黃國(guó)忠

學(xué)生從認(rèn)識(shí)自然數(shù)到認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)是認(rèn)識(shí)數(shù)的一次飛躍，“分?jǐn)?shù)”一直是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，是因?yàn)樽匀粩?shù)的確定性和分?jǐn)?shù)的相對(duì)性之間的矛盾。認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)跨不過單位“1”，單位“1”是變化的，可以是單數(shù)意義的“1”，也可以是復(fù)數(shù)意義的單位“1”。弗賴登塔爾說，“分?jǐn)?shù)”是個(gè)代數(shù)概念。同一個(gè)分?jǐn)?shù)可以表示不同的數(shù)量，不同的分?jǐn)?shù)也可以表示同一個(gè)數(shù)量，同一個(gè)數(shù)量也可以表示成不同的分?jǐn)?shù)。正因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)是相對(duì)于單位“1”的代數(shù)概念，所以學(xué)生在認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的時(shí)候，的確遇到了很大的困難，那該怎么辦呢？

建立“分?jǐn)?shù)”數(shù)學(xué)模型

分?jǐn)?shù)概念數(shù)學(xué)模型是把單位“1”平均分成 x份，表示這樣 y份的數(shù)，也就是 Y/X。我們可以設(shè)計(jì)四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)建立“分?jǐn)?shù)”的數(shù)學(xué)模型。

環(huán)節(jié)一 想想、說說（例1）

用分?jǐn)?shù)表示涂色部分，并說說想法？意在讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到一個(gè)物體，一個(gè)圖形，一個(gè)計(jì)量單位以及一個(gè)整體，都可以用自然數(shù)“1”表示，抽象出單位”1“的概念。通過討論、交流，豐富學(xué)生對(duì)單位“1“的表象，理解單位“1”可大可小，可多可少。

環(huán)節(jié)二 分分、涂涂（練習(xí)六第 2題）

改題：有一盒桃子，要拿出它的 2/3，你猜一猜這盒桃子可能有幾只？學(xué)生要猜出有幾只桃子，要有數(shù)學(xué)層面的思考，拿出它的 2/3，拿出的桃子肯定是整數(shù)個(gè)，那桃子的個(gè)數(shù)就一定是 3的倍數(shù)，所以可以是 3、6、9、12個(gè)等。再讓學(xué)生“分一分，涂一涂”，提問：這四幅圖都表示所圈出桃子的2/3，為什么涂色桃子的個(gè)數(shù)卻不同？意在讓學(xué)生體會(huì)到雖然 2/3都表示平均分成 3份，取其中的 2份，但因?yàn)閱挝弧?”的不同，所表示的具體數(shù)量也是不同的。

環(huán)節(jié)三分分 ，寫寫（請(qǐng)先分，再用不同分?jǐn)?shù)表示涂色部分。）

提問單位“1”、涂色正方形個(gè)數(shù)都一樣，為什么表示的分?jǐn)?shù)卻各不相同呢 ？讓學(xué)生明白要用一個(gè)分?jǐn)?shù)準(zhǔn)確的表示，我們既要關(guān)注單位“1”是什么，還要關(guān)注單位“1”被平均分成了幾份，表示了這樣的幾份。

環(huán)節(jié)四 -----看看，理理

出示長(zhǎng)方形，把它看作單位 "1"，如果平均分成 2份 ，可以想到哪些分?jǐn)?shù) ？你怎么想的？平均分成 3份，4份，5份，100份，1000份呢？然后抽象出分?jǐn)?shù)意義以及分?jǐn)?shù)單位的概念。

“分?jǐn)?shù)意義”這句話非常的嚴(yán)謹(jǐn)、枯燥、抽象，如何讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)概念，建立分?jǐn)?shù)概念的數(shù)學(xué)模型呢？通過動(dòng)手操作，數(shù)形結(jié)合，比較辨析等形式幫助學(xué)生去認(rèn)識(shí)，去感悟，把“分?jǐn)?shù)的意義”變化的、直觀的展示給學(xué)生看，以便建立分?jǐn)?shù)概念的數(shù)學(xué)模型。

建立“分?jǐn)?shù)”與“整數(shù)”的聯(lián)結(jié)

學(xué)生對(duì)整數(shù)的認(rèn)識(shí)已建立了自己的知識(shí)體系，在學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)之前已有了認(rèn)知基礎(chǔ)。分?jǐn)?shù)與整數(shù)聯(lián)結(jié)的缺失，導(dǎo)致了學(xué)生認(rèn)知分?jǐn)?shù)的困難。如果學(xué)生能夠在早已熟知的整數(shù)的基礎(chǔ)上接受分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)就沒有什么特別的了。分?jǐn)?shù)與整數(shù)之間是相互聯(lián)系的，它們之間是相通的，利用它們的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，把“分?jǐn)?shù)概念”和“整數(shù)概念”巧妙地聯(lián)結(jié)起來，溝通它們之間的聯(lián)系，然后由“分?jǐn)?shù)實(shí)際問題”過渡到“整數(shù)實(shí)際問題”，那么學(xué)生解答“分?jǐn)?shù)實(shí)際問題”也

就容易多了。分?jǐn)?shù)與整數(shù)有哪些聯(lián)結(jié)點(diǎn)呢？

聯(lián)結(jié)點(diǎn)一 單位“1”與“1份數(shù)”

分?jǐn)?shù)的單位“1”是變化的，可以是單數(shù)意義的“1”，也可以是復(fù)數(shù)意義的單位“1”，單位“1”的變化決定了“分?jǐn)?shù)”是個(gè)代數(shù)概念。其實(shí)，整數(shù)也不確定，也具有相對(duì)性，它是相對(duì)于“1份數(shù)”（標(biāo)準(zhǔn)）的代數(shù)概念。“梨重量是蘋果的 3倍”。如果把“1千克”定為“1份數(shù)”（標(biāo)準(zhǔn)），梨重量是這樣的 3份，就是 3千克;如果把“5千克”定為“1份數(shù)”（標(biāo)準(zhǔn)），梨重量是這樣的 3份，就是 15千克?！罢麛?shù)”的“1份數(shù)”（標(biāo)準(zhǔn)）也是可以變化的?？梢钥闯鰡挝弧?”與“1份數(shù)”都是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，分?jǐn)?shù)的單位“1”也就是整數(shù)的“1份數(shù)”。所以利用整數(shù)與分?jǐn)?shù)的這個(gè)聯(lián)結(jié)點(diǎn)展開教學(xué)，溝通單位“1”與“1份數(shù)”的聯(lián)系，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)是整數(shù)的延續(xù)和擴(kuò)充，學(xué)生解答“分?jǐn)?shù)實(shí)際問題”也就容易多了。

在教學(xué)完五年級(jí)下冊(cè)的“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾的實(shí)際問題”后，我設(shè)計(jì)了這樣一組對(duì)比練習(xí)。

先出示： 3個(gè)蘋果。

出示：2個(gè)梨，提問：梨是蘋果的幾分之幾？ [梨與蘋果比，蘋果是單位“1”（標(biāo)準(zhǔn)），梨是蘋果的2/3。]

出示：3個(gè)梨，師引導(dǎo)：如何提問？（梨是蘋果的幾分之幾？）可以嗎？（可以）梨是蘋果的幾分之幾？（梨是蘋果的3/3。）3/3等于多少？（3/3 =1）所以還可以說梨是蘋果的 1倍。

上面幾個(gè)問題都是把誰看作單位“1”的？你覺得“1份數(shù)”與單位“1”有聯(lián)系嗎？（它們都是標(biāo)準(zhǔn)，“1份數(shù)”與單位“1”實(shí)質(zhì)是一樣的。）那有什么區(qū)別？（當(dāng)我們?cè)O(shè)定了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)后，以前用整數(shù)表示倍數(shù)關(guān)系，現(xiàn)在當(dāng)與設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)比較的結(jié)果不夠 1時(shí)，我們可用小于 1的分?jǐn)?shù)表示;當(dāng)與設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)比較的結(jié)果大于、等于 1時(shí)，我們可以用大于、等于 1的分?jǐn)?shù)表示，如果是標(biāo)準(zhǔn)的倍數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)可以化成整數(shù)。）

單位“1”與“1份數(shù)”聯(lián)結(jié)的建立，是用“整數(shù)實(shí)際問題”的思維方式去解答“分?jǐn)?shù)實(shí)際問題”的基礎(chǔ)。當(dāng)學(xué)生抓住單位“1”與“1份數(shù)”聯(lián)結(jié)點(diǎn)，建立起單位“1”與“1份數(shù)”聯(lián)結(jié)后，學(xué)生就會(huì)延續(xù)“整數(shù)實(shí)際問題”的解答方式去思考“分?jǐn)?shù)實(shí)際問題”。

聯(lián)結(jié)點(diǎn)二 “幾倍”與“幾分之幾”

分?jǐn)?shù)有兩種不同的身份，既可以表示具體的數(shù)量，也可以表示分率，其實(shí)，整數(shù)也有兩種這樣的身份。比如：小明家里養(yǎng)了 3只雞，養(yǎng)的鴨是雞的 3倍。前面的 3只是個(gè)具體的數(shù)量，后面的 3倍，是一種倍比關(guān)系，也就是鴨與雞的比是 3：1。豬重量是牛的 1/2，反過來牛的重量就是豬的 2倍。鴨是雞的 3倍，則雞就是鴨的1/3?！皫妆丁焙汀皫追种畮住彼鼈儗?shí)際上都是倍比關(guān)系，是可以相互轉(zhuǎn)化的，完全可以把“幾分之幾”和“幾倍”緊密的聯(lián)結(jié)起來，進(jìn)行對(duì)比教學(xué)。所以，教學(xué)時(shí)可以抓住整數(shù)與分?jǐn)?shù)的這個(gè)聯(lián)結(jié)點(diǎn)，來展開“分?jǐn)?shù)乘、除法應(yīng)用題”的教學(xué)。

比如：六年級(jí)上冊(cè)“簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)乘法實(shí)際問題”可以應(yīng)用分?jǐn)?shù)乘法意義與整數(shù)乘法意義的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行教學(xué)。

出示：一瓶牛奶 250毫升

媽媽買了 3瓶牛奶，3瓶一共是多少毫升？ [“3瓶是多少毫升”，就是求 250毫升的 3倍是多少。求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，用乘法計(jì)算， 250X3=750（毫升）]

小明喝了 2/5瓶，小明喝了多少毫升？ （方法 1、250÷5X 2）

教師引導(dǎo)：“幾分之幾”和“幾倍”都表示倍數(shù)關(guān)系，既然“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”用乘法計(jì)算，那“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾”還可以如何解答？ [方法2、“2/5瓶是多少毫升”，就是求 250毫升的 2/5是多少，所以用乘法計(jì)算，250X2/5=50（毫升）]

學(xué)生弄清楚“幾倍”與“幾分之幾”之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立起幾倍”與“幾分之幾”的聯(lián)結(jié)后，從“整數(shù)乘、除法的實(shí)際問題”過渡到“分?jǐn)?shù)乘、除法的實(shí)際問題”也就順暢多了。學(xué)生自然而然的把“分?jǐn)?shù)實(shí)際問題”作為“整數(shù)實(shí)際問題”的延伸，克服了學(xué)生學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)實(shí)際問題”的一個(gè)難點(diǎn)，為學(xué)生以后學(xué)習(xí)“復(fù)雜分?jǐn)?shù)實(shí)際問題”打下了扎實(shí)的基礎(chǔ)。

在學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)一定要突出分?jǐn)?shù)概念是對(duì)整數(shù)概念的一次擴(kuò)充，抓住概念之間的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，弄清知識(shí)的來龍去脈與縱橫聯(lián)系，讓學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，逐步建立分?jǐn)?shù)與整數(shù)概念的聯(lián)結(jié)，用原有整數(shù)的認(rèn)知體系來認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生覺得分?jǐn)?shù)沒什么特別。然后教學(xué)“分?jǐn)?shù)的實(shí)際問題”時(shí)，要利用好分?jǐn)?shù)與整數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，克服認(rèn)知上的困難，彌合兩者之間的割裂狀態(tài)，使學(xué)生真正掌握好“分?jǐn)?shù)實(shí)際問題”。

（蘇州高新區(qū)文正小學(xué)）