李 霞

(閩江師范高等專科學(xué)校350001)

統(tǒng)計(jì)[1]是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)的學(xué)科，為人們制訂決策方案提供依據(jù).而概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的學(xué)科，為人們認(rèn)識(shí)世界提供思維模式和解決方法.統(tǒng)計(jì)學(xué)家C.R.勞先生提到：“在終極的分析中，一切知識(shí)都是歷史；在抽象的意義下，一切科學(xué)都是數(shù)學(xué)；在理性的基礎(chǔ)上，所有的判斷都是統(tǒng)計(jì)學(xué).”可見統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要.無論是2011版的義務(wù)教育新課標(biāo)，還是2017版高中新課標(biāo)，概率統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容要求都在加強(qiáng)，但這個(gè)內(nèi)容的教與學(xué)卻不容樂觀.我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)怪現(xiàn)象：在中考測(cè)評(píng)中，學(xué)生不能準(zhǔn)確地運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)做好實(shí)際問題的決策判斷.部分初中老師、學(xué)生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的儲(chǔ)備還只是停留于一些統(tǒng)計(jì)量、統(tǒng)計(jì)圖的意義.

1 從兩道中考統(tǒng)計(jì)試題的作答情況談起

案例1(2017年福建省中考試題第23題)自2016年國(guó)慶后，許多高校均投放了使用手機(jī)就可隨取隨用的共享單車．某運(yùn)營(yíng)商為提高其經(jīng)營(yíng)的A品牌共享單車的市場(chǎng)占有率，準(zhǔn)備對(duì)收費(fèi)作如下調(diào)整：一天中，同一個(gè)人第一次使用的車費(fèi)按0.5元收取，每增加一次，當(dāng)次車費(fèi)就比上次車費(fèi)減少0.1元，第6次開始，當(dāng)次用車免費(fèi).下表1為累計(jì)車費(fèi)與使用次數(shù)：

表1 累計(jì)車費(fèi)與使用次數(shù)

同時(shí)，就此收費(fèi)方案隨機(jī)調(diào)查了某高校100名師生在一天中使用A品牌共享單車的意愿，得到表2數(shù)據(jù)：

表2 某高校累計(jì)車費(fèi)與使用次數(shù)

(Ⅰ)寫出a，b值；

(Ⅱ)已知該校有5 000名師生，且A品牌共享單車投放該校一天的費(fèi)用為5 800元.試估計(jì)：收費(fèi)調(diào)整后，此運(yùn)營(yíng)商在該校投放A品牌共享單車能否獲利？說明理由.

命題者以“共享單車”為問題情境，在知識(shí)領(lǐng)域上考查數(shù)據(jù)收集、加權(quán)平均數(shù)、樣本估計(jì)總體等；能力立意上考查學(xué)生通過定量、定性分析統(tǒng)計(jì)中的數(shù)據(jù)，得出結(jié)果后對(duì)問題做出簡(jiǎn)單的判斷和預(yù)測(cè)，考查學(xué)生用數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的思維及統(tǒng)計(jì)對(duì)決策作用的意識(shí).

試題解答：

(Ⅰ)a=1.2，b=1.4.

(Ⅱ)根據(jù)用車意愿調(diào)查結(jié)果，抽取的100名師生每人每天使用A品牌共享單車的平均車費(fèi)為

所以估計(jì)該校5 000名師生一天使用A品牌共享單車的總車費(fèi)為5 000×1.1=5 500(元).

因?yàn)? 500<5 800，故收費(fèi)調(diào)整后，此運(yùn)營(yíng)商在該校投放A品牌共享單車不能獲利.

作答情況分析:下表3是某市學(xué)生解答該小題的成績(jī)分布情況，從分布表可以看出，第二小問滿分為6分，但學(xué)生得分為2.91分.難度值屬于中等難度，滿分、零分各占三分之一左右.

表3 某市學(xué)生小題成績(jī)分布情況

學(xué)生常見的典型錯(cuò)誤，概括起來主要有以下幾種情形：

(1)把統(tǒng)計(jì)問題當(dāng)成代數(shù)問題解決

錯(cuò)解1：設(shè)獲得y元，運(yùn)營(yíng)x天，

=-300x，

因?yàn)?300<0，

所以無論多少天，都不能獲利.

(2)樣本估計(jì)總體的含義理解不透

錯(cuò)解2：100名師生總花費(fèi)為

0×5+0.5×15+0.9×10+1.2×30+1.4×25+1.5×15=110(元)，

所以5 800×2%=116(元).

因?yàn)?16>110，

所以無法獲利.

(3)不理解決策的意義

錯(cuò)解3：因?yàn)?00名師生中有5名沒有使用共享單車，

案例2(2018年福建省中考A卷試題第22題)甲、乙兩家快遞公司攬件員(攬收快件的員工)的日工資方案如下：甲公司為“基本工資+攬件提成”，其中基本工資為70元/日，每攬收一件提成2元；乙公司無基本工資，僅以攬件提成計(jì)算工資，若當(dāng)日攬件數(shù)不超過40，每件提成4元；若當(dāng)日攬件數(shù)超過40，超過部分每件多提成2元．下圖是今年四月份甲公司攬件員人均攬件數(shù)和乙公司攬件員人均攬件數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖；小明擬到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘攬件員，如果僅從工資收入的角度考慮，請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)幫他選擇，并說明理由．

圖1

作答情況分析：試題明確要求利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)進(jìn)行選擇，但近六分之一的考生的解答出現(xiàn)利用函數(shù)最值求解.

甲乙工資函數(shù)：

當(dāng)0

①y甲=y乙，70+2x=4x得x=35，

②y甲>y乙，70+2x>4x得x<35，

③y甲35；

當(dāng)x>40時(shí)，

①y甲=y乙，70+2x=6x-80 得x=37.5 ，

②y甲>y乙，70+2x>6x-80 得x<37.5，

③y甲37.5；

由題意知當(dāng)x≥38時(shí)，乙公司工資高.

以上這些錯(cuò)誤的出現(xiàn)并非偶然，據(jù)筆者所作的統(tǒng)計(jì)分析，歷年來的中考統(tǒng)計(jì)試題的作答，均存在著類似的情況.究其原因，這可能與中考統(tǒng)計(jì)試題的設(shè)置導(dǎo)向及教師的教學(xué)處理有關(guān).一些地區(qū)的統(tǒng)計(jì)試題還是套模型，未能體現(xiàn)生活案例中統(tǒng)計(jì)的意義.教師在統(tǒng)計(jì)教學(xué)時(shí)存在以下問題：①把統(tǒng)計(jì)教學(xué)等同于數(shù)學(xué)解題教學(xué)(如出現(xiàn)分段函數(shù))，從來沒有讓學(xué)生經(jīng)歷較為完整的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)；②教學(xué)直擊考點(diǎn)，讓學(xué)生機(jī)械模仿；③中考不考的區(qū)域，放棄不教；④沒有指導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)統(tǒng)計(jì)的基本思想(只會(huì)用平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)三個(gè)數(shù)據(jù)代表套題).

2 初中統(tǒng)計(jì)究竟要教什么

首先，要教會(huì)學(xué)生選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行描述.統(tǒng)計(jì)研究數(shù)據(jù)的合理收集、整理與分析，為人們制訂決策提供依據(jù).義務(wù)教育階段主要是學(xué)習(xí)描述統(tǒng)計(jì)，側(cè)重?cái)?shù)據(jù)的含義和代表性.學(xué)生要學(xué)會(huì)基于數(shù)據(jù)及其產(chǎn)生背景，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)做好實(shí)際問題的決策.統(tǒng)計(jì)推斷的第一步，是選擇刻畫數(shù)據(jù)的適宜統(tǒng)計(jì)量.義務(wù)教育階段，主要學(xué)習(xí)刻畫數(shù)據(jù)的平均水平[2](大部分所處的位置).反映均值的概念有很多，如算術(shù)平均值、中位數(shù)、眾數(shù).學(xué)生習(xí)慣選用算術(shù)平均值，算術(shù)平均值的特點(diǎn)是拉長(zhǎng)補(bǔ)短，以大補(bǔ)小，但易受極端值的影響，在有些場(chǎng)合不能合理地反映平均水平，于是就要用到眾數(shù)與中位數(shù)這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量.眾數(shù)就是對(duì)各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)的考查，其大小與這組數(shù)據(jù)的部分?jǐn)?shù)據(jù)相關(guān)，當(dāng)這組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，往往用眾數(shù)刻畫.中位數(shù)指的是在一組數(shù)據(jù)的數(shù)值排序中處于中間的位置，在統(tǒng)計(jì)學(xué)分析中也常常扮演著“分水嶺”的角色.對(duì)這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的使用場(chǎng)合，可以用順口溜來進(jìn)行總結(jié)：“分析數(shù)據(jù)用均值，比較接近選平均，相差較大看中位，頻數(shù)較多用眾數(shù)”.這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量分別應(yīng)用在不同場(chǎng)合來反映平均水平，理解這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量，是選擇統(tǒng)計(jì)量的前提.

其次，要教會(huì)學(xué)生依據(jù)數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，尋求合理的推斷方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷.統(tǒng)計(jì)學(xué)與傳統(tǒng)的確定性數(shù)學(xué)是不一樣的.其區(qū)分主要有以下三個(gè)方面[3]：第一，立論基礎(chǔ)不同.確定性數(shù)學(xué)建立在概念與符號(hào)基礎(chǔ)上，統(tǒng)計(jì)學(xué)建立在數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上.第二，推理方法不同.數(shù)學(xué)是演繹推理，證明基于公理與假設(shè)，結(jié)論是確定的；統(tǒng)計(jì)學(xué)是歸納推理，依據(jù)數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景選擇抽象與推斷方法，結(jié)論是或然的.第三，判斷原則不同.數(shù)學(xué)結(jié)論有嚴(yán)格的對(duì)錯(cuò)之分，統(tǒng)計(jì)學(xué)允許人們根據(jù)自己的理解選擇不同的推斷方法，結(jié)論只能用好與壞來區(qū)分.然而學(xué)生先入為主的數(shù)學(xué)思維模式，會(huì)對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)帶來負(fù)遷移.因此統(tǒng)計(jì)教學(xué)要立足統(tǒng)計(jì)思維，教會(huì)學(xué)生區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)，了解統(tǒng)計(jì)的特征，初步掌握統(tǒng)計(jì)思維，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念.學(xué)生需要學(xué)會(huì)依據(jù)數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景，尋求合理的推斷方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行推斷，能解釋統(tǒng)計(jì)結(jié)果，能根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果做出預(yù)測(cè)，并會(huì)數(shù)學(xué)地表達(dá)，養(yǎng)成相應(yīng)的元認(rèn)知技能：分析中用到的統(tǒng)計(jì)數(shù)字是否具有代表性？所用的數(shù)據(jù)代表與結(jié)論之間具有相關(guān)性嗎？等等.

以下的案例3刻畫了統(tǒng)計(jì)學(xué)的典型特征.

案例3(2018年福州市初中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)第23題)李先生從家到公司上班，可以乘坐20路或66路公交車.他在乘坐這兩路車時(shí)，對(duì)所需的時(shí)間分別做了20次統(tǒng)計(jì)，并繪制如下統(tǒng)計(jì)圖(圖2)：

圖2

請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問題．

(Ⅰ)完成表4中(ⅰ)，(ⅱ)的數(shù)據(jù)：

表4 乘車時(shí)間統(tǒng)計(jì)量

(Ⅱ)李先生從家到公司，除乘車時(shí)間外，另需10分鐘(含等車，步行等).該公司規(guī)定每天8點(diǎn)上班，16點(diǎn)下班.

(ⅰ)某日李先生7點(diǎn)20分從家里出發(fā)，乘坐哪路車合適？并說明理由；

(ⅱ)公司出于人文關(guān)懷，允許每個(gè)員工每個(gè)月遲到兩次.若李先生每天同一時(shí)刻從家里出發(fā)，則每天最遲幾點(diǎn)出發(fā)合適？并說明理由.(每月的上班天數(shù)按22天計(jì))

第一問考查刻畫平均水平的統(tǒng)計(jì)量——(加權(quán))平均數(shù)及中位數(shù)——的計(jì)算.學(xué)生在該題的解答中，能夠體會(huì)統(tǒng)計(jì)的情境特征：數(shù)據(jù)是有背景的，是通過抽樣與調(diào)查獲得的.

第二問中的第一小問考查數(shù)據(jù)代表的選擇.關(guān)鍵信息是乘車時(shí)間不超過30分鐘.數(shù)據(jù)代表的選擇是中位數(shù)、頻數(shù)等.

第二問中的第二小問考查的是統(tǒng)計(jì)推斷.要解決的關(guān)鍵問題是：如何處理允許遲到2次；數(shù)據(jù)中20天的工作天數(shù)和實(shí)際22天的工作天數(shù)之間有什么關(guān)系，如何建立兩者的關(guān)系等.

3 初中統(tǒng)計(jì)究竟應(yīng)該怎么教

3.1 以“案例”為載體，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的理解

統(tǒng)計(jì)是實(shí)踐性很強(qiáng)的內(nèi)容，教師要發(fā)揮典型案例的作用，設(shè)計(jì)貼近生活、貼近學(xué)生實(shí)際的“問題情境”，為學(xué)生提供豐富的感性材料，讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念，深化對(duì)統(tǒng)計(jì)的理解.

如“從統(tǒng)計(jì)圖分析數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)”[4]一節(jié)部?jī)?yōu)課上，福建省霞浦縣第八中學(xué)的謝怡老師針對(duì)春節(jié)“壓歲錢”問題進(jìn)行調(diào)查，獲得數(shù)據(jù)后對(duì)壓歲錢的使用情況作了相應(yīng)數(shù)據(jù)分析.

案例4調(diào)查活動(dòng)：八年級(jí)(3)班春節(jié)“壓歲錢”調(diào)查(表5)：

壓歲錢收入調(diào)查：一般春節(jié)，你的父母和長(zhǎng)輩給你的“壓歲錢”一共有多少？

壓歲錢使用調(diào)查：你會(huì)將多少“壓歲錢”用在你的學(xué)習(xí)上？

表5 八年級(jí)(3)班春節(jié)“壓歲錢”調(diào)查

在對(duì)數(shù)據(jù)的收集中利用表格來整理，根據(jù)需要設(shè)計(jì)合適、規(guī)范的表格對(duì)七年級(jí)的學(xué)生來說在能力上有一定的要求.表格的樣式也很多樣，謝老師在教學(xué)中對(duì)調(diào)查表中數(shù)據(jù)的使用先作相關(guān)說明，并對(duì)表格為什么要設(shè)計(jì)成這樣加以解讀.讓學(xué)生在填表的同時(shí)學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)表格，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生“將數(shù)據(jù)表格化”的意識(shí).接著教師要求學(xué)生利用Excel表格處理這些數(shù)據(jù).

八年級(jí)(3)班春節(jié)“壓歲錢”調(diào)查數(shù)據(jù)(如表6)：

表6 八年級(jí)(3)班春節(jié)“壓歲錢”調(diào)查數(shù)據(jù)

用Excel收集數(shù)據(jù)，是為了更好地使用這些數(shù)據(jù).學(xué)生在Excel表格中輸入數(shù)據(jù)后，利用統(tǒng)計(jì)圖顯示功能，直接輸出了直觀的柱狀統(tǒng)計(jì)圖(如圖3).接著學(xué)生利用Excel表格的計(jì)算功能計(jì)算平均數(shù).Excel表格處理數(shù)據(jù)的速度比計(jì)算器快，能直觀顯示求和效果，是分析數(shù)據(jù)的有效工具.教師可以現(xiàn)場(chǎng)改變權(quán)重，學(xué)生借助Excel表格的計(jì)算功能體會(huì)權(quán)重變化后平均數(shù)的變化，加深了對(duì)加權(quán)平均數(shù)的理解.Excel表格幫助學(xué)生加深了對(duì)數(shù)據(jù)的理解.

圖3

學(xué)生在初中階段對(duì)數(shù)據(jù)的理解需要做到三點(diǎn)：第一，理解統(tǒng)計(jì)中由任何抽樣方法得到的數(shù)據(jù)都只有相對(duì)而非絕對(duì)的準(zhǔn)確性；第二，了解樣本的數(shù)字特征可以在一定程度上反映總體的數(shù)字特征，因而可以用樣本估計(jì)總體；第三，區(qū)分統(tǒng)計(jì)中的數(shù)字與確定性數(shù)學(xué)中的數(shù)字的區(qū)別.統(tǒng)計(jì)中的數(shù)字是在一定背景下進(jìn)行的一種分析.例如：“壓歲錢”300元用在學(xué)習(xí)上.確定性數(shù)學(xué)只有“300元”，那么接下來可能就是思考通過與300有關(guān)的數(shù)量尋找關(guān)系式算出相關(guān)的結(jié)論，它關(guān)注的是計(jì)算過程和結(jié)果.而在統(tǒng)計(jì)思維中，我們需要思考的則可能是300元用在學(xué)習(xí)的什么方面，在線學(xué)習(xí)繳費(fèi)，還是買教輔材料等等，在線學(xué)習(xí)繳費(fèi)和買教輔材料對(duì)學(xué)習(xí)的幫助哪些方面可以對(duì)比？值得購(gòu)買之處？等，注重的是對(duì)數(shù)據(jù)所反映的研究對(duì)象的社會(huì)性特征分析，并把這些分析結(jié)果用于決策一些結(jié)論.

3.2 以“技術(shù)”為手段，突出統(tǒng)計(jì)思維的培養(yǎng)

互聯(lián)網(wǎng)環(huán)境下的教學(xué)，可以通過計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)收集數(shù)據(jù)，利用計(jì)算機(jī)軟件制作統(tǒng)計(jì)表，繪制各種統(tǒng)計(jì)圖以及進(jìn)行概率實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生明白統(tǒng)計(jì)與概率在各行各業(yè)已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用.先進(jìn)的計(jì)算器不僅可以處理繁雜計(jì)算，有的還具有強(qiáng)大的統(tǒng)計(jì)功能.因此在處理統(tǒng)計(jì)內(nèi)容時(shí)，要注意強(qiáng)調(diào)計(jì)算器(機(jī))的使用.例如計(jì)算一組繁雜數(shù)據(jù)的平均數(shù)或方差，可以使用計(jì)算器(機(jī))的統(tǒng)計(jì)功能進(jìn)行計(jì)算，避免課堂上將這些內(nèi)容變成單純的數(shù)字運(yùn)算課.課上要把學(xué)習(xí)重點(diǎn)放在理解統(tǒng)計(jì)思想和從事統(tǒng)計(jì)活動(dòng)上，使學(xué)生充分體會(huì)統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)意義.

案例5下表7為甲、乙兩名射擊手的測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)，請(qǐng)計(jì)算出兩組測(cè)試成績(jī)的方差.

表7 射擊手的測(cè)試成績(jī)

教師可以讓學(xué)生按以下程序操作：①打開計(jì)算器；②按“2ndF MODE 1”進(jìn)入統(tǒng)計(jì)狀態(tài)；③將“7 DATA 8 DATA 8 DATA … 9 DATA”輸入所有數(shù)據(jù)；④按“SHIFT X-M =”計(jì)算這組數(shù)據(jù)的方差；⑤按“SHIFT RM =”計(jì)算這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.

數(shù)據(jù)的整理與分析中方差的運(yùn)算量大.學(xué)生只有借助信息技術(shù)，才能擺脫大量的繁雜計(jì)算，深度參與數(shù)據(jù)分析過程中，獲得最優(yōu)學(xué)習(xí)結(jié)果.

同樣在概率實(shí)驗(yàn)課上，我們可以利用信息技術(shù)手段，讓學(xué)生進(jìn)行投針試驗(yàn)的模擬：

案例6法國(guó)科學(xué)家布豐計(jì)算圓周率π的隨機(jī)投針方法的步驟如下：

①取一張白紙，在上面畫上許多條間距為d的平行線；

②取一根長(zhǎng)度為l(l

然后讓計(jì)算機(jī)演示這種模擬試驗(yàn)(如圖4)，并告知學(xué)生這就是古典概率中的幾何概型.案例6展示了信息技術(shù)如何幫助學(xué)生聚焦在統(tǒng)計(jì)思維的體驗(yàn)上.

圖4

3.3 與直覺相區(qū)分，形成邏輯一致的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

統(tǒng)計(jì)處理的是生活事件.在生活中我們易受經(jīng)驗(yàn)、直覺、習(xí)慣和偏見所左右.生活中由自己的經(jīng)歷產(chǎn)生的直接推斷會(huì)影響科學(xué)的統(tǒng)計(jì)推斷學(xué)習(xí).在教學(xué)中我們要把握好直覺推斷[5]和統(tǒng)計(jì)推斷的區(qū)別，幫助學(xué)生有針對(duì)性地克服直覺推斷的負(fù)面影響.如案例2中最后一問“選擇乘坐哪部公交車”.生活中我們一般是哪部車先到，就乘哪部，不存在分析乘哪部車的問題.這就是直覺推斷中的“有效性”問題.這類直覺推斷會(huì)由于每個(gè)人自己的條件、有限的實(shí)驗(yàn)和個(gè)人見解的差異而導(dǎo)致很大的偏差，乃至無法對(duì)問題進(jìn)行準(zhǔn)確的判斷和優(yōu)化.統(tǒng)計(jì)來自于生活，統(tǒng)計(jì)思維只能在對(duì)生活事件的統(tǒng)計(jì)分析中來培養(yǎng).直覺推斷的負(fù)面影響，也只能通過對(duì)生活事件的統(tǒng)計(jì)分析來消除.教師需要針對(duì)學(xué)生典型的直覺推斷，設(shè)計(jì)案例，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，經(jīng)由教師條分縷析的統(tǒng)計(jì)分析，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到統(tǒng)計(jì)分析的可理解性，也能很好地與生活經(jīng)驗(yàn)協(xié)調(diào)，能更有效地解決問題，這樣學(xué)生就能逐漸擺脫直覺推斷，接受并習(xí)慣統(tǒng)計(jì)推理，形成邏輯一致的認(rèn)知結(jié)構(gòu).