畢 偉

(延安大學(xué) 學(xué)術(shù)期刊中心，陜西 延安 716000)

劉曼在文獻(xiàn)[1]中給出了n次積分C半群的概念并得到它的一個表示定理；張明翠、趙丹丹等在文獻(xiàn)[2-4]中提出了n階α次積分C半群和雙參數(shù)n階α次積分C半群的概念，并研究其相關(guān)問題；文獻(xiàn)[5]給出了多參數(shù)n階α次積分半群的概念及其性質(zhì)。本文利用經(jīng)典算子半群理論中的方法和n階α次積分C半群的定義，給出多參數(shù)n階α次積分C半群的概念及其性質(zhì)。

1 預(yù)備知識

設(shè)X為無限維的復(fù)Banach空間，B(X)是X上有界線性算子全體所成的Banach代數(shù)，D(A)為線性算子A的定義域，規(guī)定所有n∈N，α≥0。

JnT(t)表示T∈C([0,+∞),X)的n次積分，即

T=0當(dāng)且僅當(dāng)存在n>0使得JnT(t)=0,t≥0。

2 多參數(shù)n階α次積分C半群的定義

定義1 設(shè)n∈N,α≥0，{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0?B(X)強(qiáng)連續(xù)，若存在線性算子A=(A1,A2,…,Am)使得(1)—(3)式成立：

(1)?x∈X,t1,t2,…,tm≥0，

JnT(t1,t2,…，tm)x∈D(A)，

AJnT(t1,t2,…,tm)x；

(2)?x∈D(A),t1,t2,…,tm≥0，

JnT(t1,t2,…,tm)Ax；

(3)CT(t1,t2,…,tm)=

T(t1,0,…,0)T(0,t2,…,0)…T(0,0,…,tm)。

當(dāng)α=0時，{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0稱為多參數(shù)n階C半群；當(dāng)C=I時，稱為多參數(shù)n階α次積分半群，即文獻(xiàn)[5]所研究的內(nèi)容。

3 主要結(jié)果

定理1 設(shè)A=(A1,A2,…,Am)是多參數(shù)n階α次積分C半群{T(t1,t2,…，tm)}t1,t2,…，tm≥0的次生成元，則對?x∈D(A)，有T(s1,s2,…，sm)x∈D(A)且AT(s1,s2,…，sm)x=T(s1,s2,…，sm)Ax,?s1,s2,…，sm≥0。

證明由于{T(t1,t2,…，tm)}t1,t2,…，tm≥0強(qiáng)連續(xù)，所以有

JnT(t1,t2,…，tm)AT(s1,s2,…，sm)x=

T(t1,t2,…，tm)T(s1,s2,…，sm)x-

T(s1,s2,…，sm)[T(t1,t2,…，tm)x-

T(s1,s2,…，sm)JnT(t1,t2,…，tm)y=

JnT(s1,s2,…，sm)T(t1,t2,…，tm)y=

JnT(t1,t2,…，tm)T(s1,s2,…，sm)y=

JnT(t1,t2,…，tm)T(s1,s2,…，sm)Ax。

又由y∈X及y的唯一性，有T(s1,s2,…，sm)y∈X且唯一，故有

T(s1,s2,…，sm)x∈D(A)，且

AT(s1,s2,…，sm)x=T(s1,s2,…，sm)Ax,

?s1,s2,…，sm≥0。

定理2 設(shè)多參數(shù)n階α次積分C半群的次生成元為A=(A1,A2,…,Am)，

a1A1+a2A2+…+amAm，

?(a1,a2,…,am)∈Rm，

則A1,A2,…,Am分別為單參數(shù)n階α次積分C半群{T(t1,0,…,0)}t1≥0，{T(0,t2,…,0)}t2≥0，…，{T(0,0,…,tm)}tm≥0的次生成元，即滿足：

(1)?x∈X，t1≥0,JnT(t1,0,…,0)x∈D(A1)，

A1JnT(t1,0,…,0)x；

(2)?x∈X,t2≥0，JnT(0,t2,…,0)x∈D(A2),

A2JnT(0,t2,…,0)x；

…

(m)?x∈X,tm≥0，

JnT(0,0,…,tm)x∈D(Am),

AmJnT(0,0,…,tm)x。

證明根據(jù)多參數(shù)n階α次積分C半群滿足線性變換，則有

?x∈X，t1,t2,…,tm≥0,

JnT(t1,t2,…,tm)x∈D(A)，

(A1,A2,…,Am)JnT(t1,t2,…,tm)x=

A1JnT(t1,0,…,0)x+A2JnT(0,t2,…,0)x+…

+AmJnT(0,0,…,tm)x。

則取t2,t3,…,tm=0時有

A1JnT(t1,0,…,0)x+A2JnT(0,0,…,0)x+…

+AmJnT(0,0,…,0)x。

又由多參數(shù)n階α次積分C半群的定義

A2JnT(0,0,…,0)=0,A3JnT(0,0,…,0)=0,

…,AmJnT(0,0，…，0)=0。

A1JnT(t1,0,…,0)x,

?x∈X,t1≥0,JnT(t1,0,…,0)x∈D(A1)。

同理可證(2)，(3)，…，(m)同樣成立。綜上所述，定理得證。

定義2[3]算子族{T(t)}t≥0?B(X)稱為指數(shù)有界的，如果存在M≥0,ω∈R使‖T(t)‖≤Meωt，?t≥0成立。

定理3 設(shè){T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0是多參數(shù)n階α次積分C半群，則存在M≥0,ω≥0使得

‖T(t1,t2,…,tm)‖≤‖C-1‖Meω(t1+t2+…+tm)。

證明由定義2可得

?M1≥1，ω1≥0，使得

‖T(t1,0,…,0)‖≤M1eω1t1。

同理 ?M2≥1，ω2≥0，使得

‖T(0,t2,…,0)‖≤M2eω2t2，…，

?Mm≥1，ωm≥0，使得

‖T(0,0,…,tm)‖≤Mmeωmtm。

又由多參數(shù)n階α次積分C半群定義中的(3)式可得

‖CT(t1,t2,…,tm)‖=

‖T(t1,0,…,0)T(0,t2,…,0)…T(0,0,…,tm)‖，

‖T(t1,t2,…,tm)‖=

‖C-1T(t1,0,…,0)T(0,t2,…,0)…

T(0,0,…,tm)‖≤

‖C-1‖·‖T(t1,0,…,0)‖·

‖T(0,t2,…,0)‖…‖T(0,0,…,tm)‖≤

‖C-1‖M1eω1t1·M2eω2t2…Mmeωmtm。

令ω=max{ω1,ω2,…,ωm}≥0且

M=M1·M2…Mm≥1，則有

‖T(t1,t2,…,tm)‖≤‖C-1‖Meω(t1+t2+…+tm)。