張 政，許孟輝

（寧波大學(xué) 機(jī)械工程與力學(xué)學(xué)院，浙江 寧波315211）

統(tǒng)計(jì)能量分析(Statistical Energy Analysis，SEA)可以有效克服有限元法、邊界元法等在解決復(fù)雜系統(tǒng)寬帶高頻動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中遇到的困難[1-2]。它將復(fù)雜系統(tǒng)劃分為多個(gè)具有相似模態(tài)的耦合子系統(tǒng)，利用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法以能量描述系統(tǒng)狀態(tài)及動(dòng)響應(yīng)。然而，以SEA 進(jìn)行動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的環(huán)境預(yù)示需要確定3類參數(shù)：子系統(tǒng)的模態(tài)密度與內(nèi)損耗因子、子系統(tǒng)間耦合損耗因子。以內(nèi)損耗因子為例，其10%的誤差導(dǎo)致響應(yīng)估計(jì)1 dB 的偏差，其100%的誤差導(dǎo)致響應(yīng)估計(jì)3 dB的誤差[2]。然而，內(nèi)損耗因子通常為10-2～10-4數(shù)量級(jí)的小數(shù)，耦合損耗因子的數(shù)量級(jí)則更小，在工程領(lǐng)域內(nèi)對(duì)這些小數(shù)量級(jí)參數(shù)進(jìn)行高可靠度的試驗(yàn)測(cè)量是非常困難的。同時(shí)，系統(tǒng)服役環(huán)境亦非一成不變，這將導(dǎo)致材料參數(shù)、邊界參數(shù)等的變異。因此，SEA 參數(shù)具有明顯的不確定性[3-4]，快速準(zhǔn)確計(jì)算輸入?yún)?shù)的不確定性對(duì)子系統(tǒng)能量及其對(duì)動(dòng)響應(yīng)的影響規(guī)律的分析是十分必要的。

Culla等[5]研究了隨機(jī)參數(shù)對(duì)SEA功率流平衡方程的影響。在系統(tǒng)參數(shù)可用數(shù)據(jù)不足的條件下，高精度地?cái)M合隨機(jī)參數(shù)分布難以實(shí)現(xiàn)，而以非概率凸模型對(duì)不確定性參數(shù)建模具有突出的優(yōu)勢(shì)。Yin等[6]結(jié)合有限元法、SEA 與區(qū)間攝動(dòng)分析法(Interval Perturbation Method，IPM)研究了區(qū)間參數(shù)對(duì)中頻聲振耦合分析的影響規(guī)律。吳迪等[7-8]將不確定性以區(qū)間參數(shù)和非概率凸模型參數(shù)定量化，基于Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)法研究了認(rèn)知不確定性對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)子系統(tǒng)間能量流的影響。本文作者也對(duì)區(qū)間參數(shù)系統(tǒng)的高頻動(dòng)力學(xué)特性分析提出了逐維法和頂點(diǎn)法[9]，但這兩種方法的計(jì)算效率低于IPM。雖然定量度量系統(tǒng)參數(shù)的不確定性對(duì)分析其高頻動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律具有重要的理論價(jià)值和工程意義，但不確定性在SEA 中的傳播分析研究相對(duì)有限，且現(xiàn)有方法面臨計(jì)算精度(如Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)法)或計(jì)算效率(如逐維法和頂點(diǎn)法)的限制。

本文以區(qū)間參數(shù)向量對(duì)不確定性建模，基于IPM 高效率的優(yōu)勢(shì)，通過(guò)保留部分高階攝動(dòng)項(xiàng)克服IPM 計(jì)算精度不足的限制，提出基于改進(jìn)區(qū)間攝動(dòng)分析(Improved Interval Perturbation Method，IIPM)的統(tǒng)計(jì)能量分析法(IIPM-SEA)，通過(guò)與蒙特卡洛法、頂點(diǎn)法與經(jīng)典IPM法的比較驗(yàn)證本文方法有效性。

1 SEA基本原理與方程

SEA 使用統(tǒng)計(jì)模態(tài)的概念，以振動(dòng)能量作為描述系統(tǒng)振動(dòng)的基本參數(shù)，利用各子系統(tǒng)間的能量流關(guān)系式對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)與聲輻射等系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行時(shí)間與空間上的統(tǒng)計(jì)評(píng)估。SEA的基本假設(shè)包括：

(1)子系統(tǒng)間為線性保守耦合，不存在非保守性的耦合，且滿足互易性原理；

(2)子系統(tǒng)間能量流與子系統(tǒng)間實(shí)際能量差成正比，即能量流與平均模態(tài)能量之差成正比；

(3)系統(tǒng)受互不相關(guān)的寬帶隨機(jī)激勵(lì)作用，具有模態(tài)非相干性，且可進(jìn)行能量線性疊加。

對(duì)于由N個(gè)子系統(tǒng)組成的系統(tǒng)，SEA 功率流平衡方程為

其中ηi(i=1,2,…,N)為子系統(tǒng)i的內(nèi)損耗因子，ηik(i≠k＆i,k=1,2,…,N)為振動(dòng)能量從子系統(tǒng)i傳至子系統(tǒng)k的耦合損耗因子，Pi,in(i=1,2,…,N)為外界對(duì)子系統(tǒng)i的輸入功率，ω為分析帶寬的中心頻率，Ei(i=1,2,…,N)為分析帶寬內(nèi)子系統(tǒng)i的能量。功率流平衡方程的矩陣格式寫(xiě)為

其中損耗因子矩陣L為

能量列向量E為

輸入功率列向量Pin為

上標(biāo)T為轉(zhuǎn)置運(yùn)算符。

根據(jù)式(2)表示的功率流平衡方程，若已知各子系統(tǒng)的模態(tài)密度與內(nèi)損耗因子、子系統(tǒng)間耦合損耗因子及外界激勵(lì)輸入功率，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算可獲得每個(gè)子系統(tǒng)的平均能量，進(jìn)一步獲得諸如振動(dòng)速度與聲壓等響應(yīng)。但如前文所述，模態(tài)密度、內(nèi)損耗因子、耦合損耗因子與外界激勵(lì)等參數(shù)不可避免地存在不確定性，導(dǎo)致各子系統(tǒng)能量及其動(dòng)響應(yīng)具有分散性。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，下文提出一種用于定量度量參數(shù)不確定性對(duì)系統(tǒng)動(dòng)響應(yīng)影響規(guī)律的方法。

2 區(qū)間參數(shù)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)能量分析

2.1 問(wèn)題描述

系統(tǒng)參數(shù)以向量a表示，式(2)中SEA 功率流平衡方程進(jìn)一步寫(xiě)為

在系統(tǒng)參數(shù)a可用數(shù)據(jù)不足的前提下，系統(tǒng)參數(shù)的不確定性可通過(guò)區(qū)間向量建模，以aI表示。因此，區(qū)間參數(shù)系統(tǒng)的SEA功率流平衡方程為

其中區(qū)間參數(shù)向量aI的下界向量和上界向量分別表示為aL和aU，即

方程式(4)的解為

值得指出的是：(1)各子系統(tǒng)的能量因共享系統(tǒng)參數(shù)a而相互依賴，式(6)表示的解集通常極難精確計(jì)算；(2)工程領(lǐng)域更為關(guān)心每個(gè)子系統(tǒng)能量及動(dòng)響應(yīng)的變化規(guī)律或界限。因此，區(qū)間分析以獲得式(4)或式(6)的最小超立方體包絡(luò)解為目標(biāo)，即

其中

2.2 基于改進(jìn)區(qū)間攝動(dòng)分析的統(tǒng)計(jì)能量分析

區(qū)間攝動(dòng)分析法是一類經(jīng)典的區(qū)間分析算法，因其計(jì)算效率高而備受青睞，該領(lǐng)域研究集中于如何提高其計(jì)算精度。從發(fā)展歷程看，區(qū)間攝動(dòng)分析法可分為3種格式，即Qiu-based IPM[10]、McWilliambased IPM[11]、IIPM[12-13]。從計(jì)算精度而言，Qiubased IPM 具有明顯的“區(qū)間過(guò)估計(jì)”效應(yīng)；McWilliam-based IPM具有一定的“區(qū)間平移”效應(yīng)，計(jì)算精度高于前者；IIPM 具有一定的“區(qū)間不可預(yù)估”效應(yīng)，較前兩者的計(jì)算精度為高，但其存在計(jì)算格式不合理的問(wèn)題。本文分析現(xiàn)有IIPM的局限，提出合理的IIPM 計(jì)算格式，進(jìn)一步建立基于IIPM 的統(tǒng)計(jì)能量分析方法。

區(qū)間向量aI的中點(diǎn)ac與半徑ar分別為

將損耗因子矩陣L( aI)和輸入功率向量Pin(aI)在ac處進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)線性展開(kāi)，有

其中

根據(jù)式(4)可知區(qū)間參數(shù)系統(tǒng)的區(qū)間能量矩陣為

當(dāng)ΔLIL-1譜半徑小于1時(shí)[12-13]，(Lc+ΔLI)-1可以展開(kāi)為Neumann級(jí)數(shù)，有

令

從而，式(16)化簡(jiǎn)為

而級(jí)數(shù)和的冪次項(xiàng)可以表示為

忽略式(19)中的交叉項(xiàng)，式(18)進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

其中I為單位矩陣。令

其中

從而，式(20)進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

將式(23)代入式(15)中，有

忽略式(24)中的二階攝動(dòng)項(xiàng)，有

現(xiàn)有IIPM 根據(jù)式(25)給出的區(qū)間能量向量EI的區(qū)間半徑ΔE分別為

在式(26)中有兩類區(qū)間變量，即ΔaIk和ΔMIk，因式(22)的關(guān)系，這兩類區(qū)間變量是相互獨(dú)立的，且ΔMIk中各區(qū)間變量分量也是相互獨(dú)立的。進(jìn)一步地，由式(26)可知，ΔEI是ΔaIk和ΔMIk的線性函數(shù)，ΔEI的區(qū)間界可以通過(guò)頂點(diǎn)法精確獲得。因此，式(27)和式(28)忽略了2 個(gè)事實(shí)：(1)能量向量EI不同分量的區(qū)間界可在區(qū)間變量張成子空間的不同頂點(diǎn)處取得；(2)能量向量EI任一分量的區(qū)間界并非總在區(qū)間變量右端點(diǎn)取得，其僅是區(qū)間變量張成子空間的一個(gè)特殊頂點(diǎn)。為清晰起見(jiàn)，以如下形式簡(jiǎn)單的矩陣和向量來(lái)說(shuō)明，即令

從而，E1I= ( Lc)-1ΔMkIPicn的精確區(qū)間界為

在由ΔMkI中區(qū)間變量xI=[xI1,xI2,xI3,xI4]張成子空間內(nèi)，以式(30)所表示精確區(qū)間界的上界EU1為例，與它2個(gè)分量所對(duì)應(yīng)的空間頂點(diǎn)是

由式(31)可知，E1I中2 個(gè)區(qū)間分量分別在頂點(diǎn)處取得，且這2 個(gè)頂點(diǎn)均不是區(qū)間變量xI的右端點(diǎn)。然而，式(27)和式(28)均認(rèn)為能量向量EI各分量區(qū)間界在區(qū)間變量張成子空間內(nèi)的同一個(gè)頂點(diǎn)處，即區(qū)間變量右端點(diǎn)取得。

因此，能量向量EI的區(qū)間半徑ΔE為

根據(jù)式(25)和式(30)獲得系統(tǒng)能量向量的區(qū)間界為

值得指出的是，本文方法以SEA 為基礎(chǔ)，滿足SEA假設(shè)前提下可通過(guò)所提方法獲得系統(tǒng)參數(shù)不確定性對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的定量化影響規(guī)律，即：較SEA 而言，本文方法對(duì)響應(yīng)頻率范圍等因素?zé)o附加要求。但就不確定性分析而言，本文方法適用于小區(qū)間參數(shù)輸入問(wèn)題，其適用范圍可通過(guò)子區(qū)間方法得以有效拓展。

3 算例與討論

考慮圖1中板腔系統(tǒng)，它由1個(gè)四邊簡(jiǎn)支矩形鋁板與5個(gè)剛性壁面圍成，板長(zhǎng)L、板寬W與板厚t在圖中標(biāo)識(shí)，該系統(tǒng)區(qū)間參數(shù)列在表1中，其中ρs、Es、vs和ηs分別為鋁板的質(zhì)量密度、彈性模量、泊松比和內(nèi)損耗因子，ρa(bǔ)和ηa分別為聲腔內(nèi)聲學(xué)介質(zhì)的質(zhì)量密度和內(nèi)損耗因子，矩形鋁板上表面的幾何中心點(diǎn)的位置作用白噪聲機(jī)械激勵(lì)。

表1 板腔系統(tǒng)的區(qū)間參數(shù)

圖1 板腔系統(tǒng)構(gòu)型

板腔系統(tǒng)的SEA 模型如圖2所示，在給定區(qū)間參數(shù)任意實(shí)現(xiàn)的條件下，平板子系統(tǒng)的能量與聲腔子系統(tǒng)的能量可以通過(guò)式(1)中的經(jīng)典功率流平衡方程計(jì)算獲得。

圖2 板腔系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)能量分析模型

根據(jù)鋁板子系統(tǒng)能量計(jì)算得到鋁板振速級(jí)VSL

其中Es為鋁板子系統(tǒng)的能量，ρs為鋁板質(zhì)量密度，Vs為鋁板體積，vref為參考速度，取為

相應(yīng)地，聲腔內(nèi)聲壓級(jí)SPL 根據(jù)聲腔子系統(tǒng)能量計(jì)算得到

其中：Ea為聲腔子系統(tǒng)的能量，ρa(bǔ)為聲腔內(nèi)介質(zhì)的質(zhì)量密度，ca為聲腔內(nèi)介質(zhì)的聲速，Va為聲腔體積，pref為參考?jí)簭?qiáng)，取為

采用區(qū)間攝動(dòng)分析法(McWilliam-based IPM)、所提方法(Proposed method)、蒙特卡洛法(MC)和頂點(diǎn)法(Vertex method)計(jì)算平板子系統(tǒng)和聲腔子系統(tǒng)能量的區(qū)間界。根據(jù)區(qū)間擴(kuò)張?jiān)?，鋁板區(qū)間振速級(jí)/聲腔區(qū)間聲壓級(jí)的下界和上界分別為

其中聲學(xué)介質(zhì)中聲速與聲學(xué)介質(zhì)密度是相關(guān)的，其下界和上界分別為

鋁板區(qū)間振速級(jí)頻響分布和聲腔區(qū)間聲壓級(jí)頻響分布分別如圖3和圖4所示。

圖3 鋁板振速級(jí)的區(qū)間界

可以獲得結(jié)論如下：

(1)頂點(diǎn)法與蒙特卡洛法計(jì)算的區(qū)間界基本吻合，且前者略寬于后者。因這兩種方法均源于抽樣策略，二者計(jì)算的區(qū)間界為精確區(qū)間界的子集，因此，在該問(wèn)題中頂點(diǎn)法計(jì)算精度高于蒙特卡洛法。進(jìn)一步地，頂點(diǎn)法需運(yùn)行64 次傳統(tǒng)SEA 模型，其計(jì)算效率隨區(qū)間參數(shù)個(gè)數(shù)的增加而指數(shù)遞減，此例中蒙特卡洛法運(yùn)行傳統(tǒng)SEA模型次數(shù)為106；

(2)與頂點(diǎn)法計(jì)算結(jié)果相比，經(jīng)典區(qū)間攝動(dòng)分析法的計(jì)算結(jié)果存在明顯“區(qū)間平移”現(xiàn)象。相比而言，本文方法可以減小“區(qū)間平移”效應(yīng)，計(jì)算精度高。且本文方法僅需7 次SEA 分析過(guò)程，其計(jì)算效率隨區(qū)間參數(shù)個(gè)數(shù)的增加而線性遞減，顯著高于頂點(diǎn)法的計(jì)算效率。與頂點(diǎn)法相比，本文方法以其計(jì)算精度極小幅度的犧牲為代價(jià)大幅度提高了計(jì)算效率。

4 結(jié)語(yǔ)

圖4 聲腔聲壓級(jí)的區(qū)間界

在統(tǒng)計(jì)能量分析過(guò)程中，耦合損耗因子的不確定性源于系統(tǒng)幾何參數(shù)波動(dòng)、系統(tǒng)材料參數(shù)變異與試驗(yàn)測(cè)量誤差，內(nèi)損耗因子的不確定性源于試驗(yàn)測(cè)量誤差。為定量獲得內(nèi)損耗因子與耦合損耗因子的不確定性對(duì)系統(tǒng)高頻動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律，本文以區(qū)間參數(shù)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)的不確定性建模，對(duì)現(xiàn)有改進(jìn)區(qū)間攝動(dòng)分析法中區(qū)間響應(yīng)的計(jì)算過(guò)程進(jìn)行了合理改進(jìn)，并與統(tǒng)計(jì)能量分析法相結(jié)合提出了一種基于改進(jìn)區(qū)間攝動(dòng)分析的統(tǒng)計(jì)能量分析法。主要結(jié)論包括：

(1)從計(jì)算精度看，本文方法因有效減小經(jīng)典區(qū)間攝動(dòng)分析法的“區(qū)間平移”效應(yīng)而較后者具有更高的計(jì)算精度，但所提方法的計(jì)算精度低于蒙特卡洛法和頂點(diǎn)法；

(2)從計(jì)算效率看，本文方法與經(jīng)典區(qū)間攝動(dòng)分析法具有相同的計(jì)算效率，均隨區(qū)間參數(shù)個(gè)數(shù)的增加而線性遞減，且計(jì)算效率顯著高于頂點(diǎn)法；

(3)本文方法可以高效準(zhǔn)確地定量系統(tǒng)參數(shù)的不確定性對(duì)系統(tǒng)高頻動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律。與基于現(xiàn)有區(qū)間分析的統(tǒng)計(jì)能量分析法相比，本文方法在確保滿意計(jì)算精度的前提下具有計(jì)算效率方面的優(yōu)勢(shì)。