(三峽大學(xué) 水利與環(huán)境學(xué)院，湖北 宜昌 443002)

1 研究背景

湍流流動(dòng)在生活中很常見，它在時(shí)空內(nèi)呈現(xiàn)出劇烈的脈動(dòng)特性，屬于連續(xù)的不穩(wěn)定流動(dòng)，是一個(gè)典型的非線性復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)。國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)于湍流流動(dòng)規(guī)律和生成機(jī)理的研究已取得了豐碩的成果，但對(duì)于湍流流動(dòng)物理本質(zhì)的研究仍有待深入。

在國(guó)外，Poincare于1903年提出了龐加萊猜想，并指出三體問題在一定范圍內(nèi)的解是隨機(jī)的，這是一種混沌現(xiàn)象[1]。Lorenz[2](1963)在DeterministicNonperiodicFlow(《確定性的非周期流》)一文中，揭示了混沌現(xiàn)象具有不可預(yù)測(cè)性和初始條件極端敏感依賴性2個(gè)基本特點(diǎn)。Hénon和Heiles[3](1964)在研究混沌系統(tǒng)相空間臨近軌道發(fā)散時(shí)，首次引入Lyapunov指數(shù)的計(jì)算，之后Lyapunov指數(shù)被正式應(yīng)用在動(dòng)力系統(tǒng)和各態(tài)遍歷理論的研究中。Ruelle和Takens[4](1971)獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了動(dòng)力系統(tǒng)存在復(fù)雜的吸引子。李天巖和Yorke[5](1975)在PeriodThreeImpliesChaos(《周期三蘊(yùn)含混沌》)一文中，提出了混沌的數(shù)學(xué)定義，給出了一個(gè)混沌的判定定理。Takens[6](1981)提出了嵌入原理，為混沌時(shí)間序列分析奠定了理論基礎(chǔ)。Borodulin和Kachanov[7](1989)在Couette-Taylor湍流流動(dòng)試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，研究了奇怪吸引子問題，發(fā)現(xiàn)了流動(dòng)系統(tǒng)存在著低維混沌。Hultgren[8](1992)通過管道間歇性湍流試驗(yàn)，證明了湍流流動(dòng)與初始隨機(jī)擾動(dòng)的性質(zhì)有關(guān)。在國(guó)內(nèi)，湯一波等[9](1998)通過關(guān)聯(lián)維度法分析了湍流脈動(dòng)壓力的混沌特征。李睿劬等[10](2002)對(duì)Kleba-noff平板邊界層轉(zhuǎn)捩流動(dòng)進(jìn)行了研究，建立了平板邊界層湍流轉(zhuǎn)捩與混沌之間的聯(lián)系。沈?qū)W會(huì)等[11](2005)綜述了混沌理論在湍流應(yīng)用中的國(guó)內(nèi)外研究進(jìn)展。傅強(qiáng)等[12](2011)通過對(duì)Rayleigh-Benard對(duì)流溫度信號(hào)分析，研究了混沌特征隨空間變化規(guī)律。姚天亮等[13](2012)采用圓噴嘴空氣射流試驗(yàn)，證實(shí)了射流一定距離內(nèi)存在著混沌行為。張建偉等[14](2015)在雙噴嘴水平對(duì)置撞擊流混合器試驗(yàn)中，分析了其瞬時(shí)速度場(chǎng)的混沌特性。

綜上所述，混沌理論在湍流研究中得到了廣泛的應(yīng)用，取得了大量的成果。但是，湍流是一種高度復(fù)雜的流動(dòng)狀態(tài)，在時(shí)間上，脈動(dòng)尺度呈現(xiàn)出非周期性的漲落，在空間上，包含著多層次的結(jié)構(gòu)，并具有一定的自相似性，是一種典型的隨機(jī)和有序、混亂和結(jié)構(gòu)統(tǒng)一的有機(jī)整體[15-16]。而大多數(shù)湍流研究探究了時(shí)間序列的混沌變化，沒有考慮到時(shí)間序列的空間混沌變化特征，此外，對(duì)于天然明渠的湍流混沌特性研究較少。為此，考慮到湍流時(shí)空間的混沌特征變化，采用明渠水槽試驗(yàn)，在設(shè)計(jì)的工況下，采用ADV(Acoustic Doppler Velocimetry，聲學(xué)多普勒測(cè)速儀)測(cè)量湍流速度場(chǎng)，通過計(jì)算明渠湍流空間不同位置湍流速度場(chǎng)的延遲時(shí)間、關(guān)聯(lián)維度、Lyapunov指數(shù)和Kolmogrov熵等混沌特征參數(shù)，探究明渠湍流速度的空間混沌特征規(guī)律。

2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)與混沌參數(shù)計(jì)算

2.1 試驗(yàn)裝置

試驗(yàn)在矩形玻璃水槽中完成。矩形玻璃水槽主要由變頻供水系統(tǒng)、輸水管道、進(jìn)水口、變坡玻璃水槽、出水口、蓄水庫、多孔篩板構(gòu)成。其中，變坡玻璃水槽兩側(cè)和底面都為有機(jī)玻璃，全長(zhǎng)15 m，寬0.3 m，高0.3 m。明渠水槽裝置見圖1。

圖1 明渠水槽裝置

2.2 試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)采集

明渠水槽試驗(yàn)中，采用明渠均勻流流態(tài)，流量為0.021 m3/s，蓄水高度為0.18 m，平均流速為0.4 m/s，平均雷諾數(shù)為35 820。試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)見圖2，選擇中上部分水流穩(wěn)定的明渠玻璃水槽底部安裝一塊湍流控制板，湍流控制板寬0.3 m，長(zhǎng)0.5 m，厚0.025 m，其上表面均勻粗糙，使其下游的一定空間范圍內(nèi)沿程和水深向上方向會(huì)產(chǎn)生一個(gè)持續(xù)衰減的湍流場(chǎng)，直到恢復(fù)明渠均勻流流態(tài)。沿湍流控制板下游中垂面依次選取6條測(cè)線，分別標(biāo)記為B—G號(hào)，B號(hào)測(cè)線緊靠湍流控制板末端，相鄰測(cè)線距離均為半個(gè)湍流控制板長(zhǎng)度0.25 m。對(duì)于每條測(cè)線，沿渠底向上依次選取6個(gè)測(cè)點(diǎn)，分別標(biāo)記為B1—B6、C1—C6、D1—D6、E1—E6、F1—F6和G1—G6,每條測(cè)線的第1個(gè)測(cè)點(diǎn)距離玻璃壁底0.02 m，相鄰測(cè)點(diǎn)間的垂向間距均為0.02 m。隨后，取出湍流控制板，在原B號(hào)測(cè)線位置上，沿渠底向上依次選取6個(gè)測(cè)點(diǎn)，各個(gè)測(cè)點(diǎn)與原B號(hào)測(cè)線上6個(gè)測(cè)點(diǎn)位置一致，記該測(cè)線為A號(hào)測(cè)線。

圖2 中垂面試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)

本試驗(yàn)湍流速度場(chǎng)采用ADV流速儀進(jìn)行測(cè)量。本次試驗(yàn)設(shè)置ADV參數(shù)具體如下：采樣頻率為50 Hz，采樣點(diǎn)的體積約為9×10-9m3，采樣點(diǎn)位于探頭下方0.05 m處，測(cè)量的誤差為流速的1%范圍以內(nèi)，數(shù)據(jù)的采集與處理由配套軟件Horizon ADV完成。

2.3 混沌特征參數(shù)計(jì)算

分析時(shí)間序列的混沌特性，首先需要進(jìn)行混沌特性識(shí)別，其主要方法是通過計(jì)算時(shí)間序列的延遲時(shí)間、關(guān)聯(lián)維數(shù)、Lyapunov指數(shù)和Kolmogrov熵等混沌特征參數(shù)來判別。其中，延遲時(shí)間表征動(dòng)力系統(tǒng)時(shí)間過程行為反應(yīng)敏感程度的大小，延遲時(shí)間越大，系統(tǒng)的行為反應(yīng)敏感程度越小，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的前后相關(guān)性越大；關(guān)聯(lián)維數(shù)作為一種分形維數(shù)對(duì)系統(tǒng)的時(shí)間過程行為反應(yīng)敏感，能夠表征奇怪吸引子維數(shù)及其幾何結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度，其值越大，動(dòng)力系統(tǒng)中的奇怪吸引子幾何結(jié)構(gòu)越復(fù)雜；最大Lyapunov指數(shù)是刻畫混沌軌跡的局域不穩(wěn)定性和初始條件敏感依賴性的定量判據(jù)，是判斷動(dòng)力系統(tǒng)時(shí)間序列是否存在混沌和混沌特性強(qiáng)弱的一個(gè)重要依據(jù)，其值<0，說明時(shí)間序列不存在混沌特性，其值為0，說明時(shí)間序列處于臨界狀態(tài)，其值>0，且越大，混沌特性越強(qiáng)，反之其值越小，混沌特性越弱；Kolmogrov熵則是關(guān)于混沌系統(tǒng)的初始信息損失速率的度量，是對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)復(fù)雜的度量描述，是一個(gè)描述時(shí)間混沌特征的重要參數(shù)，Kolmogrov熵=0，表示該系統(tǒng)是有序系統(tǒng)，即該系統(tǒng)能夠完全準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，Kolmogrov熵→，表示該系統(tǒng)是隨機(jī)系統(tǒng)，能夠進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均預(yù)測(cè)，若Kolmogrov熵為>0的有限值，則該系統(tǒng)是混沌系統(tǒng)，Kolmogrov熵越大，系統(tǒng)對(duì)于初值越敏感[17]。

2.3.1 相空間重構(gòu)

相空間重構(gòu)是將一維的時(shí)間序列點(diǎn)x1,x2,…,xn(n為時(shí)間序列點(diǎn)的個(gè)數(shù))映射到m維空間當(dāng)中，使空間中原動(dòng)力系統(tǒng)特征得到保持[18-19]，上述過程為

i=1,2，…，N。

(1)

式中：τ為延遲時(shí)間；N為重構(gòu)后的相空間矢量的個(gè)數(shù)，N=n-(m-1)τ；X為相空間重構(gòu)矩陣；Xi為相空間重構(gòu)第i行數(shù)列；xi為第i個(gè)時(shí)間序列點(diǎn)。

2.3.2 關(guān)聯(lián)維度的計(jì)算

關(guān)聯(lián)維數(shù)的計(jì)算采用G-P算法[20]，在相空間重構(gòu)的基礎(chǔ)上，取相空間中點(diǎn)集{Xi}(i=1,2，…，N)的一點(diǎn)Xi={xi,xi+τ,…,xi+(m-1)τ}作參考點(diǎn)，計(jì)算另外N-1個(gè)點(diǎn)到它的距離，則可統(tǒng)計(jì)出落于以點(diǎn)Xi為中心、以小標(biāo)量r為半徑的體積元中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)。對(duì)所有點(diǎn)重復(fù)這一過程，從而得到關(guān)聯(lián)積分Cm(r)為

(2)

式中H(·)為Heaviside階躍函數(shù)，即

(3)

考慮n維相空間內(nèi)的一個(gè)奇怪吸引子，設(shè)點(diǎn)集{yi}(i=1,2，…，N)是在奇怪吸引子上的一個(gè)很長(zhǎng)時(shí)間序列的點(diǎn)集?，F(xiàn)在用M(r)個(gè)大小為rn的n維小單元體覆蓋住這個(gè)點(diǎn)集{yi}(i=1,2，…，N)的所有點(diǎn)，于是關(guān)聯(lián)維度D2定義為

(4)

因此，畫出雙對(duì)數(shù)曲線lnCm(r)-lnr，取其中線性相關(guān)度比較好的部分，對(duì)其進(jìn)行最小二乘線性擬合，擬合直線的斜率即為對(duì)應(yīng)時(shí)間序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)D2。計(jì)算關(guān)聯(lián)維數(shù)時(shí)，嵌入維數(shù)m和延遲時(shí)間τ的選取至關(guān)重要，分別采用常用的飽和維數(shù)法和自相關(guān)函數(shù)法確定[21-23]。

2.3.3 Lyapumov指數(shù)的計(jì)算

(5)

式中Lj=‖Xtj-Xtj(j)‖。

2.3.4 Kolmogrov熵的計(jì)算

目前，通常利用二階關(guān)聯(lián)熵K[25]來估算Kolmogrov熵，計(jì)算方法為

(6)

在計(jì)算中通常將K隨m+1變化的穩(wěn)定值作為Kolmogrov熵的估計(jì)值。

3 湍流速度的混沌特征分析

通過對(duì)明渠湍流控制板下游監(jiān)測(cè)點(diǎn)的湍流速度信號(hào)的時(shí)間序列進(jìn)行混沌特性分析，在已重構(gòu)相空間的基礎(chǔ)上，分別計(jì)算其延遲時(shí)間、關(guān)聯(lián)維數(shù)、最大Lyapunov指數(shù)和Kolmogrov熵等混沌特征參數(shù)。對(duì)于明渠湍流而言，影響湍流速度混沌特征參數(shù)的因素眾多。明渠湍流控制板、垂直方向上重力和水的脈動(dòng)壓力的合力、流向方向上上游來水的流向推力和下游水流的阻力對(duì)不同空間位置的湍流速度混沌特征參數(shù)影響程度均有差異，在這些因素的共同作用下，探討湍流速度混沌特征參數(shù)的空間變化規(guī)律。

3.1 湍流速度信號(hào)的混沌特征參數(shù)空間分布規(guī)律

分別對(duì)設(shè)計(jì)工況下測(cè)線上測(cè)點(diǎn)的湍流速度信號(hào)的延遲時(shí)間、關(guān)聯(lián)維數(shù)、Lyapunov指數(shù)和Kolmogrov熵進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)一步擬合各條測(cè)線的混沌參數(shù)曲線，見圖3，分別是設(shè)計(jì)工況下延遲時(shí)間個(gè)數(shù)、關(guān)聯(lián)維數(shù)、Lyapunov指數(shù)和Kolmogrov熵的擬合曲線。其中，延遲時(shí)間為時(shí)間延遲個(gè)數(shù)與相鄰時(shí)間序列點(diǎn)時(shí)間間隔的乘積。

圖3 沿程中垂線測(cè)點(diǎn)時(shí)間延遲個(gè)數(shù)、關(guān)聯(lián)維度、Lyapunov指數(shù)、Kolmogrov熵

由圖3(a)可知：各個(gè)測(cè)點(diǎn)的時(shí)間延遲個(gè)數(shù)分布在3～15之間；同一水深位置，測(cè)線A上各個(gè)測(cè)點(diǎn)的延遲時(shí)間均比其他測(cè)線測(cè)點(diǎn)的延遲時(shí)間要長(zhǎng)。安裝湍流控制板后，總體上看，同一水深，沿水流方向，測(cè)點(diǎn)的延遲時(shí)間依次增大；沿水深向上方向，測(cè)線上測(cè)點(diǎn)的延遲時(shí)間依次減小。這是由于安裝湍流控制板后，在整體上，沿水深向上方向，隨著湍流的發(fā)展，由于重力和自由水面的作用，垂直流速較小，限制了不同層水體的交換[26]，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)前后相關(guān)性不斷減弱，使得湍流的時(shí)間過程行為反應(yīng)敏感程度不斷增強(qiáng)；沿水流方向，隨著湍流的發(fā)展，在湍流控制板近壁區(qū)生成的湍流不斷耗散和消亡，使得系統(tǒng)不斷向穩(wěn)態(tài)發(fā)展，湍流的時(shí)間過程行為反應(yīng)敏感程度不斷減弱，系統(tǒng)前后相關(guān)性不斷增強(qiáng)。

由圖3(b)—圖3(d)可知：各個(gè)測(cè)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)維度、Lyapunov指數(shù)和Kolmogrov熵分別在6.094 9～8.661 7、0.024 8～0.073 6和0.044 2～0.191 8范圍內(nèi)，同一水深位置，測(cè)線A上各個(gè)測(cè)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)維度、Lyapunov指數(shù)、Kolmogrov熵比其他測(cè)線測(cè)點(diǎn)小。安裝湍流控制板后，總體上看，同一水深，沿水流方向，測(cè)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)維度、Lyapunov指數(shù)、Kolmogrov熵依次減??；沿水深向上方向，測(cè)線上測(cè)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)維度、Lyapunov指數(shù)、Kolmogrov熵也依次減小。這是由于安裝湍流控制板后，在湍流控制板近壁底區(qū)處，產(chǎn)生了渦量大、尺度小的渦結(jié)構(gòu)，沿水流方向及水深向上方向不斷衰減[27]，降低了湍流系統(tǒng)奇怪吸引子維數(shù)及其幾何結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度，減少了湍流的混沌軌跡的局域不穩(wěn)定性和初始條件敏感依賴性，削弱了湍流混沌系統(tǒng)的初始信息損失速率，從而使得測(cè)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)維度、Lyapunov指數(shù)和Kolmogrov熵沿水流方向和水深向上方向不斷減小，湍流混沌強(qiáng)度不斷減弱。

3.2 湍流速度信號(hào)的混沌特征參數(shù)及水力因子空間分布比較

一般而言，對(duì)于明渠水槽，湍流的雷諾數(shù)、紊動(dòng)強(qiáng)度和相對(duì)紊動(dòng)強(qiáng)度作為湍流統(tǒng)計(jì)平均的重要參數(shù)能夠較好地反映湍流的一些特征。具體考慮到明渠水槽中，雷諾數(shù)與平均流速成正比，紊動(dòng)強(qiáng)度是以脈動(dòng)流速的均方根來反映紊動(dòng)強(qiáng)弱的特征值，相對(duì)紊動(dòng)強(qiáng)度是以脈動(dòng)流速的均方根與相應(yīng)時(shí)均流速的比值來反映紊動(dòng)強(qiáng)弱的特征值。通過計(jì)算不同測(cè)點(diǎn)流向速度的平均流速、紊動(dòng)強(qiáng)度和相對(duì)紊動(dòng)強(qiáng)度，再分別與中垂面的空間位置擬合成空間曲面，見圖4。進(jìn)一步，在安裝湍流控制板后，擬合出中垂面與各個(gè)混沌參數(shù)的空間曲面，見圖5，分別為明渠水槽中垂面上時(shí)間延遲個(gè)數(shù)、關(guān)聯(lián)維度、Lyapunov指數(shù)和Kolmogrov熵的擬合曲面。

圖4 沿程中垂面平均流速、紊動(dòng)強(qiáng)度、相對(duì)紊動(dòng)強(qiáng)度

圖5 沿程中垂面時(shí)間延遲個(gè)數(shù)、關(guān)聯(lián)維度、Lyapunov指數(shù)、Kolmogrov熵

由圖4(a)、圖4(b)可知，安裝湍流控制板后，測(cè)點(diǎn)流向平均流速和紊動(dòng)強(qiáng)度分別在10.82～57.95 cm/s和3.17～7.61范圍內(nèi)?？傮w上看，同一測(cè)線上的測(cè)點(diǎn)的雷諾數(shù)和紊動(dòng)強(qiáng)度沿水深向上方向不斷增大；同一水深，沿水流方向，測(cè)點(diǎn)的雷諾數(shù)和紊動(dòng)強(qiáng)度大小略微浮動(dòng)，基本保持不變。

由圖4(c)可知，安裝湍流控制板后，測(cè)點(diǎn)流向相對(duì)紊動(dòng)強(qiáng)度在0.13～0.32范圍內(nèi)?？傮w上看，同一測(cè)線上的測(cè)點(diǎn)的相對(duì)紊動(dòng)強(qiáng)度沿水深向上方向不斷減??；同一水深，沿水流方向，測(cè)點(diǎn)的相對(duì)紊動(dòng)強(qiáng)度大小整體略微沿程減少，變化幅度微弱。

由圖5可知：安裝湍流控制板后，總體上看，沿水流方向，湍流速度的時(shí)間過程行為反應(yīng)敏感程度沿程不斷削弱；而沿水深向上方向，湍流速度的時(shí)間過程行為反應(yīng)敏感程度不斷增強(qiáng)；測(cè)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)維度、Lyapunov指數(shù)和Kolmogrov熵沿水流方向和水深向上方向不斷減小。

綜合圖4、圖5可知，安裝湍流控制板后，由于上游來水在靠近湍流控制板近壁底區(qū)處與湍流控制板粗糙的表面摩擦，產(chǎn)生渦量大、尺度小的渦結(jié)構(gòu)，沿水流方向及水深向上方向不斷耗散與消亡?；煦缣卣鲄?shù)在空間變化的規(guī)律能解釋湍流渦結(jié)構(gòu)沿水深及流向方向不斷耗散和消亡的變化規(guī)律；而傳統(tǒng)的水力因子，如雷諾數(shù)、紊動(dòng)強(qiáng)度和相對(duì)紊動(dòng)強(qiáng)度在沿水流方向渦結(jié)構(gòu)不斷耗散和消亡時(shí)，略微浮動(dòng)，基本保持不變，無法解釋湍流渦結(jié)構(gòu)沿程耗散和消亡的變化趨勢(shì)。

4 結(jié) 論

(1)通過對(duì)明渠湍流測(cè)點(diǎn)速度的混沌特征參數(shù)計(jì)算，結(jié)合混沌理論，可以判別得出明渠湍流速度具有混沌特征。

(2)相對(duì)于安裝湍流控制板前，安裝湍流控制板后，在水流條件未穩(wěn)定之前，明渠水槽沿程同一位置明渠湍流的混沌強(qiáng)度明顯增強(qiáng)。

(3)安裝湍流控制板后，在水流條件未穩(wěn)定之前，沿水深向上方向和水流方向，湍流的混沌強(qiáng)度不斷減弱。

(4)與湍流統(tǒng)計(jì)平均參數(shù)比較，混沌特征參數(shù)的強(qiáng)弱能夠反映出湍流渦結(jié)構(gòu)在空間耗散和消亡的變化規(guī)律。