曹紅，孫同晶，王紅

廣義輪換測量矩陣及其在水下回波信號壓縮感知中的應(yīng)用

曹紅，孫同晶，王紅

(杭州電子科技大學(xué)通信信息傳輸與融合技術(shù)國防重點科學(xué)實驗室，浙江杭州 310018)

根據(jù)壓縮感知中測量矩陣的性質(zhì)及要求，在輪換確定性測量矩陣的基礎(chǔ)上，通過調(diào)整測量矩陣每一列元素的系數(shù)，增強(qiáng)列與列之間的相關(guān)性，得到廣義輪換測量矩陣，并將其應(yīng)用于水下回波信號的壓縮感知觀測中。通過無噪聲下不同測量矩陣匹配度和相對誤差隨壓縮比的變化，以及4、0、-3 dB三種信輸入噪比下不同測量矩陣的輸出信噪比、匹配度隨壓縮比的變化，分別對水下回波信號進(jìn)行處理，比較其性能。仿真結(jié)果表明，相比部分哈達(dá)瑪?shù)却_定性測量矩陣和以高斯為代表的隨機(jī)測量矩陣，廣義輪換測量矩陣在輸出信噪比、匹配度、相對誤差等方面有很大提高。同時廣義輪換矩陣為確定性測量矩陣，便于工程實現(xiàn)。

壓縮感知；水下回波信號；廣義輪換測量矩陣

0 引言

Shannon/Nyquist采樣定理[1](Nyquist采樣定理)作為模擬信號與數(shù)字信號之間的橋梁，幾十年來一直支撐并引導(dǎo)著現(xiàn)代信號處理各個領(lǐng)域的技術(shù)發(fā)展。該定理對信號采樣率的要求較高，為了不失真地恢復(fù)出原始信號，信號的采樣率一般不低于信號帶寬的兩倍。由于奈奎斯特采樣定理對信號采樣率的嚴(yán)格要求，一些難以克服的問題逐漸出現(xiàn)，如數(shù)據(jù)量過大、處理步驟多等。DONOHO等[2]、CANDèS等[3~4]在信號稀疏表示的基礎(chǔ)上提出了壓縮感知理論，克服了傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理在信號處理中的一些缺點，對信號的采樣和壓縮同時進(jìn)行處理。壓縮感知理論從低維空間出發(fā)處理信號，避免了在高維空間處理帶來的計算復(fù)雜度，此過程中測量矩陣起到關(guān)鍵性的作用。它把稀疏信號或者可壓縮的信號，從高維空間投影到一個低維空間上，然后采用一定的優(yōu)化方法從少量數(shù)據(jù)中恢復(fù)出原始信號。該理論在信號處理領(lǐng)域取得了重大突破，它解決了傳統(tǒng)采樣定理一些常見的不可避免的問題，如采樣數(shù)據(jù)量大、數(shù)據(jù)存儲空間大、采樣時間長等。該理論在圖像處理和信號處理方面為廣大學(xué)者打開了一扇新的大門，為研究者取得重大突破打下了良好的基礎(chǔ)。

壓縮感知分為3個方面：稀疏表示、測量矩陣和重構(gòu)算法。測量矩陣在其中起到關(guān)鍵性的作用，它不僅影響信號的采樣和重構(gòu)性能，而且在信號的壓縮感知中也起著必不可少的作用。在信號處理中，我們采用固定變量的原則，即采用固定的稀疏矩陣作為稀疏基，若重構(gòu)算法不變，采用不同的測量矩陣分別對信號進(jìn)行處理，測量矩陣的性能越好，則恢復(fù)原始信號的匹配度越大，相對誤差也會越小，根據(jù)能量守恒原理，為使恢復(fù)出的信號與原始信號的能量接近，測量矩陣必須滿足的一個條件是有限緊致特性[5](Restricted Isometry Property, RIP)，因此，信號恢復(fù)的匹配度和相對誤差與測量矩陣有著直接的關(guān)系。常用的測量矩陣有兩種：隨機(jī)測量矩陣和確定性測量矩陣。高斯矩陣[6]、貝努利矩陣[6-7]、稀疏投影矩陣[8]等是目前應(yīng)用廣泛的隨機(jī)測量矩陣。隨機(jī)測量矩陣的元素具有一定的隨機(jī)性，且每個元素獨立同分布，這使得隨機(jī)測量矩陣的非相關(guān)性很高，因此只需少量的測量數(shù)就可以恢復(fù)原始信號。已經(jīng)證實，此類隨機(jī)測量矩陣可在統(tǒng)計意義下以較高的概率滿足RIP。但隨機(jī)測量矩陣也存在著存儲空間大、計算量和時間復(fù)雜度大以及工程實現(xiàn)困難等不可避免的缺點。部分哈達(dá)瑪矩陣[9]、托普利茲矩陣[10]、多項式矩陣[11]等是目前應(yīng)用較多的確定性測量矩陣。與隨機(jī)測量矩陣相比，其元素具有一定的確定性，計算量低，易于硬件實現(xiàn)，缺點是與原始信號相比重構(gòu)效果較差，需要較多的測量數(shù)才能精確重構(gòu)信號。由此可見，確定性測量矩陣的性能與信號重構(gòu)的效果密切相關(guān)，因此構(gòu)造出自適應(yīng)的、滿足要求的確定性測量矩陣，使測量矩陣的性能得到提高是目前廣大研究者的研究方向。本文通過改進(jìn)輪換測量矩陣，修改每一列元素的系數(shù)得到廣義輪換矩陣，研究發(fā)現(xiàn)其列與列之間的非相關(guān)性有了很大提高。仿真實驗發(fā)現(xiàn)該測量矩陣用于水下回波信號處理中，恢復(fù)原始信號性能尤其在信噪比方面有了較大提高。

1 廣義輪換測量矩陣

1.1 輪換確定性測量矩陣

托普利茲矩陣是元素值為{-1,1}的隨機(jī)向量，且長度為+-1；輪換矩陣[11]和托普利茲矩陣在構(gòu)造方式上相似，其構(gòu)造方式為：第一行隨機(jī)生成元素為{-1,1}的向量，且長度為，然后依次循環(huán)得到剩下的-1行，其形式如式(1)所示：

從式(1)的結(jié)構(gòu)以及輪換矩陣的產(chǎn)生，我們得到：輪換測量矩陣是通過對第一行不斷循環(huán)得到第二行、第三行至第行。與托普利茲矩陣存儲長度為+-1的構(gòu)造向量相比較，輪換測量矩陣只需要存儲長度為的向量，更加節(jié)省空間；由于輪換矩陣是由第一行依次循環(huán)得到的，而第一行又是由隨機(jī)的-1或1組成的，因此輪換測量矩陣與托普利茲矩陣具有相近的性質(zhì)，且同樣滿足RIP條件。

1.2 輪換測量矩陣的改進(jìn)——廣義輪換測量矩陣

DONOHO等[12]提出的輪換測量矩陣有3個特征：(1) 測量矩陣的列與列之間要有一定的不相關(guān)性，即線性獨立；(2) 噪聲的不相干隨機(jī)性要在測量矩陣的列向量中得到體現(xiàn)；(3) 范數(shù)最小原則，即稀疏度的解最優(yōu)化原則。根據(jù)以上3個特征，有兩個問題存在輪換測量矩陣中：(1) 輪換測量矩陣的元素重復(fù)出現(xiàn)率較高，都是1或-1，且是隨機(jī)性出現(xiàn)，這使列向量之間非相關(guān)性也具有一定的隨機(jī)性，不容易控制；(2) 構(gòu)造方式單一，僅僅是由第一行不斷循環(huán)得到，列向量之間的不相干性很難把握，這使輪換測量矩陣的性能時好時壞，容易使相對誤差相差較大，不能與以高斯矩陣為代表的隨機(jī)測量矩陣相比較。

為了避免上述輪換矩陣出現(xiàn)的兩個問題，輪換矩陣在通過循環(huán)產(chǎn)生時，對測量矩陣列向量與列向量間元素的系數(shù)進(jìn)行修改，產(chǎn)生新的矩陣——廣義輪換測量矩陣，從而減少相干性，提高矩陣列向量之間類似噪聲的不相干隨機(jī)性和非相關(guān)性。

由上面得到的廣義輪換矩陣的結(jié)構(gòu)及分析可知，列向量之間的相關(guān)性明顯減小，非線性相關(guān)性有了很大的提高，同時由于結(jié)構(gòu)的相似性，輪換測量矩陣滿足RIP條件，因此廣義輪換測量矩陣同樣滿足RIP條件。

2 廣義輪換矩陣在水下回波信號中的應(yīng)用

2.1 信號重構(gòu)衡量標(biāo)準(zhǔn)

(1) 信噪比：

(2) 匹配度：

(3) 相對誤差：

2.2 仿真實驗分析

為了驗證本文提出的廣義輪換矩陣，選擇離散余弦變換[14]作為稀疏矩陣，選擇正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)[15-16]方法作為重構(gòu)算法，對圖1所示的不同信噪比的回波信號進(jìn)行壓縮重構(gòu)，選取不同的測量數(shù)，將高斯測量矩陣、伯努利測量矩陣、部分哈達(dá)瑪測量矩陣、托普利茲測量矩陣分別與廣義輪換測量矩陣進(jìn)行對比分析。

圖1 不同信噪比下3個亮點的原始回波信號

圖2是無噪聲下不同測量矩陣匹配度和相對誤差隨壓縮比的變化圖。

從圖2(a)可以看出無噪聲下不同測量矩陣的匹配度都隨壓縮比的增加而增加，增長的幅度各有不同，在壓縮比較小時托普利茲矩陣的匹配度相對較小，為了不影響圖的整體效果沒參與比較，而廣義輪換矩陣的匹配度在壓縮比較小時與高斯矩陣、伯努利矩陣、部分哈達(dá)瑪矩陣相比不占優(yōu)勢，而優(yōu)于托普利茲測量矩陣，但隨著壓縮比的不斷提高，廣義輪換矩陣的匹配度有很大提高，明顯優(yōu)于其它測量矩陣。從圖2(b)中可以看出無噪聲下各測量矩陣的相對誤差隨著壓縮比的增大而減小。相對誤差上，廣義輪換測量矩陣明顯比其他測量矩陣小，隨著壓縮比的增大，各測量矩陣的相對誤差逐漸接近。

圖2 無噪聲下不同測量矩陣匹配度和相對誤差隨壓縮比的變化

針對不同信噪比的回波信號采用上述幾種測量矩陣的處理結(jié)果如圖3～5所示。仿真結(jié)果表明，在信噪比上，廣義輪換測量矩陣的提高量比其他測量矩陣的提高量都高，且隨著壓縮比的不斷提高，信噪比也比其它測量矩陣呈現(xiàn)一定的提高。匹配度上，相比其它測量矩陣，廣義輪換矩陣也有一定的提高，但不是很明顯。但是由于廣義輪換矩陣是確定性測量矩陣，在工程實現(xiàn)上具有重要的實現(xiàn)意義。

為了進(jìn)一步比較廣義輪換矩陣與其它矩陣在不同壓縮比情況下的性能指標(biāo)，表1～3給出了在輸入不同信噪比且壓縮比/=0.1和/=0.5(為測量數(shù)，為原始信號數(shù)據(jù))兩種情況下的輸出信噪比和匹配度的變化情況。從表中可以看出，當(dāng)測量數(shù)較低時，廣義輪換矩陣相比其他測量矩陣在信噪比和匹配度上有一定的提高，有略微的優(yōu)勢，當(dāng)壓縮比較大時，廣義輪換矩陣在重構(gòu)性能指標(biāo)上有較大提高，尤其在信噪比方面。

圖5 回波信噪比為-3dB時不同測量矩陣的輸出信噪比和匹配度隨壓縮比的變化

表1 輸入信噪比為4 dB時不同測量矩陣輸出指標(biāo)隨壓縮比的變化

表2 輸入信噪比為0 dB時不同測量矩陣輸出指標(biāo)隨壓縮比的變化

表3 輸入信噪比為-3 dB時不同測量矩陣輸出指標(biāo)隨壓縮比的變化

3 總結(jié)

本文主要討論了廣義輪換矩陣，在輪換矩陣的基礎(chǔ)上，通過修改每一列元素的系數(shù)來增強(qiáng)列與列之間的非相關(guān)性。通過廣義輪換測量矩陣在水下回波中的應(yīng)用，與高斯矩陣，伯努利矩陣等隨機(jī)測量矩陣和部分哈達(dá)瑪矩陣，托普利茲矩陣等確定性測量矩陣相比較。在有噪聲及無噪聲條件下，從仿真結(jié)果及重構(gòu)原始信號的指標(biāo)可以看出，廣義輪換測量矩陣比其它測量矩陣在性能指標(biāo)上有較大的提高；尤其在信噪比方面，當(dāng)壓縮比較小時信噪比的提高較小，隨著壓縮比的提高，信噪比的提高逐漸增大。另外，廣義輪換矩陣是根據(jù)條件自適應(yīng)產(chǎn)生的，屬于確定性測量矩陣，易于工程的硬件實現(xiàn)。

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Generalized rotation measurement matrix and its application in underwater echo signals

CAO Hong, SUN Tong-jing,WANG Hong

(Fundamental Science on Communication Information Transmission and Fusion Technology Laboratory, Hangzhou 310018, Zhejiang, China)

According to the properties and requirements of the measurement matrix in compressed sensing, a generalized rotation measurement matrix based on the rotation deterministic measurement matrix is proposed by adjusting the coefficients of each column element of the measurement matrix to enhance the correlation between columns, and it is applied to compressed sensing observations of underwater echo signals. By observing the variations of the matching degree and relative error with compression ratio in the condition of noise free, and the variations of the matching degree and output SNR with compression ratio in the condition of input SNR = 4, 0 and-3 dB, the performances of different measurement matrices in underwater echo signals processing are compared. Simulation results show that compared with some deterministic measurement matrices such as Hadamard and the random measurement matrices represented by Gaussian, the generalized rotation measurement matrices have a great improvement in output signal-to-noise ratio, matching degree and relative error. Also the generalized rotation matrix is a deterministic measurement matrix, which is convenient for engineering implementation.

compressed sensing; underwater echo signal; generalized rotation measurement matrix

TN911.7

A

1000-3630(2019)-06-0623-06

10.16300/j.cnki.1000-3630.2019.06.004

2018-04-24;

2018-07-05

“十三五”預(yù)研領(lǐng)域基金項目(6140243010116DZ04001)資助

曹紅(1990－), 男, 安徽阜陽人, 碩士研究生, 研究方向為信息融合與信息處理。

孫同晶,E-mail: stj@hdu.edu.cn