陶家友

（江蘇省南京市溧水區(qū)東屏中學(xué)）

2018年江蘇省南京市中考試卷秉持一貫的風(fēng)格，整份試卷立意求新，層次分明，亮點(diǎn)紛呈，試卷第26題以能力及素養(yǎng)立意，內(nèi)涵豐富，凸顯對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，聚焦初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，考查學(xué)生對(duì)基本圖形的識(shí)別和邏輯推理能力，重點(diǎn)考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

一、試題呈現(xiàn)

題目如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，連接DE.過點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為點(diǎn)F.⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，D，F(xiàn)，與AD相交于點(diǎn)G.

圖1

（1）求證：△AFG∽△DFC；

（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，AE＝1，求⊙O的半徑.

二、命題立意

作為一道幾何壓軸題，既要考查學(xué)生對(duì)核心知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，又要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，同時(shí)又要樹立起良好的教學(xué)導(dǎo)向，充分發(fā)揮教學(xué)指揮棒的作用.命題組在遵循試題“基于課標(biāo)，源于教材”的命題原則基礎(chǔ)上，關(guān)注了幾何基本圖形的自然生長(zhǎng)，突出了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.第（1）小題注重基礎(chǔ)，重點(diǎn)考查基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，突出體現(xiàn)知識(shí)立意，學(xué)生容易上手并為解決第（2）小題做鋪墊；第（2）小題通過幾何基本圖形的自然生長(zhǎng)，重點(diǎn)考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，該問的設(shè)計(jì)，突出基本圖形，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，使此題思維含量更進(jìn)一步.試題突出對(duì)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)的考查.

三、解法賞析

此題第（1）小題入口寬，先利用“同角的余角相等”，得∠DAF＝∠CDF.再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，得 ∠CDF＋∠ADF＝90°.又由 ∠FGA＋∠DGF＝180°，得出∠FGA＝∠FCD.根據(jù)“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”，證得△AFG∽△DFC.方法自然合理，當(dāng)然選擇證明另一組對(duì)應(yīng)角∠AFG和∠DFC也可以.

第（2）小題求⊙O的半徑，解題思路較多，思路和解法如下.

思路1：“所有可求”，拾級(jí)而上.

出于對(duì)“母子型”相似模型的熟悉，已知兩條線段的長(zhǎng)即可求出基本圖形中所有的線段的長(zhǎng)，本著“確定即可求”的原則，自然先求出AF，DF的長(zhǎng).再利用第（1）小題的三角形相似的結(jié)論求出AG的長(zhǎng).

解法1：如圖2，連接CG.

圖2

再由△ADF∽△EDA，求出AF，DF的長(zhǎng).

又根據(jù)△AFG∽△DFC，得.求出AG，DG的長(zhǎng).

再由勾股定理，求出CG＝5.

依據(jù)“90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑”，得⊙O的半徑為.

思路2：“等比代換”，邏輯推理.

出于對(duì)“旋轉(zhuǎn)”型相似的有效識(shí)別，即△AFG∽△DFC，將轉(zhuǎn)化為，再利用“母子型”相似，將轉(zhuǎn)化為，通過“等比代換”的邏輯推理替代了繁雜的運(yùn)算.

解法2：如圖2，連接CG.

易證△EDA∽△ADF（也可證明△EFA∽△AFD）.

又由DA＝DC，可得AG＝EA＝1.

再由勾股定理，求出直徑CG的長(zhǎng).

解法3：如圖2，連接CG.

由圓內(nèi)接四邊形GFCD，可得∠GFC＝90°.

又由∠GDF＝∠GCF，可證△EDA∽△GCF.

進(jìn)而得AG＝1.

再由勾股定理，求出直徑CG的長(zhǎng).

解法4：通過銳角三角函數(shù)來替代直角三角形相似的轉(zhuǎn)化.

思路3：“隱圓”補(bǔ)全，復(fù)原“弦圖”.

出于對(duì)“弦圖”的熟悉，將殘缺的基本圖形“弦圖”進(jìn)行復(fù)原，通過三角形全等求出關(guān)鍵的BH，替代了相似的相關(guān)轉(zhuǎn)化運(yùn)算.

解法5：如圖3，設(shè)BC與⊙O交于點(diǎn)H，連接FH，DH.

圖3

由正方形ABCD，可得∠DCH＝90°.

由圓內(nèi)接四邊形DFHC，可得∠DFH＝90°.

又由∠AFD＝90°，可證A，F(xiàn)，H三點(diǎn)共線.

易證△ADE≌△BAH.可得BH＝AE＝1.

再由勾股定理，求出直徑DH的長(zhǎng).

思路4：構(gòu)造“垂徑”，“勾股”求解.

出于對(duì)求圓半徑的模型——垂徑定理的熟悉，通過構(gòu)造垂徑定理的基本圖形，直接利用勾股定理求解.

解法6：如圖4，過點(diǎn)O分別作CD，DG的垂線OI，OH，垂足分別為點(diǎn)I，H.

圖4

根據(jù)解法2，可求出AG＝1.得DG＝3.

進(jìn)而在Rt△OID中，利用垂徑定理和勾股定理求出圓的半徑.

思路5：“確定”可求，“暴力”解析.

出于對(duì)正方形圖形的“確定”及熟悉，尋求用建立平面直角坐標(biāo)系的解析幾何的代數(shù)方法來解決幾何問題.

解法7：如圖5，以BC所在直線為x軸、AB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

圖5

由于圖形中線段長(zhǎng)都確定并可求，先求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再分別求出線段DF，CF的垂直平分線的解析式.然后求出兩條垂直平分線的交點(diǎn)O的坐標(biāo)，最后根據(jù)勾股定理求出圓的半徑.

思路6：化“斜”為“直”，構(gòu)造“相似”.

通過點(diǎn)F向正方形的兩邊作垂線，從而化“斜”為“直”求出FC的長(zhǎng)，再利用三角形相似求出直徑.

解法8：如圖6，連接FO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)H，連接HC.過點(diǎn)F分別作AB，BC的垂線FM，F(xiàn)N，垂足分別為點(diǎn)M，N.

圖6

先根據(jù)△FMA∽△EAD，求出AM，F(xiàn)M的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BM，F(xiàn)N，CN的長(zhǎng).在Rt△FNC中，利用勾股定理求FC的長(zhǎng)，然后利用△FCH∽△DAE求出CH的長(zhǎng)，最后可求得圓的半徑.

四、拓展研究

波利亞曾經(jīng)說過，沒有任何一道題目是徹底完成的.在進(jìn)行中考命題時(shí)，由于試題難度、考查知識(shí)分布等因素限制，有一些命題思考和功能挖掘未能如愿.關(guān)于此題第（2）小題有許多相關(guān)的問題，值得進(jìn)一步深度思考和拓展探究.

拓展1：若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，AE＝1，求GF的長(zhǎng).

【評(píng)析】由于正方形中所有的線段確定即可求，可以在求出直徑后，利用△ADE∽△FCG，進(jìn)而求出GF的長(zhǎng)度，難度有所提升.

拓展2：若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，AE=x，求⊙O的半徑（用含有x的式子表示）.

【評(píng)析】秉持從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，將AE＝1改為AE=x，提升對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查，運(yùn)算量有所增加.

拓展3：若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，AE=x，DG=y.求y與x的函數(shù)表達(dá)式.

【評(píng)析】如圖7，秉持動(dòng)靜轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合思想，將此題改編成函數(shù)題，借助函數(shù)更能揭示幾何圖形中線段之間的變化關(guān)系.

圖7

拓展4：若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，當(dāng)⊙O與AB相切時(shí)，求AE的長(zhǎng).

【評(píng)析】如圖8，點(diǎn)E是此題中的關(guān)鍵點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上的位置決定了點(diǎn)F的位置，而點(diǎn)F的位置又確定了⊙O的位置和大小.那么，當(dāng)⊙O與邊AB相切時(shí)，點(diǎn)E在AB的什么位置呢？進(jìn)行這樣的拓展，內(nèi)涵豐富也很自然，意在引導(dǎo)學(xué)生追尋圖形的形成過程，動(dòng)中取靜，從特殊到一般，再到特殊.由特殊的相切位置關(guān)系，揭示出線段之間的數(shù)量關(guān)系，充分考查了數(shù)形結(jié)合思想，難度有所提升.連接CG，過點(diǎn)O作OI⊥CD，交CD于點(diǎn)I，IO的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)H，在Rt△OIC中，可通過垂徑定理和勾股定理，計(jì)算出圓的半徑和直徑，進(jìn)而算得DG和AG的長(zhǎng)，再通過相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行轉(zhuǎn)換求得AE的長(zhǎng).

圖8

推廣：如圖9，在矩形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，連接DE.過點(diǎn)A作AF⊥DE，垂足為點(diǎn)F.⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，D，F(xiàn)，與AD相交于點(diǎn)G.

（1）求證：△AFG∽△DFC；

（2）若AB＝3，BC＝5，AE＝1，求⊙O的半徑.

圖9

【評(píng)析】原題目還可以繼續(xù)一般化，將原題目的正方形背景換成矩形，更能揭示問題的本質(zhì).此題的結(jié)論除了AG＝EA之外，其他結(jié)論都依然成立，包含各組相似三角形，依然可以進(jìn)行上述一系列的變式拓展，并且所得結(jié)論更具一般化，更有意義和價(jià)值，但限于試題的考查內(nèi)容及難度，中考試題還是以正方形為背景呈現(xiàn).

五、教學(xué)啟示

1.凸顯核心素養(yǎng)，聚焦核心知識(shí)

《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》中，明確給出了核心素養(yǎng)的概念：學(xué)生應(yīng)具備適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展所需要的必備品格和關(guān)鍵能力.通俗的說，這里的必備品格和能力就是所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)遺忘后剩下的東西，或者說從數(shù)學(xué)的角度看問題和有條理地進(jìn)行理性思維、嚴(yán)密求證、邏輯推理和清晰準(zhǔn)確的表達(dá)的意識(shí)與能力.

而初中階段數(shù)學(xué)中的核心知識(shí)是形成數(shù)學(xué)能力提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要載體和抓手，也是中考命題者青睞的對(duì)象，綜合數(shù)學(xué)的核心知識(shí)進(jìn)行命題，有利于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及探究能力，有助于從知識(shí)考查走向能力立意.此題聚焦初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)有：正方形、圓、相似三角形與勾股定理，包含直徑與所對(duì)的圓周角的關(guān)系、圓內(nèi)接四邊形、相似三角形中的比例線段的轉(zhuǎn)化、運(yùn)用成比例線段列式和勾股定理求解線段.

題目通過正方形ABCD、圓內(nèi)接四邊形CFGD等數(shù)學(xué)概念，抽象出相似模型，并用數(shù)學(xué)術(shù)語△AFG∽△DFC進(jìn)行表征，體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)抽象的考查，尤其凸顯對(duì)數(shù)學(xué)邏輯推理的考查.邏輯推理作為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要方面，是學(xué)生要求具備的關(guān)鍵能力之一.初中階段學(xué)生的思維正處于由形象思維向邏輯思維過渡的時(shí)期，對(duì)學(xué)習(xí)抽象的幾何知識(shí)有一定的困難，教師如何組織幾何教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展，無疑是數(shù)學(xué)教育中的重要課題，所以教師要培養(yǎng)學(xué)生“好動(dòng)”“究理”，動(dòng)手操作，畫一畫，拼一拼，轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，折一折，動(dòng)靜轉(zhuǎn)換，善于思考，直觀想象，邏輯推理，讓課堂真正成為提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主陣地.

2.關(guān)注基本圖形，突出模型思想

幾何問題通常由基本圖形構(gòu)成，掌握了這些基本圖形可以更好地解決一些復(fù)雜問題.較復(fù)雜的幾何圖形都是由兩個(gè)及以上的基本圖形疊合而成，只要從復(fù)雜圖形中剝離出解決問題所需要的基本模型，這些問題也能化繁為簡(jiǎn)、化未知為已知，然后便可迎刃而解.

如圖10，題目中蘊(yùn)含了豐富的基本圖形，如“母子型”相似、弦圖、圓內(nèi)接四邊形、“旋轉(zhuǎn)”型相似（一拖二），考查學(xué)生根據(jù)以往的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)所形成的基本圖形的模型思想，將原題中的幾何圖形換個(gè)視角去觀察，重新進(jìn)行圖形表述，探尋解決問題的切入口，獲取問題轉(zhuǎn)化的靈感源泉.模型要精化，但不要泛化，要讓學(xué)生有更多的體驗(yàn)過程；模型要強(qiáng)化，但不要僵化，要讓學(xué)生有更多的創(chuàng)新機(jī)會(huì)；模型要深化，但不要固化，要讓學(xué)生有更多的想象空間.

圖10

因此，教師在平時(shí)的幾何教學(xué)中要加強(qiáng)識(shí)圖教學(xué)，尤其是常見的特殊三角形、四邊形和圓的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生能夠識(shí)別基本圖形，提煉基本圖形，補(bǔ)全基本圖形，注重基本圖形的組合、分拆.在日常的幾何教學(xué)中，不要急于給圖，要讓學(xué)生根據(jù)題目自己嘗試畫圖，讓學(xué)生體驗(yàn)圖形的生長(zhǎng)過程，追尋圖形的形成過程，抽象出數(shù)學(xué)概念、定理，直觀想象出結(jié)論.或者在思考過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷第二次構(gòu)圖，這樣才能在今后的復(fù)雜圖形中提煉出基本圖形，才能在文字語言、符號(hào)語言與圖形語言之間進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，真正達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

3.引導(dǎo)“理性思維”，注重“通性、通法”

發(fā)展學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù).教學(xué)中，教師要堅(jiān)持“學(xué)為中心”的理念，多給學(xué)生探究的時(shí)間和空間，多關(guān)注學(xué)生“學(xué)”的行為和結(jié)果，充分讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的探索、發(fā)現(xiàn)和形成過程，讓學(xué)生主動(dòng)參與解題的思維過程，多動(dòng)手畫圖、推理、計(jì)算，發(fā)展學(xué)生的思維，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升解題能力.

此題第（2）小題的解法有很多，解法1雖然運(yùn)算過程有些煩瑣，但卻是學(xué)生最容易想到的，是學(xué)生選擇最多的一種方法，閱卷時(shí)也得到了驗(yàn)證；解法2需要用到“等比代換”，進(jìn)而得到線段相等，對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力有了更高的要求，需要學(xué)生探索運(yùn)算思路，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序；解法5更為獨(dú)特，需要學(xué)生有較強(qiáng)的基本圖形識(shí)別能力，并且順利補(bǔ)全基本圖形（弦圖）；解法7借助了直角坐標(biāo)系的解析法，其實(shí)在涉及正方形的計(jì)算時(shí)，基本都可以使用“暴力解析”，但這顯然不利于初中階段學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng)，更不是命題者的初衷.

因此，在教學(xué)中，教師要注重一題多解和多題歸一.一題多解是發(fā)散思維，多題歸一是追尋數(shù)學(xué)的本質(zhì)和解題規(guī)律，即通性、通法.當(dāng)然，我們提倡發(fā)散思維，但同樣要強(qiáng)調(diào)優(yōu)化思維，引導(dǎo)學(xué)生理性思維，從學(xué)生出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生去分析思維的起點(diǎn)與突破口，尋找樸素的、適合學(xué)生思維的自然生成，即學(xué)生容易想到的，或者適合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的解法，即先讓學(xué)生“想得到”，再讓學(xué)生“想得妙”，要教給學(xué)生解題背后的“套路”，感悟“套路”背后所蘊(yùn)涵的最基本的思想方法，探索試題背后的價(jià)值，讓通性、通法成為學(xué)生解題的“家常菜”.同時(shí)，教師也要注重試題價(jià)值的深度思考和功能挖掘，進(jìn)行變式拓展，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探究的能力，讓學(xué)生解一題、會(huì)一類、通一片，從而真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).