì)于貯箱筒段來說，其軸向應(yīng)力1σ 和徑向應(yīng)力2σ 分別為

軸向應(yīng)變 ε1和徑向應(yīng)變?chǔ)?為

箱筒段的半徑變化量 δr為

而由于貯箱前后底與筒段連接位置的變形量為0，同樣會(huì)產(chǎn)生由于均勻分布剪力引起的不連續(xù)量。因此，

同理，圓筒段在連接區(qū)域因?yàn)榧袅 引起向內(nèi)擾度，然而，對(duì)應(yīng)的有相同的剪力Q 將引起球形底向外的撓度，因此由剪力引起的撓度不會(huì)導(dǎo)致總體容積的變化。

2 解析方法驗(yàn)證

為驗(yàn)證解析方法的正確性，首先建立如圖3 所示的半球形底貯箱的有限元模型。模型半徑 r 為2500.0 mm，箱高H 為5000.0 mm，模型各處的厚度d均為5.0 mm，初始溫度為15 ℃。有限元模型采用四節(jié)點(diǎn)減縮積分殼單元。有限元模型的單元基本尺寸為40 mm。整體模型總計(jì)單元約為31 000，節(jié)點(diǎn)約為30 000。固支模型筒段與后底連接位置。

圖3 半球形底貯箱的有限元模型 Fig.3 The FEM of the Hemispheric Tank

有限元數(shù)值解與解析解法的對(duì)比情況如表1所示。

表1 數(shù)值解與解析解結(jié)果對(duì)比 Tab.1 The Comparision between the Numerical Method and the Analytical Method

由表1 結(jié)果可見，在溫度載荷作用下，解析解和數(shù)值解之間的誤差小于6×10-4%；在壓強(qiáng)作用下，數(shù)值解和解析解的所得結(jié)果誤差在0.03%以下；軸壓作用下，數(shù)值解和解析解的所得結(jié)果誤差在1.5%左右。而從量級(jí)上看，壓強(qiáng)與溫度是貯箱變形的主要因素，因此解析解有效、可靠。

3 測(cè)量方法

3.1 平面視覺測(cè)量原理

空間一點(diǎn)經(jīng)過成像系統(tǒng)后，與圖像坐標(biāo)系存在一組映射關(guān)系，當(dāng)不考慮景深方向只考慮平面成像關(guān)系時(shí)，物空間平面物點(diǎn)與像空間成像點(diǎn)存在唯一的映射關(guān)系，這種映射關(guān)系由相機(jī)圖像傳感器參數(shù)和鏡頭參數(shù)唯一確定[5]。平面視覺測(cè)量原理如圖4 所示。

圖4 平面視覺測(cè)量原理 Fig.4 Schematic Diagram of the Graphic Vision Measurement Principle

在圖4 所示的測(cè)量原理圖中，相機(jī)的坐標(biāo)系為xcyczc，其中 xc、 yc分別與相機(jī)圖像傳感器的行和列平行， zc與相機(jī)光軸平行。假設(shè)相機(jī)成像為小孔成像，經(jīng)過三角變換后得到虛擬圖像坐標(biāo)為uO 'v。

平面單目視覺測(cè)量就是對(duì)相機(jī)圖像傳感器參數(shù)和鏡頭參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。包括相機(jī)圖像傳感器當(dāng)量因子標(biāo)定，相機(jī)主點(diǎn)位置標(biāo)定和相機(jī)物距標(biāo)定等方面，上述參數(shù)標(biāo)定涉及到式（14）的旋轉(zhuǎn)矩陣變換和式（15）的縮放矩陣變換：

3.2 視覺畸變的非線性校正

在計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域中，攝像機(jī)的線性模型是針孔模型，但實(shí)際的鏡頭并不是理想的透視成像，且?guī)в胁煌潭鹊幕?，使空間點(diǎn)所稱的像并不在線性模型所描述的位置。在上述的矩陣變換中均不含有鏡頭畸變因素，需要增加非線性畸變項(xiàng)xδ 和yδ ，即：

相機(jī)的視覺畸變分為3 種情況，分別為徑向畸變、離心畸變和薄棱鏡畸變[6]。研究表明，引入過多的非線性參數(shù)往往無法提高測(cè)量的精度，因此一般情況下，徑向畸變就足夠描述非線性畸變。

徑向畸變能夠使圖像點(diǎn)相對(duì)理想位置發(fā)生向內(nèi)或向外的偏移，又稱為對(duì)稱的徑向失真[7]，如圖5 所示。

圖5 徑向畸變模型 Fig.5 Distortion Model in the Radial Direction

這種畸變主要是由于光學(xué)系統(tǒng)的鏡頭徑向曲率變化引起的，有正負(fù)兩種偏移效應(yīng)，分別稱為桶形畸變和枕形畸變。由于徑向畸變相對(duì)于光軸是對(duì)稱的，在忽略高階項(xiàng)的情況下，靶標(biāo)形心像面偏移量可表達(dá)為

式中kl為鏡頭的徑向畸變率。

4 貯箱變形量測(cè)量試驗(yàn)

在某運(yùn)載火箭試車過程中，基于平面視覺原理開展了變形量測(cè)量試驗(yàn)。運(yùn)載火箭推進(jìn)劑貯箱自上而下分別為氧箱和氫箱，分別布置多個(gè)變形量測(cè)點(diǎn)。某截面上，變形量測(cè)量曲線如圖6 所示。測(cè)量結(jié)果與解析計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表2 所示。

圖6 截面變形量測(cè)量結(jié)果 Fig.6 Measurement Result of One Section

表2 貯箱變形量結(jié)果對(duì)比 Tab.2 Comparision Result of the Tank Deformation

由表2 可知，理論計(jì)算與試驗(yàn)測(cè)量結(jié)果的一致性較好，在軸向方向上兩者誤差在5%以內(nèi)，徑向方向誤差控制在2 mm 以內(nèi)，且計(jì)算變形量均偏大，對(duì)于工程研制來說更加可靠。

另外，兩者軸向變形量更加接近，由于管路的補(bǔ)償量設(shè)計(jì)更加關(guān)注箭體軸向[8]，因此本文的理論計(jì)算方法能夠作為補(bǔ)償量設(shè)計(jì)的依據(jù)。

5 結(jié) 論

低溫運(yùn)載火箭加注后的變形補(bǔ)償量設(shè)計(jì)是箭體結(jié)構(gòu)和管路系統(tǒng)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵輸入條件，其合理性直接關(guān)系到飛行任務(wù)的成敗。本文通過理論方法對(duì)半球形底貯箱的變形量進(jìn)行了研究，并基于平面視覺原理研究大尺寸運(yùn)載火箭的變形量測(cè)量方法，通過結(jié)果對(duì)比分析，驗(yàn)證了理論方法和測(cè)量手段的合理、有效性，主要結(jié)論如下：

a）線膨脹系數(shù)與結(jié)構(gòu)溫度有關(guān)，應(yīng)選擇合理的插值方式進(jìn)行選取；

b）壓強(qiáng)與溫度是低溫貯箱變形的主要因素，本文提出的解析方法與數(shù)值結(jié)果一致性較好，其中溫度載荷的誤差小于6×10-4%，壓強(qiáng)載荷的在0.03%以下，因此能夠在滿足工程研制需要的前提下，提高計(jì)算效率；

c）平面視覺原理測(cè)量需要考慮非線性畸變因素，而其中的徑向畸變是最為關(guān)鍵的設(shè)計(jì)因素；

d）通過對(duì)某型號(hào)運(yùn)載火箭測(cè)量結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果的對(duì)比表明，在軸向方向上兩者誤差在5%以內(nèi)，徑向方向誤差控制在2 mm 以內(nèi)，且均以計(jì)算變形量偏大。鑒于管路的補(bǔ)償量設(shè)計(jì)更關(guān)注箭體軸向變形，因此本文的理論方法能夠作為運(yùn)載火箭補(bǔ)償量的設(shè)計(jì)依據(jù)。