朱麗葉，張 勇

(蘇州大學(xué)城市軌道交通學(xué)院，江蘇 蘇州，215131)

隨著交通出行的快速機動化，城市道路交通擁堵日趨嚴(yán)重。然而，當(dāng)城市道路可改造空間有限時，采用交通信號控制來緩解城市常發(fā)性超飽和交通堵塞幾乎是唯一的選擇。傳統(tǒng)的區(qū)域交通控制策略主要是圍繞減少車輛通過交叉路口的飽和度、排隊長度或者延誤時長而展開, 以控制路段上車輛數(shù)最小化來保證控制策略的最優(yōu),該控制策略在緩解交通擁堵方面取得了一定的效果，但是還缺乏對路網(wǎng)整體通行效率的優(yōu)化控制。交通流宏觀基本圖(Macroscopic Fundamental Diagram,簡稱MFD)的控制思路從理論上證明了在路網(wǎng)上的車輛數(shù)量與離開路網(wǎng)的交通流量呈現(xiàn)單峰的關(guān)系[1-2]，這一發(fā)現(xiàn)對超飽和交通控制具有重要的意義。在實際路網(wǎng)控制中，為了避免超飽和交通的影響，相關(guān)控制方法會將未飽和與過飽和兩種控制狀態(tài)結(jié)合考慮，進(jìn)行不同狀態(tài)下控制方案的變換,或者以某種穩(wěn)態(tài)作為參照進(jìn)行反饋調(diào)節(jié)控制，從而避免路網(wǎng)出現(xiàn)擁堵，例如，Dinopoulou等[3]基于輸入-輸出模式建立路段車輛數(shù)的狀態(tài)方程，并以路段累積車輛數(shù)為0時的穩(wěn)態(tài)控制方案作為參照，提出了可自動響應(yīng)當(dāng)前交通需求并進(jìn)行反饋調(diào)節(jié)的TUC控制策略。

目前，MFD主要用于邊界控制，研究方法可以分為兩大類,其中第一類是解析研究區(qū)域的MFD形態(tài)后再進(jìn)行堵塞區(qū)域的優(yōu)化控制，比較典型的控制方法為Bang-Bang控制[4]，但是在實際控制過程中，由于控制方法對控制邊界的強烈依賴，對于多區(qū)域的共用邊界控制將成為其控制難點；第二類研究方法是考慮到實際控制區(qū)域路網(wǎng)MFD的不確定性，對控制系統(tǒng)進(jìn)行魯棒調(diào)節(jié)，但其控制器設(shè)計難度較大。盡管MFD可以直接描述路網(wǎng)系統(tǒng)的累積車輛數(shù)和輸出效率之間的關(guān)系，但對系統(tǒng)的同質(zhì)性要求很高，在實際路網(wǎng)中，由于路網(wǎng)基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)(包括公交專用道、單行線等)不同，會使區(qū)域的MFD形態(tài)產(chǎn)生不同程度的發(fā)散，因此難以找到普適性的MFD及控制方法，有必要開展基于MFD的超飽和路網(wǎng)交通控制策略優(yōu)化研究。為此，本文以堵塞區(qū)域路網(wǎng)各條路段上行駛的車輛數(shù)作為狀態(tài)變量，建立路網(wǎng)交通的狀態(tài)方程，分析路段上車輛數(shù)變化規(guī)律；同時，基于交通流MFD，以路網(wǎng)中路段累積車輛數(shù)作為控制目標(biāo)，建立關(guān)于堵塞區(qū)域路網(wǎng)系統(tǒng)的離散狀態(tài)優(yōu)化控制模型，并將該模型在某城市新區(qū)進(jìn)行模擬算例應(yīng)用，以期為基于MFD的城市交通路網(wǎng)區(qū)域?qū)崟r信號控制提供參考。

1 模型構(gòu)建

1.1 控制策略

圖1 路網(wǎng)中車輛數(shù)累積量與通行率關(guān)系圖

本文從路段層面借鑒MFD的控制思想，在保證路段車流不出現(xiàn)擁堵的前提下，使路網(wǎng)區(qū)域的車輛分散到各路段上，形成路段的最優(yōu)車輛數(shù)累積量。根據(jù)車流的流量-密度關(guān)系模型，當(dāng)車流在非擁堵狀態(tài)達(dá)到最大密度時，其輸出流量也最大，這與路網(wǎng)系統(tǒng)MFD屬性所描述的關(guān)于路網(wǎng)累積量和路網(wǎng)輸出率之間的關(guān)系不謀而合。很顯然，如果所有路段的車流狀態(tài)都能達(dá)到流量-密度模型的最高點，路網(wǎng)的信號控制將不必存在。在關(guān)于路網(wǎng)MFD屬性的研究中發(fā)現(xiàn)，路網(wǎng)系統(tǒng)的最優(yōu)車輛數(shù)累積量與其本身結(jié)構(gòu)和基礎(chǔ)設(shè)置有關(guān)，其最優(yōu)車輛數(shù)累積量是一個定值，且遠(yuǎn)小于所有路段達(dá)到最優(yōu)車輛數(shù)累積量的總和。因此，這種基于路段車輛數(shù)累積量的設(shè)置方法可以保證路網(wǎng)系統(tǒng)達(dá)到最優(yōu)車輛數(shù)累積量，同時路網(wǎng)中各路段也不會出現(xiàn)堵塞現(xiàn)象。

1.2 交通流建模

根據(jù)車輛守恒原理，可以寫出某路段上(k+1)T時刻的車輛數(shù)，其路段的車輛數(shù)等于kT時刻的車輛數(shù)加上在T時間流入的車輛數(shù)和流出的車輛數(shù)差值，即：

xZ(k+1)=xZ(k)+T[ΔuZ(k)+ΔdZ(k)]/3600

(1)

ΔuZ(k)=uZ(k)-u′Z(k)

(2)

圖2 路段及關(guān)聯(lián)兩交叉口交通流分布(單向)

Fig.2 Traffic flow distribution of road segment and section linked of two intersections (one-way)

ΔdZ(k)=dZ(k)-d′Z(k)

(3)

式中:k表示控制狀態(tài)指標(biāo)；T表示控制時間步長，s；xZ(k)表示路段Z在kT時刻的車輛數(shù)；uZ(k)、u′Z(k)分別為路段Z在kT時刻的輸入端和輸出端的實際流量值，veh/h；dZ(k)、d′Z(k)分別為在kT時刻路段Z中間位置的實際流入和流出流量值，veh/h；ΔuZ(k)表示路段Z在kT時刻產(chǎn)生外生流量差值，veh/h；ΔdZ(k)表示路段Z在kT時刻產(chǎn)生內(nèi)生流量差值，veh/h。

車流在路網(wǎng)中運行時涉及到路網(wǎng)中路段和交叉口的相關(guān)拓?fù)潢P(guān)系，為了簡化模型，將對車流通過交叉口時的有關(guān)相位變換過程、車流運行過程進(jìn)行如下假設(shè)：第一，在控制的初始時刻路網(wǎng)中有一定的車輛數(shù)累積；第二， 任意交叉口j的周期時長固定且已知，其值為C0j，每周期的總損失時間固定且已知，其值為Lj,那么，交叉口j在每個周期的總綠燈時長固定且已知，即Cj=C0j-Lj；第三， 任意路段Z的輸出車流通過交叉口的飽和流率為S；第四，各交叉口的相位均為固定的四相位組合模式，沒有優(yōu)先相位或其他特殊相位。

當(dāng)路段上、下游交叉口的控制周期固定，相關(guān)相位已知，根據(jù)輸出車流的轉(zhuǎn)向比(r)和綠燈時間(g)的對應(yīng)關(guān)系，并用路段連接的上、下游交叉口代替原路段的名稱，可以將公式(1)寫成帶有一定結(jié)構(gòu)的矩陣相乘的形式，即基于輸入-輸出模式的狀態(tài)方程為：

xmn(k+1)=xmn(k)+

(4)

如果將路段的上、下游節(jié)點拓展到路網(wǎng)范圍，可以進(jìn)一步寫出符合路網(wǎng)拓?fù)潢P(guān)系的離散狀態(tài)方程為：

X(k+1)=X(k)+B(k)G(k)+TΔD(k)

(5)

式中：X(k)表示路段車輛數(shù)狀態(tài)變量矩陣，矩陣大小和結(jié)構(gòu)與路網(wǎng)結(jié)構(gòu)和所包含路段的數(shù)量有關(guān)；B(k)為流量矩陣，各元素表示特定路段上輸出車道組的流量大小，矩陣大小以及拓?fù)潢P(guān)系與路網(wǎng)結(jié)構(gòu)有關(guān)；G(k)為控制變量矩陣，矩陣元素表示路段輸出車流通過交叉口時綠燈相位時長，矩陣結(jié)構(gòu)與B(k)對應(yīng)；ΔD(k)為內(nèi)生流量矩陣，矩陣形式和X(k)相同。

1.3 控制模型與求解

當(dāng)確定各路段車輛的最優(yōu)累積量參照值后，根據(jù)累積量最優(yōu)的控制思想，則可以采用一個二次多項式形式表示最小化控制目標(biāo)為：

(6)

式中：μmn表示交叉口m、n連接路段上最優(yōu)車輛數(shù)累積量參照值，veh。將控制目標(biāo)添加相應(yīng)的權(quán)重系數(shù)矩陣Q，可以寫出該模型的控制函數(shù)：

(7)

式中:NK表示總的控制步數(shù)；狀態(tài)變量矩陣X(k)滿足公式(5)；路段車輛累積量參照值矩陣μ需根據(jù)路網(wǎng)系統(tǒng)交通狀況進(jìn)行調(diào)整，以保證路網(wǎng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)為基礎(chǔ)，盡可能提高路網(wǎng)的輸出效率；在進(jìn)行優(yōu)化控制的過程中，權(quán)重系數(shù)矩陣Q和路段車輛累積量參照值矩陣μ將直接影響優(yōu)化控制的結(jié)果。根據(jù)MFD的路段累積量最優(yōu)的控制思想，優(yōu)化控制模型中各路段車輛數(shù)均需保持在最優(yōu)累積量的附近波動，由此，權(quán)重系數(shù)矩陣Q可以取單位矩陣。

AG(k)-C=0

(8)

式中:A為G(k)矩陣的系數(shù)矩陣，其矩陣形式與交叉口各相位以及G(k)矩陣的結(jié)構(gòu)有關(guān)；C矩陣表示各交叉口的總綠燈時間，由交叉口的周期時長和總損失時間決定，當(dāng)周期時長和總損失時間已知，則C為常數(shù)矩陣。當(dāng)交叉口設(shè)置各相位綠燈時長時，需要考慮最小綠燈時間約束，即：gj,i≥gj,i,min,i∈Fj，則控制變量矩陣G(k)的線性不等式約束用矩陣的形式可以表示為：

Gmin-G(k)≤0

(9)

式中:Gmin為gj,i,min的矩陣形式，矩陣結(jié)構(gòu)與G(k)相同，其中，gj,i,min表示交叉口j的綠燈相位最小時長，當(dāng)交叉口各綠燈相位的最小綠燈時長已知，則Gmin為常數(shù)矩陣。

由公式(5)、(7)、(8)、(9)構(gòu)成了有約束的離散狀態(tài)優(yōu)化控制模型，且狀態(tài)變量矩陣X(k)的初始狀態(tài)已知。由于該模型是凸函數(shù)，因此模型的局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解。根據(jù)龐特里亞金極小值原理，可通過構(gòu)造模型的哈密爾頓函數(shù)來求模型的極小值，引入拉格朗日乘子λ(k+1)T和KKT因子η(k)T、σ(k)T，構(gòu)造模型的哈密爾頓函數(shù)H(k)，則有：

λ(k+1)T[X(k)+B(k)G(k)+TΔD(k)]

+η(k)T[AG(k)-C]+σ(k)T[Gmin-G(k)]

(10)

再根據(jù)哈密爾頓函數(shù)和約束條件，建立極值條件，尋找哈密爾頓函數(shù)的K-T點，則有：

B(k)G(k)+TΔD(k),X(1)=X0

(11)

(12)

(13)

σ(k)T[Gmin-G(k)]=0,σ(k)≥0

(14)

優(yōu)化模型通過求解每個狀態(tài)的K-T點來得到控制變量矩陣G(k)在每個狀態(tài)的最優(yōu)解。本文將采用梯度投影法，通過計算控制變量矩陣G(k)當(dāng)前可行解的有效約束矩陣和其關(guān)于哈密爾頓函數(shù)H(k)的偏導(dǎo)(見公式(13))所構(gòu)成的投影矩陣來確定當(dāng)前的迭代方向，并根據(jù)當(dāng)前可行解和迭代方向運用黃金分割法尋找當(dāng)前最優(yōu)迭代步長，以此確定新的可行解，直到新的可行解滿足KKT條件(見公式(14))，此時所得的可行解即為模型的K-T點。具體求解步驟可參考文獻(xiàn)[5]。

2 實例分析

本次實驗區(qū)域的路口均為十字形路口，采用傳統(tǒng)的四相位、定周期控制。定時配時方法為：根據(jù)規(guī)劃高峰小時數(shù)據(jù)，用Webster模型計算各交叉口高峰小時車道組飽和度，并確定配時方案，各交叉口周期固定為C=120 s。采用本文上述控制模型，并根據(jù)路網(wǎng)外圍輸入流量矩陣B(k)實時優(yōu)化控制方案。

2.1 試驗區(qū)域概況

以襄陽市東津新區(qū)為試驗區(qū)域，根據(jù)MFD區(qū)域的劃分方法，路網(wǎng)范圍為5～10 km2，試驗控制區(qū)域路網(wǎng)如圖3所示。從圖3中可以看出，該區(qū)域中共有6條相交道路、9個內(nèi)部控制交叉口、12個外圍連接交叉口，區(qū)域總面積約為6 km2。交叉口連接的路段長度均在400～1100 m范圍內(nèi)，路段的單向車道數(shù)為2～3條。在本研究中，不考慮控制路網(wǎng)外圍連接的下游輸出路段對路網(wǎng)系統(tǒng)的影響，均用單一的有向線段表示路網(wǎng)外圍連接的輸出路段。為了模擬高峰小時的超飽和路網(wǎng)流量，將擬定路網(wǎng)外圍連接路段的單車道平均流量，在模擬時間內(nèi)，外圍路段的平均輸入流量會隨著時間波動，路網(wǎng)輸入流量隨時間變化的曲線如圖4所示。圖4中采用間隔4 min的流量輸入變化來模擬高峰小時路段流量流入的波動情況，路網(wǎng)外圍的輸入流量每4 min變化一次。在此模擬過程中，車流經(jīng)過交叉口的轉(zhuǎn)向比例與規(guī)劃高峰小時流量的轉(zhuǎn)向比例相同。

圖3 試驗控制區(qū)域路網(wǎng)

圖4 路網(wǎng)輸入流量隨時間變化曲線

2.2 結(jié)果分析

在給路網(wǎng)加載高峰小時的輸入流量后，用Webster定時控制方案對路網(wǎng)進(jìn)行控制，路段上行駛車流密度隨時間變化曲線如圖5所示，圖例表示路段的名稱，例如X1-2表示從上游交叉口1到下游交叉口2的路段。從圖5中可以看出，路網(wǎng)中部分路段的單車道平均車流密度超過了40 veh·km-1，甚至達(dá)到了120 veh·km-1，表明該路段出現(xiàn)了堵塞，路網(wǎng)達(dá)到超飽和,擁堵路段密度的變化情況與文獻(xiàn)[4]中關(guān)于路段是否屬于堵塞區(qū)的車流密度范圍界定基本相符。

(a) 路段X1-2、 X1-4、X2-1、X2-3、X2-5、X3-2 (b)路段X3-6、 X4-1、X4-5、X4-7、X5-2、X5-4

(c) 路段X5-6、 X5-8、X6-3、X6-5、X6-9、X7-4 (d) 路段X7-8、 X8-5、X8-7、X8-9、X9-6、X9-8

圖5 Webster定時控制下路段上行駛車流密度隨時間變化曲線圖

Fig.5 Traffic density curves of the road segment with time in Webster timing control

在運用優(yōu)化控制模型計算最優(yōu)的控制變量和狀態(tài)變量之前，首先要確定與該路網(wǎng)相適應(yīng)的各路段最優(yōu)車輛數(shù)累積量參照值(μmn)，確定原則如下：①由路段的長度和車道數(shù)計算初始車輛數(shù)累積量參照值μmn(0)，此時假設(shè)路網(wǎng)中的車輛數(shù)累積量均勻分布在各路段上，該車輛數(shù)累積量參照值的單車道平均密度取值范圍為60～70 veh·km-1，用上限計算初始車輛數(shù)累積量參照值μmn(0)=am-n×lm-n×70，其中am-n、lm-n分別表示上下游交叉口m、n連接路段的車道數(shù)和路段長度；②根據(jù)Webster定時控制模擬的路段擁堵情況，對擁堵路段的單車道平均密度進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼蹨p和調(diào)整，且單車道車流密度維持在20～40 veh·km-1范圍內(nèi)，調(diào)整結(jié)果如表1所示。

表1 路段車輛數(shù)累積量參照值調(diào)整結(jié)果

車輛數(shù)累積量參照值矩陣μ與路段車輛數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)相同，將調(diào)整后的μ矩陣用于優(yōu)化控制模型，模擬路網(wǎng)在相同外圍流量輸入下車流密度隨時間變化曲線圖如圖6所示。從圖6中可以看出，在模擬時間內(nèi)路網(wǎng)中各路段的單車道平均流量基本保持穩(wěn)定的狀態(tài)，絕大多數(shù)路段的單車道平均車流密度在40 veh·km-1以下，部分路段超過40 veh·km-1,但均保持在60 veh·km-1以下，其路段上的車流量保持在較高的輸出水平而不出現(xiàn)擁堵。由此表明，在模擬外圍輸入流量下，基于路段最優(yōu)累積量參照的優(yōu)化控制模型可以維持路網(wǎng)的穩(wěn)定運行，避免控制區(qū)域發(fā)生擁堵。

(a) 路段X1-2、 X1-4、X2-1、X2-3、X2-5、X3-2 (b)路段X3-6、 X4-1、X4-5、X4-7、X5-2、X5-4

(c) 路段X5-6、 X5-8、X6-3、X6-5、X6-9、X7-4 (d) 路段X7-8、 X8-5、X8-7、X8-9、X9-6、X9-8

圖6 優(yōu)化控制下路段上行駛車流密度隨時間變化曲線圖

Fig.6 Traffic density curves of the road segment with time in optimized control

將路網(wǎng)外圍的車輛輸入流量放大1.3倍后，用Webster定時控制方案和優(yōu)化控制方案再次對路網(wǎng)進(jìn)行控制并模擬路網(wǎng)中各路段的車輛數(shù)，不同輸入流量下路網(wǎng)車輛數(shù)變化趨勢如圖7所示。從圖7中可以看出，路網(wǎng)外圍車輛輸入流量放大1.3倍后，路網(wǎng)中車輛數(shù)變化與原流量輸入時車輛數(shù)變化趨勢一致，即優(yōu)化控制方案下的路網(wǎng)累計輸入和累計輸出車輛數(shù)均比Webster定時控制方案下的累計輸入和累計輸出車輛數(shù)要大，而且優(yōu)化控制方案下路段上車輛數(shù)累積量較Webster定時控制方案下車輛數(shù)累積量要小，由此表明，路網(wǎng)系統(tǒng)在優(yōu)化控制方案下對車輛的輸出效率比在Webster定時控制方案下車輛的輸出效率高。

(a) 原流量輸入 (b) 輸入量放大1.3倍

圖7 不同輸入流量下路網(wǎng)車輛數(shù)變化趨勢

Fig.7 Variation trend of the number of vehicles in the road network at different input flows

不同控制方案下模擬高峰小時內(nèi)路網(wǎng)累計輸出車輛數(shù)如表2所示。從表2中可以看出，在兩種高峰小時流量輸入下，在優(yōu)化控制方案下的路網(wǎng)累計輸出車輛數(shù)明顯增加，與Webster定時控制方案相比，路網(wǎng)在優(yōu)化控制方案下高峰小時內(nèi)累計輸出率分別提高28.2%、30.43%。

表2 不同控制方案下模擬高峰小時內(nèi)路網(wǎng)累計輸出車輛數(shù)

Table 2 Total number of output vehicles of road network during simulated peak hours with different control schemes

方案原高峰小時內(nèi)累計輸出車輛數(shù)高峰小時輸入擴大1.3倍后累計輸出車輛數(shù)Webster定時控制10 20110 772優(yōu)化控制13 07914 050

3 結(jié)語

基于交通流宏觀基本圖，優(yōu)化控制模型以路網(wǎng)中路段累積車輛數(shù)作為控制目標(biāo)，結(jié)合梯度投影法設(shè)計離散狀態(tài)的優(yōu)化控制機制。與控制區(qū)域的Webster定時控制方案相比，運用優(yōu)化控制策略在一定程度上可以避免控制區(qū)域中的路段出現(xiàn)擁堵，同時增加路網(wǎng)的輸入和輸出車輛數(shù)，從而使路網(wǎng)整體輸出效率得到明顯提升。