沙嬋娟

【摘要】微元法是分析和解決積分問題的常用方法，它是采用“化零為整”的思想去解決問題.一般的積分都需要化成累次積分來計(jì)算，有時(shí)計(jì)算起來比較復(fù)雜，本文利用微元法簡化了重積分和曲面積分的運(yùn)算，即通過微元法尋找相應(yīng)的微元，直接將二重積分、三重積分或者曲面積分化成定積分，而定積分計(jì)算相對(duì)來說簡單，因此，利用此法可以更大地簡化計(jì)算.

【關(guān)鍵詞】微元法;重積分;曲面積分;積分微元

一、引言

微元法是積分學(xué)中非常重要的一種方法，在數(shù)學(xué)、物理和工程中被廣泛應(yīng)用.它一般要經(jīng)過四個(gè)步驟：分割，取近似，求和，取極限.通常情況下，在使用微元法之前，我們會(huì)先對(duì)某事件做整體的觀察，然后取出該事件的某一微小單元進(jìn)行分析，通過對(duì)微元的數(shù)學(xué)分析和描述，最終解決整體，得到結(jié)果.合理有效地利用微元法的思想可以使原本復(fù)雜的問題變得簡單易行.

在大學(xué)的公共基礎(chǔ)課“高等數(shù)學(xué)”中，所有積分概念的提出都是通過微元法實(shí)現(xiàn)的.我們所得到的這些積分，包括重積分、曲線積分、曲面積分，都是基于定積分的概念，對(duì)積分區(qū)域進(jìn)行擴(kuò)展，得到新的一系列積分.對(duì)于這些積分的計(jì)算，先通過幾何意義或物理意義化為二重積分或者三重積分，再化成累次積分的形式，最終得到極限值.實(shí)際上，很多問題我們可以根據(jù)積分中被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點(diǎn)和相互關(guān)系適當(dāng)?shù)剡x擇微元，將重積分和曲面積分直接化簡為定積分，從而進(jìn)行簡單的計(jì)算.

二、各類積分直接轉(zhuǎn)化成定積分

（一）重積分直接化成定積分

通常情況下，重積分是要根據(jù)積分區(qū)域的形狀化成累次積分進(jìn)行計(jì)算的，但是如果被積函數(shù)復(fù)雜，或者積分區(qū)域形狀不規(guī)則，那么化成累次積分的過程就比較繁雜，或者化成累次積分后，計(jì)算量比較大.如果在重積分中，積分微元容易尋找或者容易表達(dá)，那么我們可以利用微元法直接找微元，化成定積分計(jì)算要容易得多.

下面通過三個(gè)例題介紹三種不同的類型.

經(jīng)過上面三個(gè)例題的分析，有了最簡潔的結(jié)果，我們在以后高等數(shù)學(xué)或者其他科目的學(xué)習(xí)中，便可以利用這些結(jié)論，在具體的題目中可以直接去計(jì)算重積分，省去了確定區(qū)域形狀、選擇合適坐標(biāo)、化成累次積分這些繁雜的過程，而直接得到一個(gè)定積分，計(jì)算定積分即可，計(jì)算過程變得簡單很多.

上面的幾個(gè)例題中，積分區(qū)域都是用規(guī)則的直線或者平面進(jìn)行分割的，得到的微元是長方形、帶弧邊的長方形或長方體，這種情況是我們?nèi)菀着龅胶驼莆盏?實(shí)際上，有些特殊問題，我們可以用不規(guī)則的曲線或者曲面進(jìn)行分割.

我們看到，（2）的解答是非常簡單的，大家可以試一下用我們常用的算法或者常用的分割方式去解決這個(gè)二重積分，還是有一定的難度的.而這種做法不僅可以用于二重積分的計(jì)算，還可用于三重積分的計(jì)算.

（二）曲面積分直接化成定積分

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，大部分學(xué)生對(duì)于曲面積分的計(jì)算掌握起來是有難度的，而我們會(huì)在這部分中研究曲面為旋轉(zhuǎn)曲面的類型下，如何快速準(zhǔn)確地得到曲面積分的值.

假設(shè)曲面是由曲線繞著z軸旋轉(zhuǎn)所得，由旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積可知，旋轉(zhuǎn)體的曲面面積微元dS=2πx1+dzdx2dz，則曲面積分就可以化簡成定積分來計(jì)算.

這一部分我們主要對(duì)曲面積分直接化成定積分做了相應(yīng)的分析，如果看到積分區(qū)域是旋轉(zhuǎn)體，我們都可以用微元法分析其面積微元.

三、結(jié)束語

高等數(shù)學(xué)中積分的計(jì)算是一個(gè)重要的內(nèi)容，不管是教學(xué)大綱、考研大綱，還是物理課程或者專業(yè)課程中，積分的計(jì)算必不可少.但是這部分內(nèi)容對(duì)于學(xué)生而言又是個(gè)難點(diǎn).在學(xué)習(xí)的過程中，我們要引導(dǎo)學(xué)生去理解積分的本質(zhì)，清楚積分就是無窮多個(gè)無窮小的總和.它的結(jié)果我們可以認(rèn)為是在單一維度下對(duì)某一個(gè)量的累加.

本文中的積分計(jì)算拋開教材中循規(guī)蹈矩的求解積分的方法，從微元法最本質(zhì)的一點(diǎn)尋找積分微元，去化解積分，直接得到我們熟悉的、便于計(jì)算的一元函數(shù)的定積分.整個(gè)過程對(duì)學(xué)生對(duì)積分概念的理解和積分值的取得是有很大幫助的.這樣的方法不僅適用于文中提到的幾種積分模式，也適用于很多實(shí)際問題的求解.在實(shí)際問題中，我們只要可以找到簡單的分割方式，順利找到對(duì)應(yīng)微元，在分割區(qū)域上，便可以方便地把它化成我們熟知的定積分，對(duì)此大家可以繼續(xù)進(jìn)行探討.

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