王瑋

直線和圓的幾何性質在解析法中的應用，一直是高考命題的熱點，凸顯了代數(shù)方法研究幾何性質和幾何性質簡化運算的本質屬性。需要掌握直線的傾斜角和斜率，直線方程的幾種形式（如點斜式、兩點式和一般式等），兩直線位置關系（平行、垂直）的判定和應用。需要掌握圓的標準方程、一般方程、參數(shù)方程，與圓有關的最值問題、弦長問題、軌跡問題等。本文以2020年高考試題為載體，對直線和圓中的熱點題型進行歸類剖析，希望對同學們的學習有所幫助。

聚焦1——恒過定點的直線系方程的應用

例1 （2020年高考全國Ⅲ卷文8）點（0，1）到直線y=k（x+1）的距離的最大值為（

）。

A.1 B.√2 C.√3 D.2

解析：由y=k（x+1）可知直線過定點P（ 1，0），設A（0，1），當直線y=k（x+1）與AP垂直時，點A到直線y=k（x+1）的距離最大，即為|AP|=√2。故選B。

反思：直線方程中含有參數(shù)一定是恒過定點的直線系，解出定點后可用幾何法探究最值。如本題可探究恒過定點的直線系與直線外一點距離的最大值，轉化兩定點之間的距離，考查了點到直線距離公式，以及數(shù)學運算等學科素養(yǎng)。

聚焦2——待定系數(shù)法確定圓的方程

例2 （2020年高考北京卷5）已知半徑為l的圓經過點（3，4），則其圓心到原點的距離的最小值為（ ）。

A.4 B.5 C.6 D.7

解析：由題意知動圓的圓心在以（3，4）為圓心，1為半徑的圓上，當且僅當動圓的圓心、原點和點（3，4）三點共線時，圓心到原點的距離最小為√3²+4²-l=4。故選A。

反思：由特殊條件和幾何性質求圓的方程，關鍵是對圓兩種方程構建過程的認知，合理選擇一般式和標準式。一般地，與圓心和半徑有關，選擇標準式;否則，選擇一般式。不論是哪種形式，都要確定三個獨立參數(shù)，所以應該有三個獨立等式進行求解。本題利用三點共線的條件確定圓心的坐標位置，進而求出圓心到原點距離的最小值，使問題簡單化。

聚焦3——直接法探究圓的軌跡方程

例3 （2020年高考全國Ⅲ卷文6）在平面內，A，B是兩個定點，C是動點。若AC . BC=1，則點C的軌跡為（ ）。

A.圓 B.橢圓 C.拋物線

D.直線

反思：用直接法探究動點軌跡方程，需合理建系，設出定點和動點的坐標，把幾何條件坐標化，化簡整理得到橫縱坐標滿足的關系式，這是探究軌跡方程最基本和直接的方法，反思：直線與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑得到圓心坐標與半徑之間的關系，可以降元簡化運算，凸顯圓的幾何性質的簡化作用，考查數(shù)學運算、直觀想象等學科素養(yǎng)。

聚焦6——幾何法探究直線和圓的最值或范圍問題

反思：求解本題關鍵在于如何合理轉化| PM|.|AB |最小，借助圓外一點作圓的切線構成的四邊形共圓，利用點到直線距離最短等問題化歸為求兩圓的公共弦的方程問題，考查了直線與圓、圓與圓的位置關系，以及圓的幾何性質的應用，考查數(shù)學運算、直觀想象等學科素養(yǎng)。

（責任編輯 王福華）