岳紅云

【摘要】函數(shù)項(xiàng)級數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，收斂與一致收斂性是數(shù)學(xué)分析中函數(shù)的重要性質(zhì)之一，本文主要通過定義和例題淺析函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂與一致收斂性的聯(lián)系與不同，從而應(yīng)用函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性，解釋和函數(shù)與函數(shù)項(xiàng)分析性質(zhì)的一致性問題，舉例說明具有重要的實(shí)際應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】收斂性;一致收斂性;比較;應(yīng)用

【基金項(xiàng)目】1.河南工業(yè)大學(xué)2019年本科教育教學(xué)改革研究與實(shí)踐項(xiàng)目：基于信息化教學(xué)環(huán)境下“高等數(shù)學(xué)B（二）”課程的混合式教學(xué)研究與實(shí)踐.項(xiàng)目號：JXYJ-K201945;

2.高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究發(fā)展中心2020年教學(xué)改革項(xiàng)目：以學(xué)為中心的高等數(shù)學(xué)課程混合式教學(xué)模式改革的研究與實(shí)踐.項(xiàng)目號：CMC20200203.

一、引言

在數(shù)學(xué)分析中， 收斂性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，收斂與一致收斂性在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用極為廣泛，函數(shù)表達(dá)的一種方法是用函數(shù)項(xiàng)級數(shù)表示， 這種方法是表示非初等函數(shù)的重要方法. 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)不僅可以表示函數(shù)，還是研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的重要工具， 想要通過函數(shù)項(xiàng)級數(shù)研究它所表示的函數(shù)的重要性質(zhì)：和函數(shù)的連續(xù)、可積和可微性，就不能只考慮其收斂性，還要考慮更強(qiáng)的收斂性——一致收斂性，一致收斂是確保和函數(shù)連續(xù)的重要條件， 同時(shí)也是保障和函數(shù)可積和可微不可或缺的條件.

下面將從函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂與一致收斂性的定義研究它們的聯(lián)系與不同.

二、收斂與一致收斂性的定義

②利用定義判定一致收斂性時(shí)，需要求出和函數(shù)，如果和函數(shù)不易求得，此時(shí)要判別函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在某區(qū)間上的一致收斂性就需要根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)自身的特點(diǎn)，換用其他方法，比如柯西一致收斂準(zhǔn)則、維爾斯塔拉斯判別法等.

四、結(jié)論

通過收斂與一致收斂的定義和例題可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)∑∞n=0xn在（-1，1）上收斂，而在（-1，1）上非一致收斂，原因就是逐點(diǎn)收斂與均勻收斂的差別：函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在（-1，1）上每一點(diǎn)處與某個(gè)常數(shù)的距離都可以任意小，所以每一點(diǎn)都是收斂的，而在（-1，1）上找不到通用的自然數(shù)N，使得在區(qū)間（-1，1）上每一點(diǎn)處函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與其和函數(shù)的距離可以任意?。ūM管它在[-r，r]（0

所以對函數(shù)項(xiàng)級數(shù)來說， 收斂只要求對其定義域內(nèi)的某一個(gè)點(diǎn)，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的部分和與和函數(shù)從某個(gè)正整數(shù)開始，以后的各項(xiàng)是無限接近的， 在不同收斂點(diǎn)選取的正整數(shù)可以不相同，也就是收斂速度可以不同，所以收斂點(diǎn)與收斂點(diǎn)之間沒有必然的聯(lián)系，此時(shí)收斂性只是數(shù)列的收斂性，不涉及函數(shù)的分析性質(zhì)，所以在收斂的條件下，函數(shù)項(xiàng)的性質(zhì)與其和函數(shù)的性質(zhì)之間沒有必然的聯(lián)系;一致收斂是指函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)有共同的收斂速度，收斂點(diǎn)與收斂點(diǎn)之間相互關(guān)聯(lián)、相互制約，保證收斂速度的一致性是函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在一個(gè)區(qū)間上收斂的整體體現(xiàn)，涉及函數(shù)的分析性質(zhì)，所以在一致收斂的條件下，考查函數(shù)項(xiàng)性質(zhì)與其和函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系時(shí)，就會得到“如果函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在某個(gè)點(diǎn)集上一致收斂，并且函數(shù)項(xiàng)各項(xiàng)在點(diǎn)集上連續(xù)，那么和函數(shù)也在該點(diǎn)集上連續(xù)”的結(jié)論，所以在較高的一致收斂條件下，應(yīng)用函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性就可以利用函數(shù)項(xiàng)的性質(zhì)得到和函數(shù)的分析性質(zhì).

五、應(yīng)用

【參考文獻(xiàn)】

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