李國凱

（安徽省合肥市廬陽區(qū)教研室）

我國著名數(shù)學家華羅庚教授說過：“就數(shù)學本身而言，是壯麗多彩、千姿百態(tài)、引人入勝的……，數(shù)學美應(yīng)是數(shù)學中能帶給人愉悅的東西.”數(shù)學之美充滿了整個世界，如圖形的對稱、布局的合理、形式的整齊、表達的簡潔，無不體現(xiàn)出數(shù)學中的美.

對學生進行數(shù)學美的教育，培養(yǎng)學生欣賞美的能力，有助于學生樹立學習信心，激發(fā)學習興趣，挖掘?qū)W習潛能，促進學生思維的發(fā)展，使學生形成積極的情感態(tài)度和價值觀，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力.

因此，在教學中，教師要善于挖掘和運用教材中隱含的數(shù)學美，充分展示其獨特的本質(zhì)特征，使學生在獲取知識的同時，激發(fā)學生濃厚的學習興趣，進而喚起學生的審美體驗，體會數(shù)學教學的美學價值.

一、在公式、規(guī)律的推導中，感知數(shù)學語言的簡潔美

在為美國發(fā)射的去茫茫太空中尋覓地球外文明的“先驅(qū)者號飛船”（探測器）征集所攜帶的禮物時，華羅庚教授曾建議帶上數(shù)學中用以表示勾股定理（畢達哥拉斯定理）的簡單、明快的數(shù)形圖（如圖1），它似乎應(yīng)被宇宙所有文明生物所理解.

圖1

數(shù)學語言就是這么神奇，不需要煩瑣的文字表述，卻有“此時無聲勝有聲”的作用.教學中，體現(xiàn)數(shù)學語言簡潔美的素材有很多，如公式的表達.教師要善于抓住這些美學素材，讓學生感知到數(shù)學語言的神奇與魅力.

例1（1）觀察如圖2所示的圖形與等式的關(guān)系，并填空.

圖2

（2）觀察圖3，根據(jù)（1）中結(jié)論，計算圖中黑球的個數(shù)，用含有n的代數(shù)式填空.

1+3+5+…+(2n-1)+( )+(2n-1)+…+5+3+1=____．

圖3

教學過程設(shè)計如下.

環(huán)節(jié)1：觀察.

第（1）小題中，圖2左側(cè)部分是由相同的圓點拼成的三角形和正方形，對比發(fā)現(xiàn)，雖形狀不同，但圓點的個數(shù)相同，進而可以用等式來表示圓點個數(shù)，也就是圖2右側(cè)部分等式所表達的含義.

環(huán)節(jié)2：類比.

根據(jù)觀察圖2發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，引導學生類比寫出1+3+5+7=42；

環(huán)節(jié)3：推廣.

根據(jù)圖2所給規(guī)律，可知第n個圖中左右兩側(cè)圓點的個數(shù)變化，得出等式1+3+5+7+…+(2n-1)=n2.

教學進行到這里，只是得出了所要求的結(jié)論，教師還需及時引導學生用文字語言描述一下圖中圓點個數(shù)的變化規(guī)律，進而體會用文字語言表述的內(nèi)容，也可以用這一簡單的等式來表示，體會數(shù)學語言的簡潔之美.

環(huán)節(jié)4：證明.

若要證明1+3+5+7+…+(2n-1)=n2，可以引導學生采用倒位相加法來證明這個結(jié)論，為解決第（2）小題做鋪墊.

環(huán)節(jié)5：解決問題.

解決第（2）小題的方法較多，現(xiàn)提出兩種僅供參考.

方法1：可將圖3中的黑球分三部分，第1行到第n行，第n+1行，第n+2行到第2n+1行，再結(jié)合第（1）小題的規(guī)律即可得出結(jié)論．

方法2：引導學生發(fā)現(xiàn)圖3是由兩個正方形點數(shù)疊加而成（如圖4），從而可以直接得出1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+…+5+3+1=(n+1)2+n2.

圖4

【評析】這是一道數(shù)形結(jié)合的找規(guī)律題，用數(shù)去表達圖形中的規(guī)律，體現(xiàn)了圖形語言和符號語言的簡潔之美.另外，方法2的觀察角度之巧，思維方法之妙，無不體現(xiàn)圖形疊合之美，以及數(shù)學符號的簡潔美.雖然方法簡潔、簡單，但是內(nèi)涵豐富，這正是數(shù)學的迷人所在.

二、在運動變化中，探究幾何圖形的動態(tài)美

動態(tài)幾何問題一般是以幾何圖形為載體，以函數(shù)為背景，以運動變化為主線，蘊涵多種解題思想的一種題型，主要包括動點、動線、動形等方面的問題.這類問題往往集幾何、數(shù)與式、方程與函數(shù)于一身，數(shù)形結(jié)合、動中有靜、靜中有動，能較好地鍛煉學生的空間想象能力與演繹推理能力，具有極強的綜合性.

在初中幾何教學中，有很多可以進行拓展與推廣的重要結(jié)論.在教學中，教師要引導學生去發(fā)現(xiàn)動點或者動線在運動變化過程中某些不變的規(guī)律或結(jié)論，讓學生體驗動態(tài)圖形的奧秘與美感，進一步培養(yǎng)學生數(shù)學學習的樂趣.

例2如圖5，在矩形ABCD中，點P是矩形內(nèi)一點，連接PA，PB，PC，PD，則有結(jié)論：PA2+PC2=PB2+PD2.

圖5

圖6

解析：如圖6，過點P分別作AB和BC的平行線，然后利用勾股定理得出PA2+PC2=a2+b2+c2+d2，PB2+PD2=a2+b2+c2+d2，所以PA2+PC2=PB2+PD2.

此時只是解決了問題，沒有挖掘出題目中的美學素材.教師要引導學生發(fā)現(xiàn)結(jié)論的一般性，于是就有了以下的三個變式.

變式1：如圖7，移動點P，使點P移動到矩形ABCD的某一邊上，那么結(jié)論PA2+PC2=PB2+PD2還成立嗎？

圖7

圖8

變式2：如圖8，拖動點P，使點P移動到矩形ABCD之外，那么結(jié)論PA2+PC2=PB2+PD2還成立嗎？

變式3：如圖9，拖動點P，使點P移動到矩形ABCD所在平面之外，那么結(jié)論PA2+PC2=PB2+PD2還成立嗎？

圖9

顯然，可以證明結(jié)論都是正確的.

【評析】把點P從矩形內(nèi)部移動到矩形邊上，再移動到矩形所在的平面上，進而把點P拉起到立體空間，由二維到三維，體現(xiàn)圖形變化但規(guī)律不變的研究思路，是初、高中內(nèi)容銜接方面一個很好的案例.

三、在問題提出與解決過程中，探究數(shù)學規(guī)律的奇異美

學生學習中，經(jīng)常會遇到一些疑難問題.此時，教師要引導學生積極思考，通過合情推理去發(fā)現(xiàn)問題，進而提出問題、分析問題，并解決問題.學生在研究數(shù)與形的內(nèi)在規(guī)律時要學會合理運用轉(zhuǎn)化思想，學會思考特殊與一般之間的邏輯關(guān)系，學會欣賞數(shù)學變化規(guī)律的奇異性，進而形成美的體驗.

例3如圖10，在△ABC中，AD是邊BC的中線，O是AD上的中點，過點B，C分別作BM∥AC，CN∥AB，過點O作一條直線分別交邊AB，AC于點F，E，交BM，CN于點H，G.求證：FH+EG=2EF.

圖10

環(huán)節(jié)1：化繁為簡，體現(xiàn)數(shù)學等式的結(jié)構(gòu)美和數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化美.

將等式FH+EG=2EF兩邊同時除以EF，可以得因為BM∥AC，CN∥AB，所以.只需要證明即可.

于是，將例3轉(zhuǎn)化為如下問題.

變式：如圖11，在△ABC中，AD是△ABC的邊BC的中線，O是AD的中點.求證：

圖11

環(huán)節(jié)2：在特殊情況下尋找解決問題的突破口，體現(xiàn)解題策略之美.

上述變式解決起來同樣復雜，可以從特殊情況入手，尋找解決問題的方法.

情況1：如圖12，當EF∥BC，且E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點時，結(jié)論顯然是成立的.

圖12

圖13

情況2：如圖13，當點F與點B重合時，，我們只需要證明即可.

解決問題的方法有很多，現(xiàn)提供兩種添加輔助線的方法.如圖14，過點D作DG∥BE，交AC于點G；如圖15，過點A作AG∥BC，交BE的延長線于點G.證明過程略.

圖14

圖15

環(huán)節(jié)3：類比.

變式的解題思路與例3有異曲同工之處.例3的解題思路如下.

如圖16，過點A作AG∥BC，交FE的延長線于點G，交CB的延長線于點H，易證得AG=DH.

圖16

此題的證明方法還有很多，在此不再贅述.

環(huán)節(jié)4：拓展延伸，在線段的運動中研究圖形的內(nèi)在規(guī)律美.

上述所有問題的出發(fā)點都基于點F在AB上，點E在AC上.若過點O的直線與三角形一邊的延長線相交，結(jié)論會怎樣呢？

拓展：如圖17，在△ABC中，AD是邊BC的中線，O是AD上的中點，假設(shè)過點O的直線交邊AB于點F，交AC的延長線于點E，結(jié)論還成立嗎？

圖17

圖18

解：不成立.理由如下.

如圖18，過點A作AG∥BC，交EF的延長線于點G.易證得AG=DH.

【評析】將一道復雜的問題，通過改變結(jié)論轉(zhuǎn)化成一個新問題，體現(xiàn)了數(shù)學表達式的形式結(jié)構(gòu)之美.在解決新問題的過程中，利用特殊位置把陌生的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題，既驗證了結(jié)論的正確性，又為下一步一般情形的證明提供了可借鑒的思路與方法.由特殊到一般地研究圖形變化中的內(nèi)在規(guī)律，尤其是在拓展延伸環(huán)節(jié)，把線段EF繞線段AD的中點O旋轉(zhuǎn)，進一步探究數(shù)學結(jié)論的變化規(guī)律，既體現(xiàn)了幾何圖形的靈動之美，又體現(xiàn)了數(shù)學規(guī)律的奇異之美.

四、在操作變換中，感知圖形的對稱美

在初中平面幾何中，有很多非常美麗的圖形，如等腰三角形、正方形、正多邊形、圓等，圖形美在對稱，包括軸對稱、旋轉(zhuǎn)對稱等.對稱美在建筑、藝術(shù)等日常生活中有著廣泛的應(yīng)用.在教學中，教師要積極挖掘這些圖形的美學素材，通過讓學生感知、操作等教學環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學生的美學意識，進而形成美學素養(yǎng).

例4如圖19，已知在△ABC中，∠BAC=36°，AB=AC，點P為△ABC所在平面內(nèi)一點，且點P與△ABC的任意兩個頂點構(gòu)成的△PAB，△PAC，△PBC均是等腰三角形，求滿足上述條件的所有點P的個數(shù).

環(huán)節(jié)1：發(fā)現(xiàn)美.

通過師生畫圖操作和討論交流，畫出如圖20所示的對稱圖形.

圖19

圖20

環(huán)節(jié)2：感悟美.

通過學習新知，了解黃金三角形的對稱美，黃金分割比例的和諧美.

在等腰三角形中，有一個非常特別的三角形，它的頂角為36°，每個底角為72°.如圖19，通過構(gòu)造相似，計算出等腰三角形的底與腰成黃金比，即，因此把這種特殊的等腰三角形叫做黃金三角形.

環(huán)節(jié)3：欣賞美.

教師引導學生聯(lián)系生活，欣賞生活中的黃金三角形.例如，文明古國埃及的金字塔形似方錐，大小各異，但這些金字塔底面的邊長與高之比都接近于0.618.又如，著名畫家達·芬奇的作品《蒙娜麗莎》構(gòu)圖完美地體現(xiàn)了黃金分割在油畫藝術(shù)上的應(yīng)用.經(jīng)過畫面分析，蒙娜麗莎的頭和兩肩在整幅畫面中三點構(gòu)建了一個近乎完美的黃金三角形，使得這幅畫看起來是那么的和諧和完美.

又如，大家最熟悉的正五角星圖案（如圖21），它的每一個角都是一個黃金三角形.正五角星是由正五邊形對角線連接組成，正五邊形的任意兩條對角線的交點都是這兩條對角線的黃金分割點.

圖21

【評析】黃金三角形的底角平分線分對邊為黃金比，并分成兩個較小的等腰三角形．教學中，教師可以讓學生在操作畫圖的基礎(chǔ)上，通過旋轉(zhuǎn)、對稱等變換，使學生在操作中發(fā)現(xiàn)對稱美，在學習新知中感悟黃金分割比例的和諧美，并在實際生活中欣賞圖形的對稱美、和諧美，以及數(shù)與形的融合之美.

五、結(jié)束語

我國現(xiàn)代著名數(shù)學家徐利治教授指出：所謂數(shù)學美的含義是豐富的，如數(shù)學概念的簡單性、統(tǒng)一性，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、對稱性，數(shù)學命題與數(shù)學模型的概括性、典型性，還有數(shù)學規(guī)律的奇異性等，都是數(shù)學美的具體內(nèi)容.當我們悟出了一個數(shù)學公式，發(fā)現(xiàn)了一條數(shù)學規(guī)律，解決了一道數(shù)學難題，我們的心中也就會有一種特別愉悅的興奮感，就像欣賞一首優(yōu)美的樂曲一樣充滿了愉悅之情.這是數(shù)學美育的最高境界.