■天津市靜海區(qū)教育教學(xué)研究室 鄭淑媛

一、從“導(dǎo)入”看，考慮學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，為學(xué)生搭建合理平臺(tái)

宋老師注意知識(shí)的前后聯(lián)系，采用以舊引新直接導(dǎo)入法，在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形與多邊形有關(guān)概念的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生回顧多邊形的角及對(duì)角線的概念，強(qiáng)調(diào)了對(duì)角線的作用。類比三角形學(xué)習(xí)，多邊形“角”之間又有怎樣的關(guān)系，教師提出問(wèn)題：“我們已經(jīng)知道三角形內(nèi)角和等于180°，正方形、長(zhǎng)方形這些特殊四邊形內(nèi)角和都等于360°，那么任意一個(gè)四邊形內(nèi)角和是否等于360°？如何證明？”由于教師做了鋪墊，所以學(xué)生馬上想到“引對(duì)角線”的方法很快解決了問(wèn)題，并且宋老師明確指出了研究對(duì)象，即四邊形的內(nèi)角和就是（∠1+∠2+∠B)+(∠3+∠4+∠D），這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)很有用。

二、從“新授”看，以問(wèn)題+啟發(fā)式引導(dǎo)，在探究過(guò)程中感悟數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)是一個(gè)融知識(shí)、技能、方法、思想、精神為一體的整體，除了知識(shí)、技能以外，更重要的是數(shù)學(xué)的思想方法和數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的理性精神。學(xué)生怎么學(xué)數(shù)學(xué)，這和教師怎么教相聯(lián)系。由特殊的多邊形內(nèi)角和到n邊形內(nèi)角和，是一個(gè)多層次的探索過(guò)程，本質(zhì)上講的是由具體到抽象以及邏輯推理的過(guò)程。首先說(shuō)教師運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法境界較高，有神無(wú)形，將轉(zhuǎn)化的思想方法融合在探索多邊形內(nèi)角和的過(guò)程中，而且將“過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)引對(duì)角線”的方法作為教學(xué)主線，思路清晰。

當(dāng)教師問(wèn)“你能發(fā)現(xiàn)分成的三角形個(gè)數(shù)與它的邊數(shù)之間有什么關(guān)系嗎？”學(xué)生表現(xiàn)出遲疑，確定分割后三角形的個(gè)數(shù)的這個(gè)過(guò)程不但結(jié)論隨著多邊形邊數(shù)的變化而變化，而且需要關(guān)注的因素也較多，如邊數(shù)、從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線條數(shù)、分得的三角形個(gè)數(shù)、內(nèi)角和等，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)尋找這個(gè)關(guān)系有一定困難。我們看宋老師抓住這個(gè)“關(guān)鍵問(wèn)題”，借助表格，先引導(dǎo)學(xué)生觀察，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“列”之間存在的規(guī)律是邊數(shù)減2時(shí)，追問(wèn)學(xué)生“說(shuō)說(shuō)你是怎么發(fā)現(xiàn)的？”讓學(xué)生不僅知其然，而且知其所以然。繼續(xù)追問(wèn)：“你還能從其他角度進(jìn)行解釋嗎？”引發(fā)更深入的思考。我們看到在教師的啟發(fā)下，有兩位學(xué)生分別從頂點(diǎn)和邊的角度做出很好的解釋，從多角度加深了對(duì)這個(gè)“關(guān)鍵問(wèn)題”的理解。學(xué)生潛力是無(wú)窮的，我們一定要相信學(xué)生。這個(gè)過(guò)程蘊(yùn)含的是符號(hào)化以及從特殊到一般的抽象推理過(guò)程，尤其是用與n有關(guān)的代數(shù)式表示內(nèi)角和的過(guò)程是從感性走向理性。

我們看這個(gè)探索過(guò)程，學(xué)生有獨(dú)立思考、小組合作與全班交流，他們親自經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，知識(shí)的獲取不是教師塞給的，而是自己自主獲取的。教師提出的問(wèn)題由淺入深，環(huán)環(huán)相扣，有利于培養(yǎng)學(xué)生有邏輯的思維能力，像這樣讓知識(shí)慢慢地、一點(diǎn)一點(diǎn)地“浮出水面”的過(guò)程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生能從中領(lǐng)悟出探索多邊形內(nèi)角和的思想方法，而這種類比、轉(zhuǎn)化化歸思想和從特殊到一般研究問(wèn)題的方法，會(huì)使學(xué)生的學(xué)習(xí)變得很輕松。得到（n-2）·180°的方法屬于合情推理，宋老師通過(guò)讓學(xué)生探索不同的分割方法，驗(yàn)證了所得結(jié)論的一致性和可靠性。類比四邊形的內(nèi)角和是360°的證明方法，讓學(xué)生選擇自己最喜歡的方法，探究五邊形、六邊形...,n邊形的內(nèi)角和，同時(shí)指出“不論這個(gè)點(diǎn)取在哪，都是將多邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和”?！斑@個(gè)點(diǎn)到底選在哪最好呢？”教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了比較，并告訴學(xué)生“過(guò)頂點(diǎn)引對(duì)角線”是以后經(jīng)常用到的方法。在探索多邊形內(nèi)角和公式的過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了觀察、猜想、計(jì)算、推理和驗(yàn)證，在相互啟發(fā)中自然而然地培養(yǎng)了探究能力。教師引導(dǎo)學(xué)生用不同的分割方法進(jìn)行驗(yàn)證的探究過(guò)程，學(xué)生積極思考，大膽猜想，推理能力得到了有效的培養(yǎng)，這源于教師對(duì)教材的準(zhǔn)確把握和深刻理解，源于教師對(duì)學(xué)生的理解與尊重。

三、從“應(yīng)用”看，關(guān)注示范引領(lǐng)與興趣激發(fā)，技術(shù)運(yùn)用恰到好處

課本例題是經(jīng)過(guò)專家們反復(fù)論證、精心設(shè)計(jì)的，具有針對(duì)性和典型性，是學(xué)生獲取知識(shí)、發(fā)展能力的重要載體。例1宋老師給出解題的規(guī)范板書，發(fā)揮了例題的示范作用。選用的練習(xí)突出基礎(chǔ)性和層次性，并運(yùn)用技術(shù)給予了及時(shí)評(píng)價(jià)和反饋。

例2是求六邊形的外角和，而探索多邊形外角和正是由此開(kāi)始，多邊形外角和是作為多邊形內(nèi)角和公式的一個(gè)拓展應(yīng)用，仍按照從特殊到一般的研究方法，宋老師用三個(gè)有關(guān)聯(lián)的具有遞進(jìn)關(guān)系的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考，師生一起從六邊形的局部到整體尋找關(guān)系：“六邊形的外角和”是用“六個(gè)平角”減去“六邊形的內(nèi)角和”，得到六邊形外角和為360°。接著學(xué)生思考：若將“6”換為“n”，可以得到同樣結(jié)果嗎？進(jìn)行類比遷移，自然得到了：“n邊形的外角和”是用“n個(gè)平角”減去“n邊形的內(nèi)角和”，有相同結(jié)果360°。在這里宋老師做了強(qiáng)調(diào)，n邊形的內(nèi)角和（n-2）·180°是隨著n的變化而變化的，而在這個(gè)過(guò)程中多邊形的外角和是保持不變的。值得一提的是，在幫助學(xué)生理解為什么多邊形的外角和等于360°這個(gè)問(wèn)題上，宋老師巧妙地利用了信息技術(shù)的動(dòng)態(tài)效果和直觀性，信息技術(shù)運(yùn)用掐時(shí)掐點(diǎn)、非常有效。

四、從“小結(jié)”看，注重過(guò)程與結(jié)果相結(jié)合，構(gòu)建知識(shí)體系

小結(jié)新穎別致，采用問(wèn)題清單的形式，以問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生自我反思。提出四個(gè)問(wèn)題：（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？（2）我們是怎樣得到多邊形內(nèi)角和公式的？（3）在探索多邊形內(nèi)角和公式的過(guò)程中，連接對(duì)角線起到什么作用？（4）n邊形的外角和與n有關(guān)嗎？為什么？不僅引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，更關(guān)注內(nèi)容所反映的思想方法以及如何展開(kāi)思考，這樣的小結(jié)是過(guò)程與結(jié)果相結(jié)合的，注重了數(shù)學(xué)基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的落實(shí)。同時(shí)，也把如何發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題滲透其中，實(shí)現(xiàn)了“四基”“四能”的融合，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的有力舉措。宋老師的用心之處還體現(xiàn)在學(xué)生完成問(wèn)題清單后，又從單元的視角以框架形式幫助學(xué)生建立起知識(shí)間的聯(lián)系，形成知識(shí)脈絡(luò)，這個(gè)很重要。問(wèn)題商榷與建議：第一，點(diǎn)在多邊形外部的情形，課上沒(méi)有“生成”，宋老師讓學(xué)生留作課下思考，這種情形是否能得到相同的結(jié)論？是否需要分類討論？值得研究。第二，表格中的多邊形是從四邊形開(kāi)始的，n邊形中n的取值是不小于3的整數(shù)，建議考慮三角形，還有，可以考慮再多放幾個(gè)多邊形，如七邊形、八邊形，給學(xué)生一個(gè)想象的空間，增強(qiáng)學(xué)生的幾何直觀思維。

整節(jié)課上，內(nèi)容的展開(kāi)運(yùn)用了類比、推廣的方法，以及把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題、化未知為已知的思想方法等。教師引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)從特殊到一般的研究幾何對(duì)象的基本思路，從課程的整體結(jié)構(gòu)上、知識(shí)的內(nèi)在邏輯上提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生面對(duì)抽象的幾何對(duì)象，從特殊的具體對(duì)象進(jìn)行探索，這樣的設(shè)計(jì)呈現(xiàn)給學(xué)生的是一個(gè)宏觀的數(shù)學(xué)視野，當(dāng)學(xué)生獨(dú)立面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)，能遷移、類比地去研究，學(xué)生從本節(jié)課中積累的數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn)，也會(huì)潛移默化地形成和發(fā)展自己的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。