紀暉

【摘要】作為數(shù)學學科核心素養(yǎng)的一個基本方面，“數(shù)學運算”素養(yǎng)對學生的數(shù)學學習及發(fā)展尤其重要，因為具備良好的運算素養(yǎng)是學好數(shù)學的基礎(chǔ)性條件.向量的數(shù)量積運算作為一種含有方向因素的特殊運算，一方面，對學生運算素養(yǎng)的要求較高;另一方面，也是培養(yǎng)學生運算素養(yǎng)的良好載體.文章以之為例探討了在實際教學中如何兼顧學生數(shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng)，希望對相關(guān)教學工作者有所助益.

【關(guān)鍵詞】核心素養(yǎng);高中數(shù)學;向量數(shù)量積;教學實踐

核心素養(yǎng)是新一輪課程改革的亮點之一.作為數(shù)學學科核心素養(yǎng)的一個基本方面，“數(shù)學運算”素養(yǎng)對學生的數(shù)學學習及發(fā)展尤其重要，因為具備良好的運算素養(yǎng)是學好數(shù)學的基礎(chǔ)性條件，正如新課標中所明確指出的，“數(shù)學運算是數(shù)學活動的基本形式”，“是得到數(shù)學結(jié)果的重要手段”.而向量的數(shù)量積運算作為一種含有方向因素的特殊運算，一方面，對學生運算素養(yǎng)的要求較高;另一方面，也是培養(yǎng)學生運算素養(yǎng)的良好載體.這也是本文以之作為案例的原因所在.以下擬對此展開具體而較為細致的探討，希望對相關(guān)教學工作者有所助益.

一、切實明晰概念，奠定良好基礎(chǔ)

按照課標中的闡述，核心素養(yǎng)的本質(zhì)是“必備品格和關(guān)鍵能力”，其養(yǎng)成無疑離不開大量的運算訓練.而實施運算活動的基礎(chǔ)無疑是對相關(guān)運算量概念的切實理解.由于向量數(shù)量積的運算是一種設(shè)計方向和角度的特殊運算，且較為抽象，更對學生的空間想象能力有一定要求，因而，概念的切實明晰就更顯得至關(guān)重要.在實際教學中，筆者是通過提出問題的方式引導學生思考、理解概念中隱含的要點，從而使其最終切實掌握概念.具體來說，在引出定義的基本描述后，首先提出如下兩個問題：“① 定義中兩個非零向量的夾角的范圍？② 向量數(shù)量積運算與線性運算有何區(qū)別？向量數(shù)量積大小的影響因素有哪些？”學生搞清了這兩個問題，也就掌握了定義的基本要點.然后則是在此基礎(chǔ)上理解投影的含義以及向量數(shù)量積的幾何意義，對此，在用多媒體直觀展示的同時提出如下問題：“① 向量數(shù)量積和投影均為數(shù)量，其何時為正，何時為負，是否可能為零？② 數(shù)量積a·b與b在a方向上的投影有何種關(guān)系？③ 在理解投影含義的基礎(chǔ)上敘述向量積的幾何意義.”可以看出，學生回答出以上問題后，對向量數(shù)量積的概念、要點及相關(guān)的需要注意的地方也就掌握得比較到位，從而為鍛煉核心素養(yǎng)奠定堅實基礎(chǔ).

二、探究數(shù)量積的性質(zhì)與運算律

掌握概念后，下一步就是學習向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算律.在這一環(huán)節(jié)中筆者仍是采取提出問題讓學生自主探究的方式，這主要是為了使學生充分發(fā)揮主觀能動性，在自主性的思考和探索過程中深入理解知識點并掌握其本質(zhì)，從而留下深刻印象并快速實現(xiàn)知識內(nèi)化，為核心素養(yǎng)的提升提供有利條件.該環(huán)節(jié)中提出的第一個問題側(cè)重基礎(chǔ)性：“① a⊥b的充分必要條件是？② a與b方向相同，則a·b=？方向相反時呢？③ a·a=？或|a|=？④ cosθ=？⑤|a·a|≤|a||b|，何時取等號？”在學生回答上述問題后即引出運算律：“大家知道實數(shù)乘法滿足交換率、結(jié)合律、分配率，那么類比于此，向量數(shù)量積的計算滿足什么樣的運算律呢？請結(jié)合剛才所掌握的知識自主推導出以下式子：a·b=b·a;（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）;（a+a）·c=a·c+b·c.”三個式子中第一個很簡單，多數(shù)學生可以完成;第二個，如果按照數(shù)量積的定義展開會出現(xiàn)困難，因而，筆者更給了適當?shù)奶崾荆悍枝?0和λ<0兩種情況進行證明;第三個式子的證明難度較大，由筆者帶領(lǐng)學生一起完成.

三、運用所學知識解決具體問題

核心素養(yǎng)的養(yǎng)成需要經(jīng)歷由知識向能力、由能力向素養(yǎng)的轉(zhuǎn)化過程，這一過程的實現(xiàn)離不開對知識的具體運用，即運用所學知識解決具體問題，正所謂實踐出真知，只有在用和練的過程中學生才能產(chǎn)生深刻感悟，獲得質(zhì)的提升，最終形成素養(yǎng).在實際的課堂教學中，教學要選取典型習題讓學生“趁熱打鐵”，及時鞏固強化，同時查漏補缺，并布置一定量的針對性訓練.在本文案例中，筆者對教材中的例題進行了補充和變式，出示了以下三道習題供學生練習：① （a+3b）·（2a-b）=？（a+2b）·（a-3b）=？② 已知|a|=6，|b|=4，（a+2b）·（a-3b）=-72，則a與b的夾角是多少？③ 已知向量a與b的夾角為45°，|a|=2，|b|=1，當向量λa+b與a+λb的夾角為銳角時，實數(shù)λ的取值范圍是多少？大體而言，這三道題難度逐漸加深，目的是既保證學生鞏固和強化對數(shù)量積概念的理解和運算律的應用，達到課標基本要求，為后面知識的學習奠定基礎(chǔ)，也為學生提供一定的拓展空間，促進其數(shù)學思維品質(zhì)的發(fā)展，取得了較好的習題效果.

綜上所述，本文結(jié)合筆者教學實踐以向量數(shù)量積的教學為例，探討了在實際教學中如何兼顧學生數(shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng).事實上，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)自引起人們關(guān)注以來，就是一個深廣兼具的研究課題，需要一線教師在教學實踐中不斷積極探索和深入總結(jié).本文拋磚引玉，尚盼有識者指教.

【參考文獻】

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