丁銀杰 殷容儀

波利亞曾說(shuō)：“完整的數(shù)學(xué)應(yīng)該包含兩個(gè)側(cè)面，一個(gè)是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，另一個(gè)是實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)?！薄读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“2011 年版課標(biāo)”）也強(qiáng)調(diào)“動(dòng)手實(shí)踐”是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，要求“學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程”。因此，進(jìn)行常態(tài)化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，應(yīng)該是一種有益于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的應(yīng)然選擇。

2015 年江蘇省中小學(xué)教材審定委員會(huì)審查通過(guò)蘇科版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《手冊(cè)》），數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)正式進(jìn)入課堂。經(jīng)過(guò)近幾年的實(shí)驗(yàn)教學(xué)實(shí)踐與研究，廣大教師對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有了較為全面的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種有效的教學(xué)方式逐漸成為一種共識(shí)，產(chǎn)生了良好的效能，常態(tài)化實(shí)施數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)已成應(yīng)然選擇。本文筆者想就常態(tài)化實(shí)施數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的有效路徑和方法，談一些想法。

一、使用數(shù)學(xué)教材中的實(shí)驗(yàn)素材，讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)走進(jìn)常態(tài)化課堂

蘇科版義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書(shū)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《數(shù)學(xué)》）注重引導(dǎo)學(xué)生“做”數(shù)學(xué)，設(shè)有“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”“數(shù)學(xué)活動(dòng)”“課題學(xué)習(xí)”等欄目，為學(xué)生提供了充分“做”數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)。常態(tài)化實(shí)施數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的有效路徑和方法就是要重視使用《數(shù)學(xué)》中的實(shí)驗(yàn)素材，讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)走進(jìn)常態(tài)化課堂。

例如，《數(shù)學(xué)》七下“7.2 平行線(xiàn)的性質(zhì)”，在“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”欄目設(shè)計(jì)了“畫(huà)”“剪”“疊”“拼”等操作活動(dòng)（如圖1），這種教學(xué)設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)動(dòng)手實(shí)踐，實(shí)驗(yàn)意圖、目的都很明確，旨在幫助學(xué)生探究平行線(xiàn)的性質(zhì)。

（圖1）

我們完全可以讓這個(gè)實(shí)驗(yàn)走進(jìn)課堂，具體操作流程如下：為學(xué)生準(zhǔn)備一些紙張、直尺、剪刀等實(shí)驗(yàn)材料和實(shí)驗(yàn)工具，采用小組合作學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下進(jìn)行“畫(huà)”“剪”“疊”“拼”等操作活動(dòng)，既動(dòng)手又動(dòng)腦，真正實(shí)現(xiàn)手腦協(xié)同，啟思明理。另外，我們也可以利用GeoGebra 等軟件進(jìn)行演示實(shí)驗(yàn)，GeoGebra 軟件中的“剛體多邊形”工具的“復(fù)制”功能和圖形的“平移”“旋轉(zhuǎn)”等變換，方便、快捷地實(shí)現(xiàn)演示操作。在幾何直觀的指引下，學(xué)生很容易完成平行線(xiàn)性質(zhì)的探索。

二、整合實(shí)驗(yàn)手冊(cè)與數(shù)學(xué)教材，將實(shí)驗(yàn)教學(xué)常態(tài)化融進(jìn)日常教學(xué)

《手冊(cè)》全套有5 個(gè)分冊(cè)，共設(shè)計(jì)了82 個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，《數(shù)學(xué)》和《手冊(cè)》上的實(shí)驗(yàn)資源都是為了幫助學(xué)生在操作、觀察、交流、思考的基礎(chǔ)上，更好地理解和掌握教學(xué)內(nèi)容。常態(tài)化實(shí)施數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的有效路徑和方法就是要重視整合《數(shù)學(xué)》和《手冊(cè)》中的實(shí)驗(yàn)資源，將實(shí)驗(yàn)教學(xué)融進(jìn)日常教學(xué)。

《手冊(cè)》中的每一個(gè)實(shí)驗(yàn)，目的任務(wù)明確，內(nèi)容步驟完整，工具素材齊全，指南說(shuō)明清晰，可直接用于教學(xué)實(shí)踐，但這并不意味著需要額外安排學(xué)時(shí)專(zhuān)門(mén)用于實(shí)驗(yàn)教學(xué)。我們建議將《手冊(cè)》中的實(shí)驗(yàn)按“融入式”和“專(zhuān)題式”兩種方式融進(jìn)日常教學(xué)?！叭谌胧健睂?shí)驗(yàn)教學(xué)聚焦的是課堂的某一個(gè)環(huán)節(jié)，或作為問(wèn)題情境引入新知，或操作觀察提出猜想，或設(shè)計(jì)方案驗(yàn)證結(jié)論等，可設(shè)計(jì)成相應(yīng)學(xué)時(shí)的某一片段?！皩?zhuān)題式”實(shí)驗(yàn)教學(xué)一般主題明確，過(guò)程完整，建議設(shè)計(jì)成一個(gè)完整的學(xué)時(shí)進(jìn)行教學(xué)。

例如，以《手冊(cè)》七上內(nèi)容為例，給出如下教學(xué)建議（表1）：

（表1）

三、信息技術(shù)與課堂教學(xué)深度融合，為常態(tài)化實(shí)驗(yàn)教學(xué)插上技術(shù)翅膀

2011 年版課標(biāo)指出，“要充分考慮信息技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容和方式的影響，開(kāi)發(fā)并向?qū)W生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，把信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問(wèn)題的有力工具，有效地改進(jìn)教與學(xué)的方式，使學(xué)生樂(lè)意并有可能投入到現(xiàn)實(shí)的、探究性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去”。當(dāng)前，學(xué)校信息化裝備的水平普遍有了很大提升，教室一般都配有基于網(wǎng)絡(luò)的交互式智能教學(xué)一體機(jī)，可以實(shí)現(xiàn)智能終端（Pad、手機(jī)等）間的信息互聯(lián)互通，有的學(xué)校還建立了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，配有供學(xué)生探究的圖形計(jì)算器等設(shè)備。GeoGebra、幾何畫(huà)板、網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板等數(shù)學(xué)軟件更是極大地提升了技術(shù)的力量。廣大師生要做的是提升信息素養(yǎng)，了解常用硬件、軟件的基本功能，掌握其使用方法，提升運(yùn)用信息技術(shù)進(jìn)行教學(xué)的能力。

1.信息技術(shù)與課堂教學(xué)的深度融合，讓常態(tài)化實(shí)驗(yàn)教學(xué)化難為易成為可能。

我們建議信息技術(shù)與實(shí)驗(yàn)教學(xué)要進(jìn)行深度融合，融合的過(guò)程中要選準(zhǔn)融合點(diǎn)，避免泛化，要以信息技術(shù)之“長(zhǎng)”，解決教學(xué)實(shí)施之“難”，化難為易，真正實(shí)現(xiàn)技術(shù)與教學(xué)的有效對(duì)接。

2.信息技術(shù)與課堂教學(xué)深度融合，讓常態(tài)化實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程中的“真探究”成為現(xiàn)實(shí)。

信息技術(shù)與實(shí)驗(yàn)教學(xué)深度融合，融合的過(guò)程就是要利用信息技術(shù)在實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程中實(shí)現(xiàn)“真探究”，避免走過(guò)場(chǎng)的“假探索、真灌輸”，要將學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中獲得的經(jīng)驗(yàn)“遷移”到實(shí)際的問(wèn)題情境，要讓學(xué)生經(jīng)歷探究、發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證與應(yīng)用的完整過(guò)程，以此培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和科學(xué)精神。

例如，《手冊(cè)》九年級(jí)分冊(cè)中的“探究無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的最大容積”實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖峭ㄟ^(guò)操作、比較、計(jì)算等活動(dòng)，探究無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的最大容積，經(jīng)歷建立模型解決問(wèn)題的過(guò)程，滲透逼近思想，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。我們可以將實(shí)驗(yàn)與技術(shù)融合，發(fā)揮技術(shù)工具計(jì)算速度快、模擬精度高的優(yōu)勢(shì)，有效實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的意圖。實(shí)驗(yàn)的任務(wù)與主要思路如下。

任務(wù)：將一張邊長(zhǎng)為10cm 的正方形紙片按圖2 所示的方式制作成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒。

（圖2）

探索：當(dāng)剪去的小正方形邊長(zhǎng)與大正方形紙片邊長(zhǎng)滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒的容積最大？

憑借已有的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)儲(chǔ)備，學(xué)生不難完成以下基礎(chǔ)工作：（1）根據(jù)示意圖，通過(guò)計(jì)算、比較，初步感知小正方形邊長(zhǎng)與容積之間的關(guān)系，（2）建立函數(shù)模型y＝x（10－2x）2，其中x（cm）為剪去的小正方形邊長(zhǎng)，y（cm3）為無(wú)蓋長(zhǎng)方體容積。但三次函數(shù)最值問(wèn)題不在初中學(xué)生學(xué)習(xí)與解決的范疇中，這就需要調(diào)整認(rèn)知策略，展開(kāi)“真探究”。

思路1（逼近法）：經(jīng)過(guò)基礎(chǔ)工作，我們可以發(fā)現(xiàn)隨著x 由小到大，y 先由小到大，再由大到小，y 存在最大值，這為逼近法提供了可能。在GeoGebra 的表格區(qū)先設(shè)x 的初始值為0.5，步長(zhǎng)為0.5，計(jì)算可得當(dāng)1＜x＜2 時(shí)，容積最大；再依次設(shè)定步長(zhǎng)為0.1、0.01，得到當(dāng)1.66＜x＜1.68 時(shí)，容積最大……不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)小正方形邊長(zhǎng)為大正方形邊長(zhǎng)的時(shí)，無(wú)蓋長(zhǎng)方體容積最大。

思路2（圖像法）：如圖3，在GeoGebra 的繪圖區(qū)繪出函數(shù)y＝x（10－2x）2（0＜x＜5）的圖像，將x 軸與y 軸的顯示比例調(diào)整為1∶50，顯示圖像全貌，再標(biāo)出圖像的極值點(diǎn)，顯示其坐標(biāo)，通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)結(jié)論。

（圖3）

四、課內(nèi)教學(xué)與課外拓展有機(jī)結(jié)合，為常態(tài)化實(shí)驗(yàn)教學(xué)拓展空間

常態(tài)化實(shí)施數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的有效路徑和方法還應(yīng)該重視課內(nèi)教學(xué)與課外拓展的有機(jī)結(jié)合，為實(shí)驗(yàn)教學(xué)拓展空間?？梢岳脤W(xué)校的綜合實(shí)踐課程，采用課內(nèi)課外、線(xiàn)上線(xiàn)下等方式，積極引導(dǎo)學(xué)校教師和學(xué)生深度挖掘《數(shù)學(xué)》實(shí)驗(yàn)資源，自主開(kāi)發(fā)教具、學(xué)具，制作數(shù)學(xué)模型，不斷加深對(duì)知識(shí)的理解，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

例如，初中階段“銳角三角函數(shù)”內(nèi)容，由于缺少函數(shù)圖像的直觀呈現(xiàn)，學(xué)生難以把握銳角三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。針對(duì)這一情形，可以在《數(shù)學(xué)》素材的基礎(chǔ)上，開(kāi)發(fā)、制作銳角的正弦、余弦函數(shù)刻度尺教學(xué)具，在教學(xué)具的開(kāi)發(fā)和使用中理解正弦、余弦的意義，感受隨著銳角的增大，銳角的正弦、余弦函數(shù)值的變化規(guī)律。具體過(guò)程如下。

首先，制作刻度尺。（1）用繪圖軟件繪制出如圖4 的圖形（由寬度為1cm，量程為10cm 的角尺與半徑為10cm，圓心角為90°的扇形組成），將兩條半徑100 等分，圓弧90 等分，標(biāo)注相應(yīng)的刻度與正弦、余弦標(biāo)識(shí)。（2）用激光打印機(jī)將圖4 打印在透明的菲林膠片上，這樣就制成了銳角的正弦、余弦函數(shù)刻度尺。

（圖4）

其次，用刻度尺探究銳角的正弦、余弦函數(shù)性質(zhì)。（1）說(shuō)明銳角的正弦、余弦函數(shù)刻度尺的工作原理；（2）任意畫(huà)出兩個(gè)銳角，并用制作的正弦、余弦函數(shù)刻度尺分別量出它們的正弦、余弦值；（3）若α、β 均為銳角，且sinα＝0.60，cosβ＝0.26，能用正弦、余弦函數(shù)刻度尺估算出銳角α、β 的度數(shù)嗎（精確到1°）？（4）結(jié)合（2）（3）獲得的數(shù)據(jù)，有什么發(fā)現(xiàn)？

此外，我們還可以將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的研究拓展到課外?？梢詫嗉?jí)分成若干個(gè)學(xué)習(xí)小組，結(jié)合教學(xué)進(jìn)度，有計(jì)劃地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課外數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究，這些實(shí)驗(yàn)可以圍繞課前激趣或課后梳理展開(kāi)。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)唯有“常態(tài)化”，成為師生自覺(jué)的數(shù)學(xué)教學(xué)方式，才能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的價(jià)值，才能有效發(fā)展學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)，讓學(xué)生真正享受愉快而完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程。