孫 凱

（江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學(xué)校）

以正方形網(wǎng)格為背景的試題是近幾年比較熱門的中考新題型，其具有立意新穎、綜合性強(qiáng)、思維含量高的特點.這類試題從考查形式層面來看，主要是畫圖操作和計算求解兩種形式；從考查知識層面來看，主要涉及勾股定理、銳角三角函數(shù)、全等三角形、相似三角形、圓等知識；從考查技能層面來看，主要是考查學(xué)生的計算、作圖、推理等能力；從考查數(shù)學(xué)思想方法層面來看，表現(xiàn)為數(shù)形結(jié)合、模型思想、遷移化歸等方面；從考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)層面來看，主要體現(xiàn)在直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)上.因此，這類試題對學(xué)生的觀察、分析、建模、化歸等能力的要求較高，在中考復(fù)習(xí)中應(yīng)引起重視.筆者曾在區(qū)教研室組織的中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)活動中開設(shè)了一節(jié)“網(wǎng)格型計算問題”的中考二輪專題復(fù)習(xí)課，教學(xué)效果良好.現(xiàn)整理成文，以期與各位同仁交流探討.

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

內(nèi)容：網(wǎng)格型計算問題.

內(nèi)容解析：所謂網(wǎng)格，是指由若干個單位長度為1的正方形（或菱形）組成的網(wǎng)格圖.蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》中有很多以網(wǎng)格為背景的數(shù)學(xué)問題.例如，利用網(wǎng)格的特殊性，用無刻度的直尺畫已知直線的平行線、垂線，在網(wǎng)格中畫出將已知圖形平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、位似后的對應(yīng)圖形，等等.網(wǎng)格的特殊性表現(xiàn)為直觀性、操作性、內(nèi)隱性，這種特性有利于考查學(xué)生的識圖、操作、分析、歸納、想象、探究等能力，因此受到中考命題者的青睞.以網(wǎng)格為背景的中考試題，多以計算的形式呈現(xiàn)，如求線段的長度或求角的銳角三角函數(shù)值等.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

目標(biāo)：（1）認(rèn)識網(wǎng)格的特殊性，正確進(jìn)行畫圖操作，在操作中體驗網(wǎng)格的特殊性；（2）應(yīng)用網(wǎng)格的特點，會合理建構(gòu)直角三角形解決實際問題，在主動完成學(xué)習(xí)任務(wù)的活動過程中，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)能力.

目標(biāo)解析：在有關(guān)網(wǎng)格型中考試題的教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生不能巧妙地利用網(wǎng)格進(jìn)行分析、操作、化歸，面對待解決的問題，常常出現(xiàn)束手無策的現(xiàn)象.研究發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致這一現(xiàn)象的本質(zhì)原因是學(xué)生對網(wǎng)格的特殊性認(rèn)識不足，無法將題目中提供的網(wǎng)格信息與待解決的問題建立有效關(guān)聯(lián)，無法突破認(rèn)知障礙，導(dǎo)致學(xué)習(xí)困惑.網(wǎng)格型計算問題作為中考二輪復(fù)習(xí)的一個專題，其關(guān)鍵詞有兩個，分別是“網(wǎng)格”和“計算”.顯然，解決網(wǎng)格型計算問題的首要任務(wù)是認(rèn)識網(wǎng)格.只有充分認(rèn)識并理解網(wǎng)格的特殊性，才能解決好計算問題，而計算問題的關(guān)鍵是求線段長度，能求出網(wǎng)格中線段的長度，圖形的相關(guān)問題也會迎刃而解.因此，本節(jié)課通過認(rèn)識網(wǎng)格、操作體驗、應(yīng)用網(wǎng)格、網(wǎng)格拓展等環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中完成學(xué)習(xí)任務(wù)，實現(xiàn)引思解惑、提升能力、立德樹人的復(fù)習(xí)目的.

三、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生對網(wǎng)格有一定的認(rèn)知基礎(chǔ)，對網(wǎng)格中數(shù)量、位置關(guān)系有初步認(rèn)識，能借助網(wǎng)格解決較為簡單的畫圖操作類任務(wù)，但對于復(fù)雜情境下的圖形問題，應(yīng)對能力不足，利用網(wǎng)格分析和解決問題的策略欠缺.其中部分學(xué)生具備整體上的建構(gòu)意識，會嘗試性地建構(gòu)直角三角形解決相關(guān)問題.但是在如何建構(gòu)合適的直角三角形時，常常遇到困惑，難以有效突破認(rèn)知障礙.

四、教學(xué)過程設(shè)計

1.認(rèn)識網(wǎng)格

問題1：如圖1，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1.從幾何圖形的視角，說一說從網(wǎng)格上能獲取哪些直觀的信息？

圖1

追問：還能獲取哪些間接的信息？

【設(shè)計意圖】網(wǎng)格問題為幾何直觀提供了有效載體.呈現(xiàn)正方形網(wǎng)格，以問題引導(dǎo)學(xué)生從直觀上認(rèn)識正方形網(wǎng)格上的外顯信息，如點（格點）、線（平行線、垂線）、面（正方形、矩形）等，并以單個正方形的特殊性作為起點，引領(lǐng)學(xué)生感悟正方形網(wǎng)格特殊性的本質(zhì)屬性.再通過追問，誘發(fā)學(xué)生對網(wǎng)格中內(nèi)隱信息的思考，如格點線段（對角線、相交線、平行線）、格點三角形（直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形）等，以幫助學(xué)生從外顯與內(nèi)隱兩個層面進(jìn)一步認(rèn)識正方形網(wǎng)格的特殊性，解決“什么是網(wǎng)格”的首要問題，為后續(xù)計算的探索做好充分的準(zhǔn)備.

2.操作體驗

問題2：如圖2，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1.

（1）任意連接兩個格點，可以得到一些線段，并說出它的長度；

（2）在正方形網(wǎng)格中，畫出一個直角三角形，使其三條邊長都是無理數(shù)；

（3）在正方形網(wǎng)格中，畫出一個平行四邊形，使其四條邊長都是無理數(shù).

圖2

【設(shè)計意圖】網(wǎng)格背景下的作圖，給了學(xué)生多角度探究的空間.根據(jù)具體的學(xué)習(xí)任務(wù)，動手操作，體驗正方形網(wǎng)格中的格點線段（內(nèi)隱型）的求解方法，感受直角三角形在網(wǎng)格計算中的重要作用.在正方形網(wǎng)格中畫出滿足條件的直角三角形和平行四邊形，意在讓學(xué)生回顧在網(wǎng)格中建構(gòu)垂直與平行的基本方法，實現(xiàn)在操作體驗中認(rèn)識網(wǎng)格、理解網(wǎng)格、掌握方法的目的.

3.應(yīng)用網(wǎng)格

問題3：如圖3，在正方形網(wǎng)格中，每個小方格單位長度為1，點A，B在格點上，在網(wǎng)格圖找出格點C.

圖3

（1）使△ABC是以AB為腰的等腰三角形；

（2）使△ABC的面積為2個平方單位.

【設(shè)計意圖】借助問題驅(qū)動學(xué)生自主完成找格點的學(xué)習(xí)任務(wù)，培養(yǎng)分類討論思想，使學(xué)生學(xué)會有序地分析與思考，有條理地表達(dá)與展示.在自主參與的操作活動中，體會網(wǎng)格中的平行線、矩形對角線的使用價值，學(xué)會運(yùn)用輔助線分析和解決問題.

問題4：如圖4，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，點A，B，C均為格點.（教師先讓學(xué)生試著提出一些計算的問題并解決，然后再出示以下問題.）

圖4

（1）試畫出△ABC外接圓的圓心，并寫出外接圓的半徑r的值為______.

（2）求sin∠ACB和tan∠CAB的值.

（3）將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1B1C，試畫出△A1B1C.

（4）若用扇形CAA1圍成一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面半徑長為______.

【設(shè)計意圖】預(yù)設(shè)學(xué)生提出的計算問題為求△ABC的周長、面積，求sin∠ACB，畫△ABC的平移、旋轉(zhuǎn)后的圖形等.通過采用開放性的問題設(shè)計，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，深化對網(wǎng)格型計算問題的認(rèn)識.網(wǎng)格型計算問題涉及的數(shù)學(xué)知識比較多，既沒辦法也沒必要逐個呈現(xiàn).在教學(xué)中，教師可以設(shè)計一些具有代表性的計算問題，讓學(xué)生解決具有典型性、關(guān)聯(lián)性的關(guān)鍵問題即可.例如，此題第（2）小題，要求sin∠ACB的值，需要找直角三角形，此題中的直角三角形比較直觀，相對簡單.接著求tan∠CAB時，沒有直接可以用的直角三角形，此時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考怎樣建構(gòu)直角三角形（格點直角三角形），同時，思考為什么這樣建構(gòu)，還可以怎樣建構(gòu)，并思考非格點直角三角形的建構(gòu)方法，學(xué)會求網(wǎng)格中銳角三角函數(shù)（線段）的通解、通法.

問題5：如圖5，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，D都在格點上，AB，CD相交于點O.

求：（1）tan∠AOD的值為______；

（2）∠BAC+∠EFG的值為______.

圖5

【設(shè)計意圖】問題4中，三角形兩個銳角的頂點都在格點上，而此題中∠AOD的頂點不是格點，求tan∠AOD的值的難度更大.此時，學(xué)生需要解決兩個問題：一是把∠AOD的頂點轉(zhuǎn)移至格點上；二是圍繞∠AOD建構(gòu)直角三角形.教師引導(dǎo)學(xué)生思考：如何轉(zhuǎn)移？為什么這樣轉(zhuǎn)移？還可以怎樣轉(zhuǎn)移？同時，鼓勵學(xué)生嘗試不同的轉(zhuǎn)移方案及構(gòu)造直角三角形的方法，最終歸納為線段平行和垂直的本質(zhì)問題.此題第（2）小題是關(guān)于兩個角的拼合問題，意在引導(dǎo)學(xué)生思考“面”的平移方法.

4.網(wǎng)格拓展

問題6：如圖6，由形狀、大小相同的菱形組成網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點.已知菱形的一個角（∠O）為60°，點A，B，C都在格點上，則tan∠ABC的值為____.

圖6

【設(shè)計意圖】網(wǎng)格型計算問題多以正方形網(wǎng)格為背景，此處把學(xué)習(xí)任務(wù)拓展至菱形網(wǎng)格，使問題更具挑戰(zhàn)性.學(xué)生在問題解決過程中，需要掌握解決網(wǎng)格型計算問題的一般策略.

5.小結(jié)思考

問題7：想一想，解決網(wǎng)格型計算問題的關(guān)鍵是什么？試以邊長為1的正方形網(wǎng)格為背景（如圖7），創(chuàng)編一道計算問題.

圖7

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生回顧整節(jié)課的學(xué)習(xí)流程，鼓勵學(xué)生進(jìn)行反思性總結(jié)，聚焦計算網(wǎng)格問題的關(guān)鍵點，即求直角三角形中的線段長，解決了關(guān)鍵點，其他計算問題都可以順利完成.最后讓學(xué)生經(jīng)歷正方形網(wǎng)格背景計算問題的創(chuàng)編過程，真正把“學(xué)為中心”的教學(xué)理念落到實處，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，讓不同層次的學(xué)生在原有認(rèn)知基礎(chǔ)上都有不同程度的發(fā)展.

6.檢測反饋

略.

五、教學(xué)反思

1.立足學(xué)情，引思解惑助重構(gòu)

專題復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計應(yīng)做到“眼里有學(xué)生”，也就是常說的“學(xué)為中心”的教學(xué)理念.以網(wǎng)格型計算問題作為專題復(fù)習(xí)的主題，緣起于2017年江蘇省無錫市數(shù)學(xué)中考試卷第18題，學(xué)生在解決這個問題時感到困惑，束手無策，這引起了筆者的注意.

題目（2017年江蘇·無錫卷第18題）如圖8，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，D都在格點上，AB，CD相交于點O，則tan∠BOD的值為____.

分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生主要困惑于如何轉(zhuǎn)移∠BOD，以及轉(zhuǎn)移后如何構(gòu)造直角三角形兩個關(guān)鍵問題上.另外，兩條比較長的格點線段在一定程度上干擾了學(xué)生的思考，導(dǎo)致大部分學(xué)生難以正確解答此題.基于以上學(xué)情分析，筆者以網(wǎng)格型計算問題為專題，從低起點的認(rèn)識網(wǎng)格活動開始，引導(dǎo)學(xué)生逐步經(jīng)歷操作體驗、應(yīng)用網(wǎng)格等活動環(huán)節(jié)，呈現(xiàn)螺旋上升式的教學(xué)設(shè)計，使學(xué)生從低階思維向高階思維發(fā)展，鼓勵學(xué)生反思解決問題的策略，挖掘網(wǎng)格型計算問題的內(nèi)在屬性，幫助學(xué)生重構(gòu)知識結(jié)構(gòu)，把握網(wǎng)格型計算問題的數(shù)學(xué)本質(zhì).

圖8

2.立意素養(yǎng)，立德樹人促成長

網(wǎng)格型計算問題的專題復(fù)習(xí)涉及的知識點比較分散，教師不可能講的面面俱到.專題復(fù)習(xí)課不是對知識點的簡單回顧與堆砌，也不是大量練習(xí)的組合再現(xiàn)，這會使專題復(fù)習(xí)課缺乏人文性和教育性，索然無味.網(wǎng)格型計算問題的教學(xué)設(shè)計應(yīng)立意于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，努力使學(xué)生在完成專題學(xué)習(xí)任務(wù)的過程中，通過觀察、想象、操作、歸納、分析等活動，發(fā)展學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，實現(xiàn)立德樹人的教學(xué)目的.例如，在問題5的教學(xué)中，通過讓學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立思考、主動操作、積極展示等活動過程，探索“角”轉(zhuǎn)移的不同方法及路徑，一題多解，方法靈活多樣，最終實現(xiàn)方法歸一，即都要通過建構(gòu)直角三角形解決邊、角計算的問題，整個過程有效培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).又如，在整節(jié)課的計算問題解決過程中，學(xué)生明晰運(yùn)算對象，探究運(yùn)算思路，依據(jù)勾股定理、相似三角形、銳角三角函數(shù)等知識，求得運(yùn)算結(jié)果的過程，就是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的過程.

總之，網(wǎng)格型計算問題的專題復(fù)習(xí)課是為了解決學(xué)生的困惑而開設(shè)的.在學(xué)生經(jīng)歷認(rèn)識網(wǎng)格、操作體驗、理解網(wǎng)格，并學(xué)會運(yùn)用網(wǎng)格解決實際問題的復(fù)習(xí)過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，落實立德樹人的復(fù)習(xí)目標(biāo).