唐明超

摘 要：本文基于核心素養(yǎng)視角對(duì)試題背景進(jìn)行解讀、難點(diǎn)剖析與整體評(píng)價(jià)，聚焦核心素養(yǎng)培育途徑，談如何在解決實(shí)際問題的過程中發(fā)展核心素養(yǎng).認(rèn)為素養(yǎng)的發(fā)展與培育應(yīng)該回歸自然生長狀態(tài)，在挖掘知識(shí)本質(zhì)的過程中潛移默化地提升能力并發(fā)展素養(yǎng)，立足基礎(chǔ)知識(shí)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)基本思想，探尋并尊重知識(shí)的邏輯發(fā)展規(guī)律，知其然并知其所以然，循序漸進(jìn)地發(fā)展解決實(shí)際問題的綜合能力與核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：知識(shí)本質(zhì);挖掘;核心素養(yǎng)

1 試題呈現(xiàn)

題目 （2019年云南省中考數(shù)學(xué)23題）如圖1，AB是⊙C的直徑，點(diǎn)M，D在AB的延長線上，E是⊙C上的點(diǎn)，且DE2=DB·DA.延長AE至點(diǎn)F，使AE=EF，設(shè)BF=10，cos∠BED=45.

（1）求證：ΔDEB∽ΔDAE;

（2）求DA，DE的長;

（3）若點(diǎn)F在B，E，M三點(diǎn)確定的圓上，求MD的長.

2 基于核心素養(yǎng)的試題解讀

2.1 試題背景解讀

題目以圓為背景，以垂直關(guān)系為命題要素，以點(diǎn)線、線線位置關(guān)系為研究重點(diǎn)，聚焦相似三角形基本性質(zhì)，呈現(xiàn)了一道外表樸實(shí)無華卻內(nèi)涵豐富的中考試題.注重考查中位線、直徑所對(duì)的圓周角是直角、三角形相似與全等的判定定理及性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí);滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想;考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.2 難點(diǎn)剖析

考查以圓為背景的證明與計(jì)算的試題往往具有高度的抽象性，對(duì)邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算水平要求較高，如何將問題進(jìn)行聚焦與轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)抽象問題直觀化，復(fù)雜問題簡單化是解題的關(guān)鍵.相似三角形的證明與應(yīng)用，邊角關(guān)系的合理轉(zhuǎn)化與計(jì)算，對(duì)隱藏知識(shí)點(diǎn)的挖掘以及數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建都是解題的難點(diǎn)所在.

2.3 試題整體評(píng)價(jià)

整體來看本題是一個(gè)好題，不偏不怪，緊緊扣住基礎(chǔ)知識(shí)與基本思想方法，基于學(xué)生的元認(rèn)知發(fā)展水平進(jìn)行題目設(shè)計(jì)，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)置問題，具有起點(diǎn)低、有坡度、結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)忍攸c(diǎn)，既能檢測學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解與掌握情況，還能夠有效區(qū)分學(xué)業(yè)水平發(fā)展層級(jí)，具有較好的區(qū)分度和選拔功能.試題突出素養(yǎng)立意，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透，強(qiáng)調(diào)對(duì)問題本質(zhì)的挖掘，引導(dǎo)考生在分析、解決問題的過程中體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過程，將知識(shí)的檢測與問題的解決過程置于知識(shí)的發(fā)展邏輯之中，有效引導(dǎo)學(xué)生思考探究并解決實(shí)際問題，從而實(shí)現(xiàn)揭示問題本質(zhì)，感受知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過程，真正獲得知識(shí)積累與能力提升.

3 基于試題的解析談核心素養(yǎng)的培育途徑

3.1 轉(zhuǎn)化與化歸思想與數(shù)學(xué)抽象

試題重在考查學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解與掌握情況，如第（1）小題要求證明三角形相似，但是題目并沒有直接給出邊長或是邊長的比例關(guān)系，而是以切割線定理的等式給出，一方面考查學(xué)生能否將等式轉(zhuǎn)化為三角形對(duì)應(yīng)邊長的比例;另一方面檢測學(xué)生對(duì)切割線定理本質(zhì)的探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累水平.試題圖形特征及其幾何關(guān)系具有較強(qiáng)的抽象性，考查學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)發(fā)展水平的同時(shí)檢測學(xué)生將抽象問題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化的意識(shí)和能力.

分析整個(gè)證明過程，明確解題任務(wù)，制定解題步驟，發(fā)現(xiàn)要證明有一個(gè)公共角的兩個(gè)三角形相似只需要證明兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例即可，成功實(shí)現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化.直接由已知條件DE2=DB·DA得DEDA=DBDE，在△DEB與ΔDAE中，因?yàn)椤螪=∠D，所以ΔDEB∽ΔDAE.

3.2 函數(shù)與方程思想與數(shù)學(xué)運(yùn)算

第（2）小題看似普通，但是設(shè)問背后卻隱藏著較復(fù)雜的推理與計(jì)算過程.比如要求DA的長度既可以考慮構(gòu)造三角形直接求解，也可以考慮先求解AB與BD，再間接計(jì)算DA.解題可緊緊圍繞已知條件，結(jié)合圖形特征及其幾何關(guān)系先求出AB=10，AE=8，BE=6，再根據(jù)角與角的等量代換挖掘出CE⊥DE與BF⊥DE這兩個(gè)隱含的垂直關(guān)系，接下來運(yùn)用銳角三角函數(shù)及三角形相似比得出正確答案.整個(gè)解題過程思路清晰，根據(jù)已知條件不斷挖掘隱含的等量關(guān)系，最終得出正解.

如圖2，取DE與BF的交點(diǎn)為G，由已知得CE為ΔABF的中位線，所以CE=12BF=5.從而AB=10.

由∠AEB=∠FEB=90°，得Rt△AEB≌Rt△FEB.

在Rt△AEB中，由cos∠BED=45=cos∠EAD=AEAB，解得AE=8.

由勾股定理或銳角三角函數(shù)可得BE=6.

因?yàn)椤螦EC+∠CEB=∠DEB+∠CEB=90°，

所以CE⊥DE.從而BF⊥DE.

由cos∠BED=45=EGEB，解得EG=245.

在Rt△BGE中，由勾股定理或銳角三角函數(shù)可得BG=185（當(dāng)然此處也可以用Rt△BGE∽R(shí)tΔBEA得到）.

再由Rt△CED∽R(shí)t△BGD得CEBG=CDBD=EDGD，即有5185=5+BDBD=245+GDGD.解得BD=907，GD=43235.

從而DA=DB+BA=1607，DE=EG+GD=1207.

顯然，本題的解答過程較復(fù)雜，不夠簡練，思路雖然清晰但是方法不是最優(yōu)，值得改進(jìn).通過分析以上解題過程發(fā)現(xiàn)，可以省去中間求解BG與GD的步驟，只需要用好第（1）小題的結(jié)論ΔDEB∽ΔDAE即可.因?yàn)樵讦EB與ΔDAE中有DA與DE，如果能用好三角形相似，找到已知與未知之間的聯(lián)系和橋梁，即可順利解題，步驟如下.

在Rt△ABE中，由cos∠BED=45=cos∠EAD，解得AE=8，BE=6.

因?yàn)棣EB∽ΔDAE，所以DEDA=DBDE=EBAE=68.

因?yàn)镈B=DA-AB=DA-10，

所以DEDA=34，DA-10DE=34.解得DA=1607，DE=1207.

用好函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想在很大程度上簡化了計(jì)算過程，省去了中間量的求解，而且自然而然地將抽象問題直觀化，不必重復(fù)尋找相似三角形進(jìn)行未知量之間的轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的目的，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

3.3 數(shù)形結(jié)合思想與數(shù)學(xué)建模

仔細(xì)審題不難發(fā)現(xiàn)，要能準(zhǔn)確求出DA與DE，關(guān)鍵在于弄清點(diǎn)D與點(diǎn)A，B，E三點(diǎn)之間的關(guān)系，所以問題即可轉(zhuǎn)化為求解點(diǎn)D的坐標(biāo).又因?yàn)轭}目中活躍著垂直這個(gè)特殊的幾何關(guān)系且有AF⊥BE，可以考慮建立平面直角坐標(biāo)系求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而實(shí)現(xiàn)解題.

根據(jù)已知條件及（1）中結(jié)論可建立如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系，則A（-8，0），B（0，6），C（-4，3），所以lAB∶y=34x+6，lEC∶y=-34x.

設(shè)D（m，n），lED∶y=kx，因?yàn)椤螦EC+∠CEB=∠BED+∠CEB=90°，所以CE⊥DE.

所以-34×k=-1，解得k=43，即lED∶y=43x.

聯(lián)立方程y=43x，y=34x+6，解得D（727，967）.

過點(diǎn)D分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)P，Q，在Rt△DQE中，m=DQ=DEsin∠BED=35DE，所以DE=1207.

同理，在Rt△DPA中，n=DP=ADsin∠DAE=ADsin∠BED，所以DA=1607.

從以上解題過程可以看出，抓住關(guān)鍵因素，合理建立數(shù)學(xué)模型，將純幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，使得問題更加簡單化、直觀化，有效降低思維難度.

3.4 挖掘問題本質(zhì)與邏輯推理

試題的整個(gè)證明與計(jì)算過程均涉及邏輯推理數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，而且對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力要求較高.第（3）小題先要根據(jù)已知條件找到四點(diǎn)所確定的圓，其次設(shè)法求出MA，最后得到MD的長度，突出考查學(xué)生的邏輯推理能力和分析、解決問題的能力.首先以BF為直徑作圓交AD于B，M兩點(diǎn)，此時(shí)B，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共圓，實(shí)現(xiàn)了第一步的成功推理.要求MD，只需求BM.易知Rt△DGB∽R(shí)t△FMB，所以DGFM=GBMB=DBFB.由（2）知BD=907，GD=43235，BG=185，BF=10，代入計(jì)算得MB=145，從而MD=BD-BM=35235.整個(gè)解題過程緊緊扣住前兩題的解答成果，基于邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展水平找到了已知與未知之間的邏輯聯(lián)系，從而成功得出答案.

如果仔細(xì)觀察圖形并用好圖象特征容易發(fā)現(xiàn)可直接在Rt△AMF中求解AM.因?yàn)锽F為直徑，點(diǎn)M在圓上，所以又產(chǎn)生新的垂直關(guān)系，可以將問題進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化放置于同一個(gè)直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)得出MD，這樣既可以省去復(fù)雜中間量的求解，也可以實(shí)現(xiàn)解題的優(yōu)化，過程如下：

如圖3，∠BMF=90°，所以cos∠FAM=cos∠BED=AMAF=45.所以AM=645，所以MD=AD-AM=35235.

4 結(jié)束語

核心素養(yǎng)是個(gè)體發(fā)展水平的具體體現(xiàn)，核心素養(yǎng)的培育關(guān)鍵在于發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問題，思考并解決問題的綜合能力.發(fā)現(xiàn)問題的過程就是探究知識(shí)本源的過程，擺脫題海戰(zhàn)術(shù)的有效途徑就是嘗試對(duì)知識(shí)本質(zhì)進(jìn)行探究，盡可能還原知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過程，掌握知識(shí)的邏輯發(fā)展規(guī)律，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，立足四基，發(fā)展四能，逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，形成適應(yīng)社會(huì)發(fā)展所必需的的關(guān)鍵能力和必備品格.

核心素養(yǎng)看不見也觸不到，因?yàn)樗男纬珊桶l(fā)展具有過程性和循序漸進(jìn)性，將素養(yǎng)的發(fā)展過程回歸自然狀態(tài)，在尋找知識(shí)本質(zhì)的過程中培育和發(fā)展核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)和素養(yǎng)水平雙重提升，而且知識(shí)的積累和素養(yǎng)水平的提升可形成互補(bǔ)效應(yīng)，最后都將作用于實(shí)際問題的解決和處理能力上來.

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（收稿日期：2019-08-28）