陳燕，殷國富,，衡良，王玲

(1.四川大學(xué)空天科學(xué)與工程學(xué)院，四川成都，610065；2.四川大學(xué)制造科學(xué)與工程學(xué)院，四川成都，610065)

漸開線圓柱蝸桿斜齒輪傳動是由一個漸開線斜齒圓柱齒輪與一個漸開線圓柱蝸桿嚙合形成的軸間角為90°的空間傳動。該傳動具有大速比、自鎖性、易于制造、成本低、齒面精度高、潤滑條件較好、對安裝誤差不敏感等優(yōu)點，但其點接觸特性也使其承載能力有限、傳動效率低。因此，主要用于傳遞小載荷(≤500 W)，被廣泛應(yīng)用于汽車天窗、雨刮、搖窗、電動座椅等低噪音、低強(qiáng)度驅(qū)動器中。與傳統(tǒng)漸開線圓柱蝸桿傳動副的區(qū)別在于：以一個漸開線斜齒圓柱齒輪代替由漸開螺旋面滾刀展成的蝸輪，傳動副也相應(yīng)由原有的線接觸變?yōu)榱它c接觸。漸開線圓柱蝸桿斜齒輪傳動的傳動原理不同于傳統(tǒng)漸開線圓柱蝸桿傳動副的對偶范成線接觸傳動原理；同時，由于其蝸桿為少齒數(shù)漸開線齒輪，其傳動原理和嚙合特性也與交錯軸斜齒輪傳動的不同，因此在嚙合幾何學(xué)分析過程中，無法直接采用平行軸齒輪的平面嚙合理論和蝸桿傳動的空間包絡(luò)理論進(jìn)行研究。國內(nèi)外學(xué)者對漸開線圓柱蝸桿斜齒輪傳動進(jìn)行了大量的基礎(chǔ)研究。LITVIN等[1]基于交錯軸斜齒輪傳動原理，提出了一種漸開線圓柱蝸桿斜齒輪傳動設(shè)計方法，分析了不同誤差對接觸區(qū)域及傳動誤差的影響規(guī)律，給出了避免邊緣接觸的修形方法。KOIDE等[2-3]進(jìn)行了塑料漸開線斜齒輪圓柱蝸桿傳動副和塑料漸開線斜齒輪環(huán)面蝸桿傳動副的強(qiáng)度及疲勞壽命研究，結(jié)果表明：塑料漸開線斜齒輪圓柱蝸桿傳動副的重合度與傳動副嚙合側(cè)隙無關(guān)，但塑料漸開線斜齒輪環(huán)面蝸桿傳動副的重合度與嚙合側(cè)隙有關(guān)，且二者的齒面接觸強(qiáng)度及壽命與傳動副的嚙合側(cè)隙密切相關(guān)。KIM等[4]進(jìn)行了塑料漸開線斜齒輪與金屬圓柱蝸桿嚙合傳動副的應(yīng)力分析。DONG等[5-7]研究了大速比漸開線圓柱蝸桿斜齒輪傳動的幾何參數(shù)設(shè)計與齒面修形，并基于交錯軸齒輪傳動原理進(jìn)行了傳動副齒面接觸分析，討論了裝配誤差對接觸區(qū)域的影響規(guī)律，對正交型和非正交型漸開線圓柱蝸桿斜齒輪傳動實例進(jìn)行了計算和驗證。彭文捷等[8-12]進(jìn)行了漸開線圓柱蝸桿斜齒輪傳動的精確建模研究、接觸有限元分析和傳動性能臺架試驗，提出了通過齒高修形提高傳動副承載能力的方法，并證明該傳動副的承載能力和傳動效率均較低。郝一舒等[13-14]基于交錯軸齒輪傳動對塑料斜齒輪鋼制蝸桿傳動副進(jìn)行了嚙合分析和熱分析，研究了塑料齒輪齒面的應(yīng)力場與熱力場分布規(guī)律。李傳閃等[15-16]利用交錯軸齒輪傳動原理，進(jìn)行了塑料圓柱蝸桿與金屬漸開線斜齒輪傳動的嚙合原理分析、接觸應(yīng)力及試驗研究，結(jié)果表明該傳動副具有運行平穩(wěn)和低噪音的特點。在此，本文作者提出漸開線圓柱蝸桿斜齒輪傳動嚙合特性分析的媒介齒條法，基于媒介齒條和空間包絡(luò)原理建立傳動副的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建傳動副的接觸點、接觸橢圓、接觸應(yīng)力、重合度、滑動率等完整的嚙合特性分析方法，并通過數(shù)值實例與樣件試驗進(jìn)行驗證。

1 傳動副嚙合分析媒介齒條法

在漸開線圓柱蝸桿和漸開線斜齒輪的兩共軛齒廓之間加入一個假想的齒條，如圖1所示。圖中，ω1為漸開線圓柱蝸桿繞其軸線的轉(zhuǎn)動角速度；ω2為漸開線斜齒輪繞其軸線的轉(zhuǎn)動角速度；v3為假想齒條沿蝸桿軸向的移動速度。該假想齒條不依附于任何實體，如同一張沒有厚度的紙片折疊而成，它的一側(cè)與漸開線圓柱蝸桿齒面嚙合，另一側(cè)與漸開線斜齒輪齒面嚙合，它與2個齒面之間分別滿足共軛關(guān)系。由卡姆士定理[16]可知，在抽出假想齒條后，漸開線圓柱蝸桿與漸開線斜齒輪也必然滿足共軛關(guān)系，即漸開線圓柱蝸桿、假想齒條、漸開線斜齒輪三者兩兩之間形成等價共軛關(guān)系。因此，稱這一假想齒條為“媒介齒條”。借助于“媒介齒條”，即可將漸開線圓柱蝸桿與斜齒輪的復(fù)雜空間嚙合問題轉(zhuǎn)化為相對簡單的斜齒輪與媒介齒條嚙合、媒介齒條與蝸桿嚙合的問題。

圖1 嚙合分析媒介齒條法Fig.1 Media rack method for meshing analysis

漸開線圓柱蝸桿與漸開線斜齒輪正確嚙合的條件為具有公共的媒介齒條，即：

1)漸開線圓柱蝸桿與斜齒輪的法面模數(shù)相等；

2)漸開線圓柱蝸桿導(dǎo)程角等于斜齒輪的螺旋角；

3)漸開線圓柱蝸桿旋向與斜齒輪旋向相同。

2 基于媒介齒條的傳動副數(shù)學(xué)模型

2.1 標(biāo)架設(shè)置

建立漸開線圓柱蝸桿斜齒輪傳動副的相關(guān)標(biāo)架如圖2所示，圖中標(biāo)架σm(om-xm,ym,zm)，σn(on-xn,yn,zn)和σp(op-xp,yp,zp)為空間固定標(biāo)架，其底矢分別為(im,jm,km)，(in,jn,kn)和(ip,jp,kp)；onop=b，為漸開線斜齒輪的節(jié)圓半徑；omon=a，為漸開線圓柱蝸桿斜齒輪傳動的實際中心距；運動標(biāo)架σ1(o1-x1,y1,z1)與漸開線圓柱蝸桿固連，并繞z1軸以角速度ω1旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動角度為φ1；標(biāo)架σ2(o2-x2,y2,z2)與斜齒輪固連，并繞z2軸以角速度ω2旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動角度為φ2；標(biāo)架σ3(o3-x3,y3,z3)與媒介齒條固連，并沿媒介齒條基準(zhǔn)線方向z3軸以速度v3移動，移動距離為l；標(biāo)架σ1，σ2和σ3的底矢分別為(i1,j1,k1)，(i2,j2,k2)和(i3,j3,k3)。

圖2 標(biāo)架設(shè)置Fig.2 Coordinates system setting

由正確嚙合運動關(guān)系可得各轉(zhuǎn)動參數(shù)和移動參數(shù)之間的相互關(guān)系為

式中：i12=Z2/Z1，Z1為漸開線圓柱蝸桿頭數(shù)，Z2為斜齒輪齒數(shù)。

2.2 媒介齒條齒面方程

媒介齒條齒面在與其固連的坐標(biāo)系σ3中為一平面，建立媒介齒條相關(guān)坐標(biāo)系如圖3所示。圖中，標(biāo)架σ4(o4-x4,y4,z4)和σ5(o5-x5,y5,z5)為與媒介齒條固連的輔助標(biāo)架，其底矢分別為(i4,j4,k4)和(i5,j5,k5)，αn為法面壓力角，β為斜齒輪螺旋角，u和v為媒介齒條齒面參數(shù)。

經(jīng)底矢轉(zhuǎn)換和坐標(biāo)變換，可得媒介齒條齒面在坐標(biāo)系σ5中的表達(dá)式為

媒介齒條齒面單位法矢在坐標(biāo)系σ5中的表達(dá)式為

2.3 漸開線圓柱蝸桿與媒介齒條的嚙合關(guān)系

依據(jù)齒輪嚙合原理[16]，并通過坐標(biāo)變換、底矢轉(zhuǎn)換，可得漸開線圓柱蝸桿與媒介齒條嚙合過程中的相對速度在坐標(biāo)系σ5下的表達(dá)式為

圖3 媒介齒條齒面相關(guān)坐標(biāo)系Fig.3 Coordinates system setting for media rack

由兩共軛齒面既不嵌入也不脫離的正確嚙合條件[18]，結(jié)合式(3)和式(4)，有媒介齒條與漸開線圓柱蝸桿之間的嚙合函數(shù)表達(dá)式[17]為

結(jié)合式(2)和式(5)，有媒介齒條與漸開線圓柱蝸桿之間的接觸線在坐標(biāo)系σ5中的表達(dá)式為

結(jié)合式(4)和式(6)，有漸開線圓柱蝸桿與媒介齒條嚙合過程中的一界函數(shù)[16]為

結(jié)合式(4)，(5)和(7)，有兩共軛曲面的誘導(dǎo)法曲率為

由于媒介齒條齒面為平面，其齒面法曲率為0，因此有漸開線圓柱蝸桿齒面沿任意方向的法曲率為

式中：ψ0為所求方向與第一主方向之間的位置夾角。

式(9)中ψ0分別取0°和90°，有漸開線圓柱蝸桿齒面沿i5和j5方向的法曲率分別為：

結(jié)合式(4)，(5)和(7)，有兩共軛曲面的誘導(dǎo)短程撓曲率為

由于媒介齒條齒面為平面，其齒面短程撓曲率為0，因此有漸開線圓柱蝸桿齒面沿任意方向的短程撓曲率為

式(13)中ψ0分別取0°和90°，有漸開線圓柱蝸桿齒面沿i5和j5方向的短程撓曲率分別為：

2.4 媒介齒條與漸開線斜齒輪的嚙合關(guān)系

依據(jù)齒輪嚙合原理[16]，并通過坐標(biāo)變換、底矢轉(zhuǎn)換，可得媒介齒條與漸開線斜齒輪嚙合過程中的相對速度在坐標(biāo)系σ5下的表達(dá)式為

相對角速度轉(zhuǎn)換到與媒介齒條齒面固連的坐標(biāo)系σ5下的表達(dá)式為

由兩共軛齒面既不嵌入也不脫離的正確嚙合條件[17]，結(jié)合式(3)和式(16)，有媒介齒條與漸開線斜齒輪之間的嚙合函數(shù)表達(dá)式為

結(jié)合式(2)和式(18)，有媒介齒條與漸開線斜齒輪之間的接觸線在與媒介齒條齒面固連的坐標(biāo)系σ5中的表達(dá)式為

結(jié)合式(16)和式(19)，有媒介齒條與漸開線斜齒輪嚙合過程中的一界函數(shù)[17]為

結(jié)合式(17)，(18)和(20)，有兩共軛曲面的誘導(dǎo)法曲率為

由于媒介齒條齒面為平面，其齒面法曲率為0，因此，有漸開線斜齒輪齒面沿任意方向的法曲率為

式(22)中ψ0分別取0°和90°，有漸開線斜齒輪齒面沿i5和j5方向的法曲率分別為：

結(jié)合式(16)和(19)，有兩共軛曲面的誘導(dǎo)短程撓曲率為

由于媒介齒條齒面為平面，其齒面短程撓曲率為0，因此有漸開線斜齒輪齒面沿任意方向的短程撓曲率為

式(26)中ψ0分別取0°和90°，有漸開線斜齒輪齒面沿i5和j5方向的短程撓曲率分別為：

3 基于媒介齒條的傳動副嚙合特性

3.1 傳動副理論接觸點

由接觸線方程式(6)可知，漸開線圓柱蝸桿與媒介齒條瞬時呈線接觸，如圖4(a)中所示的接觸線I；由接觸線方程式(19)可知，媒介齒條與漸開線斜齒輪瞬時呈線接觸，如圖4(b)中所示的接觸線II。在媒介齒面上，瞬時接觸線I與瞬時接觸線II的交點，即為漸開線圓柱蝸桿齒面與漸開線斜齒輪齒面嚙合的瞬時接觸點，如圖4(c)所示。

聯(lián)立式(6)和式(19)，可得漸開線圓柱蝸桿齒面與漸開線斜齒輪齒面嚙合的瞬時接觸點在媒介齒條齒面固連的坐標(biāo)系σ5中的表達(dá)式為

通過坐標(biāo)變換，可得瞬時接觸點在漸開線斜齒輪固連坐標(biāo)系σ2下的表達(dá)式為

圖4 瞬時接觸關(guān)系Fig.4 Instantaneous contact relationship

3.2 傳動副實際接觸橢圓

漸開線圓柱蝸桿斜齒輪傳動副的兩共軛齒面之間理論上為點接觸，但齒面受載變形后，將在嚙合點的切平面內(nèi)形成瞬時橢圓接觸區(qū)，如圖5所示。

圖5 瞬時接觸橢圓示意圖Fig.5 Instantaneous contact ellipse

基于齒輪嚙合原理[17]，該瞬時接觸橢圓方程在公切面坐標(biāo)系σ5中的表達(dá)式為

式中，δ為理論接觸點的彈性變形量，由傳動副材料確定；系數(shù)A和B由下式確定[16]：

式中，和分別為接觸點在漸開線圓柱蝸桿齒面上的最小曲率和最大曲率；和分別為接觸點在漸開線斜齒輪齒面上的最小曲率和最大曲率；θ為接觸點在兩共軛齒面上主方向的夾角。

由式(27)和式(28)可知，瞬時接觸點在漸開線斜齒輪齒面沿i5和j5方向的短程撓曲率為0，因此，i5和j5方向為瞬時接觸點在該齒面的主方向，其主曲率分別為：

由式(14)和式(15)可知，瞬時接觸點在漸開線圓柱蝸桿齒面沿i5和j5方向的短程撓曲率不為0，因此，i5和j5方向不是瞬時接觸點在該齒面的主方向，并通過圖6所示曲率圓進(jìn)行求解。

圖6 接觸點在蝸桿齒面的曲率圓Fig.6 Curvature circle of contact point

結(jié)合式(10)，(11)，(14)和(15)，并由圖6所示幾何關(guān)系[17]，有：

3.3 傳動副的接觸應(yīng)力

通過漸開線圓柱蝸桿斜齒輪傳動副共軛齒面間瞬時接觸橢圓式(31)，結(jié)合彈性力學(xué)原理，有共軛齒面間的最大接觸應(yīng)力為[18]

式中，P為兩共軛齒面間所受的正壓力；系數(shù)A和B通過式(32)和式(33)確定；μ1和μ2分別為漸開線圓柱蝸桿和斜齒輪材料的泊松比；E1和E2分別為漸開線圓柱蝸桿和斜齒輪材料的彈性模量，λa和λb分別為接觸橢圓沿長半軸和短半軸的軸長系數(shù)，由瞬時接觸橢圓的長半軸與短半軸的長度之比確定。

3.4 傳動副的重合度

重合度是傳動副實際嚙合線長度與單齒嚙合線長度的比值，直接影響著傳動副的承載能力和振動噪音。漸開線圓柱蝸桿斜齒輪傳動屬于點接觸空間傳動，重合度對其性能影響尤為重要。

通過接觸線方程式(6)可知，漸開線圓柱蝸桿與媒介齒條共軛的瞬時接觸線為一固定斜線，在嚙合過程中不發(fā)生變化；由接觸線方程式(19)可知，媒介齒條與漸開線斜齒輪嚙合的瞬時接觸線為一變化斜線，在嚙合過程中逐漸從齒頂變化至齒根；因此，漸開線圓柱蝸桿斜齒輪傳動副的嚙合過程如圖7所示。圖中，瞬時接觸線I為漸開線圓柱蝸桿與媒介齒條固定嚙合線，瞬時接觸線II為媒介齒條與漸開線斜齒輪的變化嚙合線；嚙入時的瞬時接觸線II與固定瞬時接觸線I的交點為傳動副的嚙入點Pin，嚙出時的瞬時接觸線II與固定瞬時接觸線I的交點為傳動副的嚙入點Pout。

圖7 傳動副齒面嚙合過程Fig.7 Meshing process of transmission pair tooth surface

根據(jù)重合度的廣義內(nèi)涵并結(jié)合漸開線圓柱蝸桿斜齒輪傳動的特點，其重合度ε可表示為

式中，φ1in和φ1out分別為嚙入點Pin和嚙出點Pout對應(yīng)的蝸桿轉(zhuǎn)角，并滿足以下等式條件：

式中，ra1和ra2分別為漸開線圓柱蝸桿和斜齒輪的齒頂圓半徑。

4 傳動副實例分析

基于上述嚙合性能分析方法，以某汽車座椅水平調(diào)節(jié)器上的漸開線圓柱蝸桿斜齒輪傳動副為例，對其展開嚙合性能分析。傳動副斜齒輪采的基本參數(shù)如表1所示。

表1 傳動副幾何參數(shù)Table 1 Geometric parameters of transmission pair

利用MATLAB數(shù)值分析軟件編制程序，以傳動副瞬時接觸點在漸開線斜齒輪齒面坐標(biāo)系中表達(dá)式(30)為基礎(chǔ)，以漸開線圓柱蝸桿轉(zhuǎn)角為循環(huán)變量，取齒面軸向坐標(biāo)z2為橫坐標(biāo)，取齒面徑向坐標(biāo)為縱坐標(biāo)，得傳動副在漸開線斜齒輪齒面上的接觸軌跡點如圖8所示；基于傳動副共軛齒面微觀鄰域特征數(shù)字和瞬時接觸橢圓表達(dá)式(31)，可得每一瞬時接觸點處的接觸橢圓長半軸如圖8中短實線所示。圖8中，每相鄰兩瞬時接觸點之間的蝸桿轉(zhuǎn)角φ1差值為90°。

圖8 傳動副理論接觸軌跡Fig.8 Theoretical contact trajectory of transmission pair

建立傳動副精確三維實體模型和有限元分析模型，漸開線圓柱蝸桿材料PEEK的彈性模量取3.8×109Pa、泊松比取0.4，斜齒輪材料45號鋼的彈性模量2.1×1011Pa、泊松比取0.27，對斜齒輪施加10 N·m扭矩進(jìn)行靜態(tài)接觸分析，傳動副單齒嚙合和兩齒嚙合時的齒面接觸狀態(tài)及接觸應(yīng)力情況如圖9所示。從圖9可以可見：傳動副瞬時接觸點位置及接觸橢圓長軸方向與圖8中數(shù)值分析結(jié)果一致，單齒接觸時共軛齒面間最大接觸應(yīng)力314.6 MPa。

以上述材料屬性為基礎(chǔ)，利用傳動副共軛齒面間的最大接觸應(yīng)力計算式(40)，得傳動副在單齒嚙合時共軛齒面間的最大接觸應(yīng)力為278.5 MPa，與有限元分析結(jié)果的相對誤差為13%。

圖9 傳動副齒面接觸狀態(tài)及應(yīng)力情況Fig.9 Contact state and contact stress

利用重合度計算公式(41)，并結(jié)合傳動副齒面接觸點計算程序，得傳動副的重合度ε=1.17。該重合度與圖8和圖9所示的結(jié)果一致。

傳動副中漸開線圓柱蝸桿采用注塑成型，漸開線斜齒輪采用滾齒加工，試制樣件后裝機(jī)運行后如圖10所示。圖10中，漸開線斜齒輪齒面的實際接觸痕跡與圖8和圖9所示的結(jié)果完全一致。

圖10 傳動副實際接觸痕跡Fig.10 Actual contact trace of transmission pair

5 結(jié)論

1)傳動副共軛齒面間呈瞬時理論點接觸，由于材料的彈性變形而形成瞬時接觸橢圓。

2)傳動副接觸軌跡在斜齒輪齒面上沿輪齒中部齒高方向傾斜分布，接觸橢圓的長軸方向與接觸軌跡方向基本保持垂直狀態(tài)。

3)傳動副共軛齒面間的接觸應(yīng)力大，適用于輕載領(lǐng)域。

4)傳動副的重合度小，與齒輪傳動一致，無法達(dá)到蝸桿傳動瞬時多齒接觸。