黃 臣，劉宏清，羅 臻，周 翊

(1.重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065；2．重慶郵電大學(xué) 重慶市移動通信重點實驗室，重慶 400065)

穿墻雷達(dá)(Through-the-Wall Radar, TWR)系統(tǒng)已被用于感知建筑結(jié)構(gòu)布局以及檢測、分類和追蹤室內(nèi)目標(biāo)等場景，由于其對密閉建筑物內(nèi)場景的探測能力，在城市反恐、災(zāi)后救援以及現(xiàn)代戰(zhàn)爭中得到了廣泛關(guān)注[1-6]。為了獲得更好的室內(nèi)目標(biāo)探測結(jié)果，高質(zhì)量的雷達(dá)成像結(jié)果是后續(xù)探測任務(wù)的必要前提。然而，來自墻體回波的影響導(dǎo)致對室內(nèi)的成像任務(wù)具有極大的挑戰(zhàn)性。在穿墻雷達(dá)探測任務(wù)中，由于建筑物外墻較室內(nèi)目標(biāo)更靠近雷達(dá)天線，導(dǎo)致回波中墻體回波的能量遠(yuǎn)大于室內(nèi)目標(biāo)的回波，即墻體回波對目標(biāo)回波造成掩蔽效應(yīng)，極大地影響了最終成像效果。為了克服這一問題，在進(jìn)行雷達(dá)成像以前，需要將雷達(dá)回波中的墻體回波部分消除，從而得到高質(zhì)量的目標(biāo)成像結(jié)果。

傳統(tǒng)墻體回波抑制方法是背景消除(Background Subtraction，BS)[1]，但是在實際穿墻雷達(dá)應(yīng)用中，額外空白場景的雷達(dá)回波數(shù)據(jù)往往難以獲得。作為替代結(jié)合子空間理論，通過對所有天線位置的回波測量矩陣進(jìn)行奇異值分解(Singular Value Decomposition, SVD)，濾除墻體回波所占據(jù)的奇異值和其對應(yīng)的奇異向量構(gòu)成的子空間，將剩下的分量重新組成回波矩陣進(jìn)行成像[7-9]。為了克服基于奇異值分解的雜波抑制方法需要采集全部雷達(dá)回波數(shù)據(jù)的缺點，文獻(xiàn)[10、11]提出采用離散長橢圓序列(Discrete Prolate Spheroidal Sequences, DPSS)調(diào)制雷達(dá)回波信號，使目標(biāo)回波具有稀疏特性的雜波抑制方法。近年來將低秩方法用于雷達(dá)探測回波中的雜波抑制的研究得到發(fā)展，文獻(xiàn)[12]在對步進(jìn)頻率穿墻雷達(dá)的研究中，指出墻體回波是位于低秩子空間中, 并且當(dāng)回波信號使用適當(dāng)?shù)幕硎緯r，目標(biāo)信號是稀疏的。因此，基于壓縮感知理論，稀疏方法用于場景重建得到了廣泛研究[12-15]。

筆者提出了一種在低秩聯(lián)合稀疏優(yōu)化模型下的雜波抑制方法，并驗證了提出方法在各種情況下的雜波抑制效果，包括改變墻體的厚度、材質(zhì)和結(jié)構(gòu)。最后提供不同墻體參數(shù)對雜波抑制效果影響的結(jié)論。和現(xiàn)有雜波抑制算法相比，基于低秩聯(lián)合稀疏的方法能實現(xiàn)更好的雜波抑制效果和提供更清晰的目標(biāo)成像。

1 穿墻雷達(dá)信號模型

圖1 穿墻雷達(dá)電磁波傳播路徑示意圖

假設(shè)一個中心頻率為fc的單頻雙天線收發(fā)分置穿墻雷達(dá)系統(tǒng)，其中N個雷達(dá)天線被平行于墻面放置在建筑物外。在整個探測過程中，被接收機(jī)測量和存儲在第n個天線的雷達(dá)回波信號為

gn(t)=gn,w(t)+gn,ta(t)+sn(t) ，

(1)

其中,gn,w(t)為墻體回波部分，gn,ta(t)為目標(biāo)回波，sn(t)為背景噪聲。

將整個探測場景離散化為包含Q個像素的矩形網(wǎng)格，圖1給出了電磁波在第q個像素點和第n組天線間的傳播路徑。圖中l(wèi)q,air1, t,lq, wall, t和lq, air2, t表示電磁波在發(fā)射天線和第q個像素點之間經(jīng)過的自由空間和墻體的距離。同樣地，lq, air1, r,lq, wall, r和lq, air2, r則是在接收天線和第q個像素點之間的各介質(zhì)傳播距離。

在圖1中，Tx表示發(fā)射機(jī)，Rx表示接收機(jī)，像素q和天線n之間的傳播時間τn,q可以計算為

(2)

(3)

其中,σq為第q個像素點的反射率，通過式(2)，σq可以被計算為σq=gn(τn,q)。使用延時求和(Delay-And-Sum, DAS)波束成形成像算法，第q個像素點的復(fù)幅值I(q)可以由式(4)得到，即

(4)

在式(4)中，復(fù)幅值I(q)中具有較大能量的墻體回波掩蓋了所需要的目標(biāo)回波部分。因此，在進(jìn)行成像步驟之前，需要對墻體回波部分進(jìn)行消除。

2 聯(lián)合低秩稀疏模型

在本節(jié)中，從雷達(dá)回波中分離墻體回波和目標(biāo)回波的任務(wù)被轉(zhuǎn)化為低秩保持和稀疏約束的優(yōu)化模型。之后筆者設(shè)計出一種交替方向乘子法[16](Alternating Direction Method of Multipliers, ADMM)用于求解該優(yōu)化模型。最后，分離出的目標(biāo)回波分量被用于雷達(dá)成像任務(wù)。

2.1 低秩聯(lián)合稀疏模型

將N個天線位置處接收的回波統(tǒng)一用矩陣表示，G∈RN×T，其中T為回波g1:n(t)的采樣數(shù)。由于穿墻雷達(dá)的天線均平行于建筑物墻體平行放置，即各天線接收到的墻體回波是近似相同的，所以墻體回波矩陣Gw的每一列都相等或近似相等。而在整個探測區(qū)域中，所感興趣的目標(biāo)只占據(jù)很小的面積，即目標(biāo)回波矩陣Gta的大部分元素都為零。式(1)可以用矩陣形式重寫為

G=Gw+Gta+S，

(5)

其中,墻體回波矩陣Gw是一個低秩矩陣，目標(biāo)回波矩陣Gta具有稀疏特性。

為了去除墻體回波的影響并分離出目標(biāo)回波進(jìn)行成像，需要對墻體回波矩陣Gw和目標(biāo)回波矩陣Gta進(jìn)行估計。由此，回波分離任務(wù)可以轉(zhuǎn)化為下述優(yōu)化問題

(6)

其中,ξ是一個非負(fù)參數(shù)，用于平衡稀疏約束和低秩項，η為正則化參數(shù)，‖·‖*和‖·‖1分別表示核范數(shù)和l1范數(shù)，‖·‖F(xiàn)為矩陣的二范數(shù)。

文獻(xiàn)[17]中提出一種TFOCS方法用于求解式(6)，然而該方法在處理存在噪聲的情況時，不具有穩(wěn)健性。為克服這一缺點，文獻(xiàn)[12]提出一種迭代算法，首先使用奇異值的軟閾值估計低秩矩陣，然后軟閾值迭代用于稀疏重構(gòu)。不過該方法涉及奇異值，分解運算較為復(fù)雜，且對參數(shù)設(shè)置敏感。為克服上述缺點，一種交替方向乘子法在下文給出。

2.2 ADMM方法用于雜波抑制

為更好地求解式(6)，引入一個輔助指示矩陣A∈{0,1}N×T，其中元素A(n,t)=1代表所對應(yīng)的回波矩陣元素為目標(biāo)的回波，反之，A(n,t)=0則為背景噪聲。同樣地，為避免復(fù)雜的奇異值分解運算，文獻(xiàn)[18]給出了當(dāng)rank(Gw)=R≤min(N,T)時，雙線性因子分解(Bilinear Factorization, BF)可以用于代替核范數(shù)最小化(Nuclear Norm Minimization, NNM)

(7)

U∈RN×R,V∈RR×T，R為矩陣Gw的秩。結(jié)合式(7)，優(yōu)化問題(6)可以重新寫為

(8)

其中，1代表全一矩陣，⊙為Hadamard內(nèi)積算子。

優(yōu)化式(8)是一個由多個凸函數(shù)組成的可分離的優(yōu)化問題，交替方向乘子法可被用于求解該問題，其增廣拉格朗日方程可以寫為

(9)

在式(9)中，λ為拉格朗日乘子，β為懲罰因子。由交替方向乘子法知，原優(yōu)化問題可以分離為關(guān)于U,V和Gw的迭代求解子問題：

(10)

對于式(10)，U、V和Gw的閉式解可以通過固定其余變量，使其對應(yīng)導(dǎo)數(shù)為零而計算得出。由此，式(9)中的各變量的迭代形式為

(11)

在式(9)和式(11)中，指示矩陣A在第k步迭代中的更新為

(12)

3 數(shù)值仿真結(jié)果

在本章中，數(shù)值實驗結(jié)果展示了筆者所提出的雜波抑制算法在各種情況下的性能，以及墻體的厚度、材質(zhì)和結(jié)構(gòu)對雜波抑制算法的影響。實驗所使用的穿墻雷達(dá)數(shù)據(jù)集來自于電磁仿真軟件gprMax[19]。

3.1 墻體參數(shù)的影響

圖2 實驗設(shè)置示意圖

在本實驗中，將驗證墻體的厚度、材質(zhì)和結(jié)構(gòu)對于筆者提出的雜波抑制算法的影響。在圖2所示的實驗?zāi)Ｐ椭?，收發(fā)天線在0.07 m處，被水平放置101個位置，建筑物外墻墻面距離收發(fā)天線3 cm。一個半徑為3.5 cm金屬圓柱體被放置在建筑物內(nèi)用于表示目標(biāo)。整個場景中距離向從0.07 m位置到2 m位置，方位向0 m位置到3 m位置區(qū)域被用于成像。

在整個探測過程中，雷達(dá)收發(fā)天線在各位置上，依次發(fā)射和接收電磁波信號。在文中，穿墻雷達(dá)系統(tǒng)所發(fā)射的雷達(dá)信號為中心頻率fc=1GHz的雷克子波(Ricker)信號。在雜波抑制的算法中，各參數(shù)設(shè)置為η=5,ξ=0.1,R=3,β=1。

為客觀評估所提出的雜波抑制算法性能，采用目標(biāo)雜波比(Target-to-Clutter Ratio, TCR)作為評價標(biāo)準(zhǔn)，通過比較雷達(dá)成像結(jié)果中的目標(biāo)所占區(qū)域的能量和其余區(qū)域的能量的大小。比值越大，目標(biāo)在成像中越明顯，即越容易檢測。

(13)

其中，Rt和Rc分別為穿墻雷達(dá)成像結(jié)果中的目標(biāo)范圍和其他區(qū)域，Nt為目標(biāo)范圍所占據(jù)的像素數(shù)，Nc同理為其他區(qū)域的像素數(shù)。

首先，研究了墻體材質(zhì)對雜波抑制算法的影響，通過改變仿真軟件中不同墻體材質(zhì)的相對介電常數(shù)εw，實現(xiàn)對不同墻體材質(zhì)的研究。在該實驗中，將墻體結(jié)構(gòu)設(shè)置為單一材質(zhì)均勻分布的結(jié)構(gòu)，墻體厚度為10 cm。筆者共測試了5種材質(zhì)的墻體，包括兩種不同的木質(zhì)墻，一種細(xì)砂礫澆筑的以及另外兩種含水量不同的混凝土墻體。實驗結(jié)果在表1中給出。所有的實驗結(jié)果都是來自10次獨立重復(fù)實驗結(jié)果的平均值。

表1 不同材質(zhì)墻體下的探測結(jié)果

表2 不同厚度墻體下的探測結(jié)果

在表1中，最終成像結(jié)果的目標(biāo)雜波比并沒有伴隨材質(zhì)的變化而出現(xiàn)顯著變化，目標(biāo)雜波比的輕微下降可以解釋為墻體材質(zhì)的相對介電常數(shù)εw的上升導(dǎo)致的雷達(dá)回波能量的衰落程度的加劇。墻體厚度對雜波抑制算法的影響的實驗結(jié)果在表2中給出。在該實驗中，將墻體設(shè)置為由相對介電常數(shù)εw=6的單質(zhì)混凝土墻體。

表3 不同結(jié)構(gòu)墻體下的探測結(jié)果

隨著墻體厚度的增加，成像結(jié)果的目標(biāo)雜波比有顯著的下降趨勢，這是由于墻體越厚，雷達(dá)發(fā)射的電磁波穿透建筑物墻體所損失的能量也就越多。最后，由于在以往穿墻雷達(dá)研究中，墻體設(shè)置往往為單質(zhì)墻體，缺乏對復(fù)雜結(jié)構(gòu)的墻體的研究。而在實際生活中，單質(zhì)均勻墻體并不常見，更多的建筑則是采用鑲嵌鋼筋的混凝土墻體作為外墻，以及空心磚堆砌的內(nèi)墻。此外在單質(zhì)墻體表面貼合另一種材質(zhì)(如瓷磚、大理石等)的結(jié)構(gòu)也很常見。因此在這部分的實驗中，實驗了4種不同結(jié)構(gòu)的墻體，其中3層結(jié)構(gòu)是指單質(zhì)墻體的兩側(cè)都貼合了另一種材質(zhì)的結(jié)構(gòu)。實驗結(jié)果在表3中給出。

以上實驗結(jié)果表明筆者所提出的雜波抑制算法在不同墻體情況下，都能夠有效緩解穿墻雷達(dá)探測中建筑物墻體帶來的負(fù)面影響，并且無需事先根據(jù)墻體的不同構(gòu)造調(diào)整雜波抑制算法的參數(shù)。同時，相對于墻體的材質(zhì)和結(jié)構(gòu)對雷達(dá)探測的影響，墻體的厚度更是決定性因素。

3.2 穿墻雷達(dá)成像結(jié)果

在這部分實驗中，將筆者提出的雜波抑制算法和現(xiàn)有的算法進(jìn)行了對比。實驗分為單目標(biāo)場景和雙目標(biāo)場景。場景尺寸設(shè)置和上文實驗相同，墻體是厚度為30 cm的鋼筋混凝土墻。單目標(biāo)場景中，目標(biāo)為一個半徑為3.5 cm的金屬圓柱體，放置于(1.3, 1.1)處。圖3給出了實驗結(jié)果，其中圖3(a)為筆者提出的雜波抑制算法處理后的成像結(jié)果，圖3(b)為文獻(xiàn)[12]提出的軟閾值迭代算法處理后的結(jié)果，圖3(c)為文獻(xiàn)[9]提出的奇異值分解方法處理后的結(jié)果。

圖3 單目標(biāo)場景實驗結(jié)果

由圖3可以看出，筆者提出的雜波抑制算法相較于現(xiàn)有算法，在雷達(dá)成像中能得到更高的目標(biāo)雜波比。對比算法中，軟閾值迭代算法雖然能得到相近的成像結(jié)果，但是該算法存在較高的算法復(fù)雜度和依賴參數(shù)設(shè)置等缺點?；谄娈愔捣纸獾碾s波抑制方法，并不能有效抑制全部的墻體回波，導(dǎo)致成像中出現(xiàn)許多虛影，這可能是由于本實驗采用的復(fù)雜墻體結(jié)構(gòu)導(dǎo)致奇異值分解方法失效。此外，筆者提出的雜波抑制算法計算復(fù)雜度為O(ktotal(3(R3+R2+R2(N+T))+4RNT+NT))，其中，sSVT為算法收斂試的迭代次數(shù)，R為矩陣Gw的秩；文獻(xiàn)[12]中的軟閾值迭代方法的計算復(fù)雜度為O(kSVT(NT2+2N2T))，其中,kSVT為迭代次數(shù)；文獻(xiàn)[9]的計算復(fù)雜度為O(2NT2)。由于R≤min(N,T)，且實驗中取值往往遠(yuǎn)小于{N,T}。因此該方法具有更低的運算復(fù)雜度。在雙目標(biāo)實驗中，將兩個半徑為2cm的金屬圓柱體目標(biāo)分別放置在(1.7, 1.0)和(1.2, 1.2)處，實驗結(jié)果在圖4中給出。

圖4 雙目標(biāo)場景實驗結(jié)果

圖5 不同信噪比下的提出算法的抑制效果

由圖4的實驗結(jié)果知，筆者提出的雜波抑制算法處理后得到的雷達(dá)成像結(jié)果更具有更高的目標(biāo)雜波比。對比算法中，軟閾值迭代算法處理后的成像中，右側(cè)目標(biāo)有明顯的拖尾現(xiàn)象?；谄娈愔捣纸獾姆椒ㄌ幚砗?，兩個目標(biāo)中間出現(xiàn)了能量近似的虛影，兩個目標(biāo)也出現(xiàn)失焦現(xiàn)象。值得注意的是，在所有算法的成像結(jié)果中，目標(biāo)間都存在不同程度的虛影，這是由于兩個目標(biāo)距離接近時，目標(biāo)間相互作用的結(jié)果。

最后，測試了筆者提出的雜波抑制算法在不同信噪比(Signal-to-Noise Ratio, SNR)和存在一定比例數(shù)據(jù)丟失的情況下的性能，實驗中，接收到的雷達(dá)回波信號的信噪比從24 dB逐步下降至-12 dB，數(shù)據(jù)丟失情況包括無丟失、20%丟失和40%丟失的情況。實驗結(jié)果在圖5中給出。實驗結(jié)果表明，筆者提出的雜波抑制算法在低信噪比(0 dB)和高比例(40%)數(shù)據(jù)丟失情況下，所得到的雷達(dá)成像結(jié)果依然能保持12 dB以上的目標(biāo)雜波比值。

4 結(jié)束語

筆者提出了一種用于穿墻雷達(dá)的雜波抑制方法。這種方法中，由于墻體回波具有的低秩特性和目標(biāo)回波的稀疏特性，雜波抑制問題轉(zhuǎn)化為一個低秩聯(lián)合稀疏優(yōu)化模型。之后，交替方向乘子方法被用于求解該優(yōu)化模型，分離出墻體回波后，延時求和波束成形算法用于雷達(dá)成像。實驗結(jié)果表明，筆者提出的雜波抑制方法在各種場景下都能有效解決墻體回波造成的目標(biāo)掩蓋問題。