文謝蓓蓓

（作者單位：南京外國語學(xué)校仙林分校麒麟中學(xué)）

函數(shù)是重要的數(shù)學(xué)模型，用二次函數(shù)解決問題是中考的熱點。教材中的例題蘊含著豐富的知識經(jīng)驗和思想方法，往往是中考的重要素材。下面對蘇科版《數(shù)學(xué)》教材中“5.5用二次函數(shù)解決問題”的問題2以及練習(xí)進行改編并延伸（見例題），希望幫助同學(xué)們加深對此類問題的理解。

例題某產(chǎn)品每件的成本是12元，已知銷售單價x元與日銷售量y件之間的關(guān)系式是y=200-10x，當(dāng)銷售單價定為多少元時，日銷售利潤最大？請求出此時的最大利潤。

【解析】應(yīng)用題中的總利潤通?？梢允褂脙煞N辦法獲得：（1）總售價-總進價，即單個售價×銷量-單個成本×銷量；（2）單個利潤×銷量，即（單個售價-單個成本）×銷量。結(jié)合本題，使用（1），可列出代數(shù)式x（200-10x）-12（200-10x）；使用（2），可列出代數(shù)式（x-12）（200-10x）。無論是從思考的方式上還是從代數(shù)式形式上看，方法2更加簡潔，更推薦使用。此時，我們會發(fā)現(xiàn)總利潤式子的結(jié)構(gòu)是C=A·B（A、B分別代表單個利潤、銷售量），接下來我們也可以從結(jié)構(gòu)的角度解決此類問題。

解：設(shè)日銷售利潤為w元，根據(jù)題意可得：

w=（x-12）（200-10x）

=-10x2+320x-2400

=-10（x-16）2+160。

當(dāng)x=16時，w的值最大，最大值是160。

答：銷售單價定為16元時，日銷售利潤最大，此時的最大利潤是160元。

變化1某產(chǎn)品每件的成本是12元，已知每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如圖所示，要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？

【解析】根據(jù)總利潤的結(jié)構(gòu)C=A·B，只需要表達A和B，A在上題中已經(jīng)表示過了，那么只需要表示B即可。圖中的線段告訴我們，日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，所以可以利用待定系數(shù)法先求出y和x的函數(shù)關(guān)系式，這樣就可以將這個問題轉(zhuǎn)化為例題來解決。

解：設(shè)y=kx+b，根據(jù)題意可得：

∴y=-10x+200。

下面的做法可參考例題，略。

變化2某產(chǎn)品每件的成本是12元，已知每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表：

x（元）y（件）13 70 14 60 15 50……

若日銷售量y（件）是銷售價x（元）的一次函數(shù)，要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？

【解析】一次函數(shù)常見的表達形式有關(guān)系式、圖像和表格三種，此題中給出了一次函數(shù)的表格形式。和變化1一樣，只需要表示B即可。題中告訴我們?nèi)珍N售量y是銷售價x的一次函數(shù)，所以，可以利用待定系數(shù)法先求出y和x的函數(shù)關(guān)系式，這樣就可以將這個問題轉(zhuǎn)化為例題來解決。

解：設(shè)y=kx+b，根據(jù)題意可得：

∴y=-10x+200。

下面的做法可參考例題，略。

變化3某產(chǎn)品每件的成本是12元，若以成本價銷售，每天的銷量是80件。如果每件產(chǎn)品的銷售價每漲價1元，產(chǎn)品的日銷售量就減少10件，要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？

【解析】此題中“每漲價1元，產(chǎn)品的日銷售量就減少10件”其實就是一次函數(shù)關(guān)系的文字描述。那么在解題方法上也有三種：（1）根據(jù)題意，價格為13元時，銷量是70元，下面可以利用待定系數(shù)法求出銷售量y（件）與售價x（元）的函數(shù)關(guān)系式：y=-10x+200，解題思路和變化1類似；（2）從結(jié)構(gòu)入手，B的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是“D-E”，即“80-10（ ）”，而括號里的內(nèi)容就是“漲價后增加了多少錢”，若設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價為x元，顯然可用“x-12”表示，所以B可以表示為80-10（x-12）；（3）借助（2）中的思路，設(shè)每件產(chǎn)品漲價x元，那么E中括號里的內(nèi)容可以直接表示為x，不一樣的是A的代數(shù)式也要變成x。歸根結(jié)底，就是用不同的方法表示A或者B。

解法1：設(shè)每件的銷售價為x元，銷售量為y件，根據(jù)題意知y=kx+b，可得：

∴y=-10x+200。

下面的做法可參考例題，略。

解法2：設(shè)每件的銷售價為x元，日銷售利潤為w元，根據(jù)題意可得：

w=（x-12）［80-10（x-12）］

=-10x2+320x-2400。

下面的做法可參考例題，略。

解法3：設(shè)每件漲價x元，日銷售利潤為w元，根據(jù)題意可得：

w=x（80-10x）

=-10（x-4）2+160。

當(dāng)x=4時，w的值最大，最大值是160。

答：銷售單價定為16元時，日銷售利潤最大，此時的最大利潤是160元。

變化4某產(chǎn)品每件的成本是12元，若每件產(chǎn)品以售價17元銷售，每天的銷量是30件。如果每件產(chǎn)品的銷售價每降價1元（價格不可低于成本），產(chǎn)品的日銷售量就增加10件，要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？

【解析】首先仍然明晰結(jié)構(gòu)C=A·B。若設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價為x元，A可以表示為“x-12”。根據(jù)變化3中的思路，可以利用待定系數(shù)法表達B中銷售量和銷售價之間的關(guān)系，也可以根據(jù)題意表達B中的式子為“30+10（17-x）”。當(dāng)然也可以設(shè)降價x元，間接表達出A和B。

解法1：設(shè)每件的銷售價為x元，銷售量為y件，根據(jù)題意知y=kx+b，可得：

∴y=-10x+200。

下面的做法可參考例題，略。

解法2：設(shè)每件的銷售價為x元，日銷售利潤為w元，根據(jù)題意可得：

w=（x-12）［30+10（17-x）］

=-10x2+320x-2400。

下面的做法可參考例題，略。

解法3：設(shè)每件降價x元，日銷售利潤為w元，根據(jù)題意可得：

w=（17-x-12）（30+10x）

=-10（x-1）2+160。

當(dāng)x=1時，w的值最大，最大值是160。

答：銷售單價定為16元時，日銷售利潤最大，此時的最大利潤是160元。

變化5某產(chǎn)品每件的成本是12元，若每件產(chǎn)品以售價17元銷售，每天的銷量是30件。如果每件產(chǎn)品的銷售價每降價3元（價格不可低于成本），產(chǎn)品的日銷售量就增加30件，要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？

【解析】和變化4相比，只有一句話不一樣，其實“每件產(chǎn)品的銷售價每降價3元，產(chǎn)品的日銷售量就增加30件”在數(shù)量關(guān)系上就等同于“每件產(chǎn)品的銷售價每降價1元，產(chǎn)品的日銷售量就增加10件”，所以就可以把變化5轉(zhuǎn)化為變化4。類似地，如果出現(xiàn)“每件產(chǎn)品的銷售價每降價0.5元，產(chǎn)品的日銷售量就增加5件”，同樣可以轉(zhuǎn)化為變化4。