李 健

（浙江省臨海市第五中學(xué)）

巴甫洛夫?qū)W派認(rèn)為：學(xué)習(xí)就是形成暫時聯(lián)系，暫時聯(lián)系就是聯(lián)想，就是獲得有關(guān)事物關(guān)系的知識.當(dāng)進(jìn)行新的學(xué)習(xí)時，利用知識，利用已獲得的諸聯(lián)系，這就是理解.因此，知識的學(xué)習(xí)和研究是離不開聯(lián)想的.但在平時的教學(xué)中，我們經(jīng)常遇到學(xué)生面對一道問題時束手無策，作為教師應(yīng)該做好解題的引導(dǎo)作用.但如何更加自然地引導(dǎo)學(xué)生的解題過程，而不是讓他們?nèi)ケ黄冉邮芙處煹挠^點？筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)解題的思考過程實質(zhì)上是已知與未知之間一系列聯(lián)想、整合的過程，因此通過設(shè)置“問題串”啟發(fā)學(xué)生利用聯(lián)想，能夠比較自然地求解問題.

一、例題呈現(xiàn)

題目如圖1，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC，D為AC的中點，AE⊥BD于點E，延長AE交BC于點F.求證：∠ADB=∠CDF.

圖1

二、“聯(lián)想法”思維過程

思維過程如圖2所示.

圖2

1.由條件聯(lián)想

（1）由 ∠BAC=90°，AB=AC，可以聯(lián)想得出新的結(jié)論①：△ABC是等腰直角三角形.

（2）由點D是AC中點，可以聯(lián)想得出新的結(jié)論②：AD=DC.

（3）由AE⊥BD，可以聯(lián)想得出新的結(jié)論③：∠AED=∠AEB=∠BEF=∠DEF=90°.

……

聯(lián)想出這些新的結(jié)論后，我們可能會發(fā)現(xiàn)很難再繼續(xù)聯(lián)想下去，并且聯(lián)想出來的新的結(jié)論也是分散、凌亂的，能否幫助我們求證問題呢？我們還需要從結(jié)論展開聯(lián)想.

2.由結(jié)論聯(lián)想

要證明“∠ADB=∠CDF”，我們學(xué)過哪些方法？這個問題很容易讓我們聯(lián)想到如下方案.

方案1：全等三角形可以證明角相等；

方案2：通過計算角度可以判斷角度相等；

方案3：利用相似三角形可以證明角相等；……

結(jié)合“由條件聯(lián)想”得出的結(jié)論，我們可以確定“利用全等三角形”“利用相似三角形”的方案更具有可行性.但是觀察圖形，我們會發(fā)現(xiàn)圖中缺少包含∠ADB和∠CDF的全等三角形和相似三角形，因此我們會想到構(gòu)造這樣的三角形，但是如何構(gòu)造比較合理呢？這給解題又造成了困擾，接下來讓我們再結(jié)合圖形模型展開聯(lián)想.

3.由模型聯(lián)想

仔細(xì)觀察圖形，其中存在著一些基本模型，它們可以引導(dǎo)我們快速聯(lián)想出一些新的結(jié)論.

模型1：如圖3，是初中幾何中常見的一個圖形，通過聯(lián)想得出新的結(jié)論.

新的結(jié)論④：∠DAE=∠ABE，∠ADE=∠BAE.

新的結(jié)論⑤：△ABD∽△EBA∽△EAD.

模型2：如圖4，根據(jù)等腰直角三角形的特征，作斜邊上的高，發(fā)現(xiàn)新的結(jié)論.

新的結(jié)論⑥：△ABG和△AGC都是等腰直角三角形.

新的結(jié)論⑦：∠BAG=∠GAC=∠B=∠C=45°.

圖3

圖4

4.以問題為目標(biāo)，反思整理

面對前面獲得的大量信息，我們可能會感到迷茫，如何將這些信息有效組合起來求解問題？這個環(huán)節(jié)需要我們將這些聯(lián)想得到的條件、求解方案和模型進(jìn)行整理、重組，以問題為目標(biāo)展開反思，避免解題過程中出現(xiàn)偏離問題的現(xiàn)象.我們可以通過自問的形式強化這個環(huán)節(jié).

求解這個問題還需要哪些條件（方法）？如何實現(xiàn)？

我們熟悉這個問題嗎？聯(lián)想到的條件與這個問題有怎樣的聯(lián)系？

這個條件（模型）對這個問題起到什么作用？

……

三、解法展示

解法1：由模型2自然地添加輔助線.如圖5，作AG平分∠BAC，交BD于點G，

因為∠BAC=90°，

所以∠CAG=∠BAG=45°.

因為∠BAC=90°，AC=AB，

所以∠C=∠ABC=45°.

所以∠C=∠BAG.

由模型1可以寫出下面的證明：

因為AE⊥BD，

所以∠ABE+∠BAE=90°.

因為∠CAF+∠BAE=90°，

所以∠CAF=∠ABE.

因為AC=AB，

所以△ACF≌△BAG.

反思：求解問題還需要什么條件？要用什么方法？自然地引導(dǎo)我們進(jìn)入方案1，明確證明的目標(biāo)（△AGD≌△CDF）.

所以CF=AG.

因為∠C=∠DAG=45°，CD=AD，

所以△CDF≌△ADG.

所以∠CDF=∠ADB.

證明結(jié)束后，教師可以借助圖形提出問題：這個圖形（如圖5）中，還包含了哪些我們熟悉的模型嗎？它能為我們提供什么結(jié)論？

這個問題促使學(xué)生再次觀察圖形，歸納出模型3：對頂三角形模型（如圖6），可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論：∠HAE=∠EBH，△AEG∽△HBG.學(xué)生可以將這個模型納入到模型體系中，為后續(xù)的解題提供幫助.

圖5

圖6

解法2：利用模型1和方案1，可以添加輔助線，延長AF，經(jīng)過點C作AC的垂線交AF于點I（如圖7），這條輔助線可以幫助我們構(gòu)造出△ABD≌△CAI，從而證明∠ADB=∠AIC.為我們繼續(xù)證明∠CDF=∠ADB建起一座橋梁，過程如下.

圖7

因為AE⊥BD，

所以∠ABE+∠BAE=90°.

因為∠CAF+∠BAE=90°，

所以∠CAF=∠ABE.

因為AB=AC，∠BAD=∠ACI，

所以△ABD≌△CAI.

所以∠ADB=∠AIC.

反思：現(xiàn)在要證明∠CDF=∠ADB，只要證明∠AIC=∠CDF.結(jié)合圖形，實現(xiàn)△DFC≌△IFC即可.

由△ABD≌△CAI，得AD=CI.

因為點D是AC的中點，

所以AD=DC=CI.

因為AB=AC，∠BAC=90°，

所以∠ACB=45°.

所以∠FCI=∠ACB=45°.

已知FC=FC，

所以△FCD≌△FCI.

所以∠AIC=∠CDF=∠ADB.

解法3：仔細(xì)觀察模型1、模型2，會發(fā)現(xiàn)問題中的∠ADB與∠BAE相等，而∠BAF卻被分割成兩個角的和（45°+∠HAF），因此我們自然想到把∠FDC也分割成兩個角，如果一個角是45°，另一個角與∠FAH相等，由此問題得證.運用方案3構(gòu)造出相似三角形可以實現(xiàn)目標(biāo)，如圖8，過點A，D分別作BC的垂線，交BC于點H，M.

圖8

反思：現(xiàn)在要證明∠ADB=∠CDF，只要證明∠BAE=∠CDF=45°+∠HAF（∠FDM）.結(jié)合圖形，實現(xiàn)△AFH∽△DFM即可.

已知∠AHF=∠DMF=90°，

所以△AFH∽△DFM.

所以∠HAF=∠FDM.

因為∠ADB=∠BAE=∠BAH+∠HAF=45°+∠HAF，∠CDF=∠CDM+∠FDM=45°+∠FDM，

所以∠ADB=∠CDF.

四、總結(jié)歸納

教師指導(dǎo)學(xué)生對上述三種解法進(jìn)行相互交流，針對不同聯(lián)想的角度進(jìn)行點評和補充.

你是如何自然地想到這種解法？

為什么要添加這條輔助線？你是自然地想到的嗎？

遇到這個問題時，我們還會自然想到與它有關(guān)的哪些問題？

這個圖形中還包含了哪些常見的模型？它可以解決怎樣的問題？

如圖9，將△AFC逆時針旋轉(zhuǎn) 90°，得到△AF′B.就構(gòu)造出一個等腰三角形AF′F與一個Rt△F′BF.由此我們又可以自然地聯(lián)想出許多結(jié)論.

……

圖9

這樣的總結(jié)不僅使學(xué)生掌握幾種解決數(shù)學(xué)問題的方法，更是培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想能力，使他們的知識體系和解題方法得到了擴充.思維更加靈活，聯(lián)想更加豐富.

五、教學(xué)反思

1．“聯(lián)想法”是基于學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知的自然驅(qū)動

聯(lián)想法解題是基于現(xiàn)有認(rèn)知經(jīng)驗的基礎(chǔ)，對問題和條件的自然生長和構(gòu)建，然后進(jìn)行合理整合，分階段確立目標(biāo)和實現(xiàn)目標(biāo)化歸，直至問題求解.學(xué)生能熟練掌握這種解題方法，要求教師在教學(xué)中注重完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)化.例如，在學(xué)習(xí)全等（相似）三角形時，教師幫助學(xué)生構(gòu)建全等與相似之間特殊與一般的關(guān)系，它們的性質(zhì)都可以證明對應(yīng)角相等，那么學(xué)生從結(jié)論聯(lián)想，自然會想到構(gòu)造全等（相似）三角形；學(xué)習(xí)余角的知識時，教師能夠結(jié)合圖1，讓學(xué)生探究角度之間的關(guān)系，將這個關(guān)系納入到他們的知識系統(tǒng)中，在此題目中，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)這個模型，并由此聯(lián)想出一系列結(jié)論∠DAE=∠ABE，∠ADE=∠BAE，△ABD∽△ABE∽△ADE，促進(jìn)學(xué)生對問題的思考.知識越系統(tǒng)，經(jīng)驗越豐富，聯(lián)想就越深入、越廣泛，解題也就越自然.

2.抓住問題本質(zhì)，聯(lián)想順應(yīng)自然

章建躍博士曾說：要逐步養(yǎng)成從基本概念、基本原理及其聯(lián)系性出發(fā)思考和解決問題的習(xí)慣，這才是發(fā)展思維能力的正道.例如，題目中求證∠ADB=∠CDF，其本質(zhì)是通過構(gòu)造“全等三角形”（△CDF≌△ADG或△FCD≌△FCI）或“相似三角形”（△AFH∽△DFM），利用其性質(zhì)得出對應(yīng)角相等，因此如何構(gòu)造全等與相似就成了解題思維的核心，我們要結(jié)合題目和模型中提供的角相等、邊相等，對應(yīng)邊成比例等條件，再對這些信息進(jìn)行整合重組，使問題逐步向最基本的概念及性質(zhì)、原理、方法轉(zhuǎn)化，所以教師在分析問題時要抓住問題的本質(zhì)和核心，歸納總結(jié)出通性、通法，使得解題聯(lián)想的過程自然流暢.

3．重視“聯(lián)想法”的訓(xùn)練，使其自然生成

“聯(lián)想法”是一種解題的思維方式，離不開教師在平時的解題教學(xué)中進(jìn)行滲透，通過設(shè)問實現(xiàn)強化，鼓勵學(xué)生分析、求解問題時展示聯(lián)想的思維過程.

例如，文中多次通過提問和自問的方式去促使聯(lián)想的訓(xùn)練.

求解這個問題還需要哪些條件（方法）？如何實現(xiàn)？

我們熟悉這個問題嗎？聯(lián)想到的條件與這個問題有怎樣的聯(lián)系？

這個條件（模型）對這個問題起到什么作用？

遇到問題時，我們還會自然想到與它有關(guān)的哪些問題？

通過加強聯(lián)想訓(xùn)練，使其成為一種思維習(xí)慣，從而實現(xiàn)自然生成的目的.

總之，數(shù)學(xué)解題不能只拘泥于“怎么解”，還應(yīng)關(guān)注解題的方法和策略，不能只拘泥技巧的運用，還應(yīng)該歸納問題的通性、通法，不能拘泥單純知識的講授，還應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)知識的整體結(jié)構(gòu).唯有如此，我們才能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，將培養(yǎng)他們的解題能力落到實處.