潘榮杰
(北京市第八十中學(xué) 100102)
很多學(xué)生在面對(duì)導(dǎo)數(shù)綜合題時(shí),一般都會(huì)考慮原有函數(shù)的定義域,然后就對(duì)原有函數(shù)求導(dǎo)數(shù),或根據(jù)問(wèn)題情境,構(gòu)造一個(gè)函數(shù)再求導(dǎo)數(shù).那么為什么要求導(dǎo)?求導(dǎo)的目的是什么?所求得的導(dǎo)數(shù)便于后續(xù)研究嗎?所研究問(wèn)題的本質(zhì)是要研究函數(shù)的什么性質(zhì)?學(xué)生對(duì)諸多問(wèn)題可能沒(méi)有考慮清楚,更多的還是模式化解題.不可否認(rèn),函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的最重要性質(zhì)之一.導(dǎo)數(shù)最直接的應(yīng)用就是研究函數(shù)的單調(diào)性,但不是所有的問(wèn)題都要研究函數(shù)的單調(diào)性.如果需要研究函數(shù)的單調(diào)性,而導(dǎo)數(shù)含參數(shù)且特別復(fù)雜,分類(lèi)討論的分界點(diǎn)該如何確定呢?很多學(xué)生求導(dǎo)數(shù)之后,就陷入不知所措、無(wú)從下手、停滯不前的窘境,更談不上找到解決問(wèn)題的突破口了.
例如,2019年全國(guó)Ⅰ卷理科20題的第(Ⅱ)問(wèn),學(xué)生就遇到很大的挑戰(zhàn).
(2019年全國(guó)Ⅰ卷理20節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=sinx-ln(1+x).
證明:f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).
優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域,其實(shí)這就是關(guān)注原有函數(shù)的一種性質(zhì).但我們不能僅僅局限這一點(diǎn),也不能求導(dǎo)數(shù)之后就拋棄了原有函數(shù).我們要根據(jù)所求問(wèn)題的本質(zhì),關(guān)注原有函數(shù)以及導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),找到問(wèn)題的突破口,再利用導(dǎo)數(shù)這一工具解決問(wèn)題.筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐,重點(diǎn)談一談在解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題中除關(guān)注定義域外,還應(yīng)關(guān)注原有函數(shù)的哪些性質(zhì)?下面結(jié)合例子從四個(gè)方面加以說(shuō)明.限于篇幅,所舉例子均節(jié)選一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行解釋?zhuān)源藖?lái)感受關(guān)注原有函數(shù)本身的某些性質(zhì)對(duì)所研究問(wèn)題帶來(lái)的優(yōu)化.
關(guān)注多項(xiàng)式或函數(shù)值整體的正負(fù)對(duì)證明不等式、函數(shù)零點(diǎn)、恒成立或有解問(wèn)題至關(guān)重要.
證法一
由f(x)-(1-x+x2)
得f(x)≥1-x+x2.
證法二
即f(x)≥1-x+x2成立.
點(diǎn)評(píng)本題沒(méi)有用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值來(lái)證明不等式,問(wèn)題的解決根本就沒(méi)用到導(dǎo)數(shù)這一工具.函數(shù)不等式的證明,不一定要構(gòu)造函數(shù),通過(guò)研究單調(diào)性等性質(zhì),再求出函數(shù)的最值達(dá)到論證的目的.函數(shù)不等式證明的數(shù)學(xué)本質(zhì)還是作差,看差值的正負(fù)即可.本題根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征,用適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化、代數(shù)變形、放縮等手段就能達(dá)到論證的目標(biāo),從而問(wèn)題得以快速解決.上面兩種解法需要較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng),給學(xué)生帶來(lái)震撼,是去除模式化的好素材.特別是“證法一”關(guān)注了f(x)-(1-x+x2)整體的正負(fù).還有什么時(shí)候要關(guān)注多項(xiàng)式或函數(shù)值整體的正負(fù)呢?
例2(2016全國(guó)I卷理改編)
解法一
f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).
x(-∞,ln(-2a))ln(-2a)(ln(-2a),1)1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗
而極大值f(ln(-2a))=-2a[ln(-2a)-2]+a[ln(-2a)-1]2=a{[ln(-2a)-2]2+1}<0.
故當(dāng)x≤1時(shí),f(x)在x=ln(-2a)處取到最大值f(ln(-2a)),且f(x)≤f(ln(-2a))<0恒成立,即此時(shí)f(x)=0無(wú)解.
而當(dāng)x>1時(shí),f(x)單調(diào)遞增,至多一個(gè)零點(diǎn).
綜上,f(x)在R上至多一個(gè)零點(diǎn),符合題意.
解法二
f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2<0,
而f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).
則f′(x)>0在(1,+∞)上恒成立,
f(x)單調(diào)遞增,至多一個(gè)零點(diǎn).
綜上,f(x)在R上至多一個(gè)零點(diǎn),符合題意.
點(diǎn)評(píng)函數(shù)最值或極值的正負(fù)某種程度決定該函數(shù)有無(wú)零點(diǎn)問(wèn)題,這是零點(diǎn)問(wèn)題的一個(gè)基本認(rèn)識(shí).解法一就是依據(jù)這個(gè)認(rèn)識(shí).但極值的正負(fù)不好判斷,有時(shí)需要一定的技巧.更樸素的一個(gè)道理是:“函數(shù)在某區(qū)間上恒正或恒負(fù),則函數(shù)在此區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)”.若知道函數(shù)在某區(qū)間上恒正或恒負(fù),就無(wú)需關(guān)注它在此區(qū)間上的單調(diào)性情況,更不用關(guān)注極值的正負(fù),所以解法二是站在整體的角度看問(wèn)題,解法當(dāng)然更加簡(jiǎn)潔.在教學(xué)時(shí),我們可以采取這種對(duì)比教學(xué),既落實(shí)基本解法,又培養(yǎng)學(xué)生觀察、整合、創(chuàng)新的意識(shí),使學(xué)生對(duì)問(wèn)題本質(zhì)有更深刻的思考.
零點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì),它與函數(shù)值的正負(fù)、單調(diào)區(qū)間、極值等有密切關(guān)系.
令G(x)=(x+5)3-216x(1 則x∈(1,3),G′(x)=3(x+5)2-216<0. 故G(x)在(1,3)上為減函數(shù), 所以G(x) 即F′(x)<0在x∈(1,3)上恒成立, 故F(x)在(1,3)上為減函數(shù). 所以F(x) 點(diǎn)評(píng)其實(shí)還可以去分母后,再構(gòu)造函數(shù),但不管怎樣構(gòu)造函數(shù),看到了零點(diǎn),就找到了解題方向,要培養(yǎng)學(xué)生觀察零點(diǎn)的意識(shí),有的函數(shù)零點(diǎn)可以直接看出,有時(shí)需要我們?nèi)ス浪阍泻瘮?shù)或?qū)?shù)的零點(diǎn),一般是函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理相結(jié)合. (ax+1)(ex-1)-xex≤0, 設(shè)h(x)=(ax+1)(ex-1)-xex,則h(0)=0. 因?yàn)閔′(x)=ex[(a-1)x+a]-a,h′(0)=0, 則h″(x)=ex[(a-1)x+2a-1]. 所以h′(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減, 故h′(x) 所以h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減, 故h(x) 當(dāng)a≥1,x∈(0,+∞)時(shí),h″(x)>0, 所以h′(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增, 故h′(x)>h′(0)=0, 所以h(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增, 故h(x)>h(0)=0,所以a≥1不符合題意. 點(diǎn)評(píng)函數(shù)零點(diǎn)看似只是函數(shù)的一個(gè)局部性質(zhì),其實(shí)零點(diǎn)影響著函數(shù)的其它性質(zhì),比如函數(shù)只有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn),就知道函數(shù)在零點(diǎn)兩側(cè)一定異號(hào),對(duì)我們解不等式就有很大幫助.關(guān)注函數(shù)的零點(diǎn),當(dāng)然也包括觀察導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn).本題這種尋求使命題成立的充分條件,再證明其是必要條件的解題策略在解決壓軸題中很常用.在解導(dǎo)數(shù)壓軸題過(guò)程中,也有先尋求使命題成立的必要條件,這樣會(huì)縮小參數(shù)的取值范圍,一般會(huì)減少分類(lèi)討論,再證明其是充分條件.此種解題策略不再舉例,請(qǐng)讀者自己體會(huì). 例5已知函數(shù)f(x)=ex+(a-e)x-ax2,若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解由f(x)=ex+(a-e)x-ax2可知, f(0)=1,f(1)=0. 若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn), 則f(x)=ex-ex+a(x-x2)≤0在區(qū)間(0,1)上有解. 設(shè)h(x)=ex-exx∈(0,1). h′(x)=ex-e<0, 故h(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減. 所以h(x)>h(1)=0. (1)a≥0時(shí),因?yàn)閤∈(0,1),a(x-x2)≥0, 又ex-ex>0,所以f(x)>0 故此時(shí)f(x)≤0在區(qū)間(0,1)上無(wú)解. (2)a<0時(shí),f″(x)=ex-2a>0, 則f′(x)=ex-e+a(1-2x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增. 又f′(0)=1-e+a<0,f′(1)=-a>0, 故存在x0∈(0,1),使得f′(x0)=0. 于是x∈(0,x0)時(shí),f′(x)<0且x∈(x0,1)時(shí),f′(x)>0. 所以f(x)區(qū)間(x0,1)上單調(diào)遞增, 所以f(x0) 所以f(x)=ex-ex+a(x-x2)≤0在區(qū)間(0,1)上有解,a<0符合題意. 綜上,a的取值范圍為(-∞,0). 點(diǎn)評(píng)根據(jù)題目情境先觀察出邊界值f(0)=1,f(1)=0,根據(jù)存在零點(diǎn)存在定理,函數(shù)值必然存在小于等于零的值,這也是對(duì)零點(diǎn)問(wèn)題的最樸素認(rèn)識(shí).有了這種認(rèn)識(shí),問(wèn)題得以轉(zhuǎn)化為不等式有解問(wèn)題.不等式有解問(wèn)題一定要關(guān)注函數(shù)值的正負(fù),而關(guān)注函數(shù)值的正負(fù),就找到了分類(lèi)討論的分界點(diǎn),正是由于關(guān)注了原有函數(shù)的一些性質(zhì),問(wèn)題才得到了完美解答. 解易證f(x)=acosx+xsinx為偶函數(shù). f′(x)=-asinx+sinx+xcosx =(1-a)sinx+xcosx>0, 由f(x)是偶函數(shù)可知,f(x)有兩個(gè)零點(diǎn). 綜上,當(dāng)a>0時(shí),f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0;當(dāng)a=0時(shí),f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1;當(dāng)a<0時(shí),f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2. 點(diǎn)評(píng)本題不但關(guān)注了原有函數(shù)的正負(fù),更關(guān)注了函數(shù)的奇偶性.奇偶性是一種對(duì)稱(chēng)性,知道自變量在原點(diǎn)的一側(cè)取值時(shí)的性質(zhì),就知道另一側(cè)的性質(zhì).如果函數(shù)有奇偶性,我們可以將自變量取值范圍縮小一半,這樣有助于研究導(dǎo)數(shù)的正負(fù). 這里我所說(shuō)的函數(shù)的邊界狀態(tài)可以理解為函數(shù)在定義域邊界的函數(shù)值或極限. 分析我們很難直接解出不等式f(x)≥a,那么應(yīng)該怎樣處理?我們可以嘗試觀察f(x)的函數(shù)值情況,將函數(shù)f(x)整理變形后,可以看出f(x)>0在定義域(0,+∞)上恒成立,因此若a≤0,f(x)≥a的解集就為f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).若a>0,又x→+∞,f(x)→0,說(shuō)明對(duì)于給定的正數(shù)a,當(dāng)x取較大值時(shí)f(x)≥a不成立,我們可以用特例加以說(shuō)明. 解f(x)的定義域?yàn)?0,+∞). 所以a≤0時(shí), 不等式f(x)≥a的解集為(0,+∞). a>0時(shí),易證x>2時(shí),ex>x2(證明略). 不符題意. 綜上,a的取值范圍為(-∞,0]. 點(diǎn)評(píng)本題是以極限為背景命制的,其實(shí)是考查函數(shù)值的取值情況.如何研究函數(shù)值的取值情況呢?一般通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)來(lái)確定值域,但本題的導(dǎo)數(shù)十分復(fù)雜,很難找到原有函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,若我們關(guān)注了原有函數(shù)值的正負(fù),關(guān)注了函數(shù)邊界的極限,我們就知道f(x)的值域一定為(0,M].當(dāng)然本題x→0+,f(x)→0,因此第(2)類(lèi)情況也可以取較小的正數(shù)進(jìn)行論證.如何說(shuō)明a>0時(shí),f(x)≥a的解集不是(0,+∞),需要對(duì)極限概念有較深刻的認(rèn)識(shí). 教學(xué)要突出數(shù)學(xué)本質(zhì),函數(shù)問(wèn)題的核心就是函數(shù)性質(zhì)的研究與應(yīng)用.根據(jù)問(wèn)題情境,我們應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生有意識(shí)地關(guān)注原有函數(shù)的定義域、奇偶性、函數(shù)值的正負(fù)、零點(diǎn)、函數(shù)的邊界狀態(tài)等性質(zhì),問(wèn)題很可能就找到了突破口,也會(huì)使得問(wèn)題更簡(jiǎn)潔更方便的解決.導(dǎo)數(shù)壓軸問(wèn)題多出在證明不等式、解不等式、恒成立或有解問(wèn)題中的求參數(shù)取值范圍、以及零點(diǎn)問(wèn)題等.我們需要?dú)w類(lèi),找到一般解題思路,但我們更應(yīng)關(guān)注原有函數(shù)的結(jié)構(gòu)、性質(zhì),而不是一概求導(dǎo)解決.要突出導(dǎo)數(shù)的思想、工具作用,更要站在函數(shù)整體的高度認(rèn)識(shí)函數(shù)問(wèn)題,這是一種意識(shí),學(xué)生一旦形成了這種意識(shí),就會(huì)做到在一般方法與特殊策略之間靈活轉(zhuǎn)化,在更高的層面去認(rèn)識(shí)問(wèn)題、理解問(wèn)題、解決問(wèn)題.這樣必會(huì)有利于幫助和引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解,提升學(xué)生綜合創(chuàng)新能力,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.3 關(guān)注原有函數(shù)的奇偶性,降解問(wèn)題難度
4 關(guān)注原有函數(shù)的邊界狀態(tài),開(kāi)闊解題視野