張曉霞

[摘要]雖然學(xué)生的錯(cuò)誤資源往往可以成為重構(gòu)知識的契機(jī)，但是錯(cuò)誤可以形成免疫，也可以帶來偏執(zhí)。因此，面對一些有可能形成思維定式的“坑洞”，必須追根溯源，從知識的來歷講起，重組知識結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生辨明知識生成的始末，切實(shí)提升教學(xué)效率。

[關(guān)鍵詞]近似數(shù);十萬位;萬位;保留數(shù)位;取值

[中圖分類號]G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）32-0034-02

偶然的機(jī)會，讀到一篇教研論文，題目為《著急的明理，草率的回歸》（以下簡稱文1），針對發(fā)表在同一期刊上的另一篇論文《惑于始，解于端》中提及的一道練習(xí)題發(fā)表論述，而這道題又是出自另一篇論文《是什么、為什么、怎么辦》的論點(diǎn)，三篇高質(zhì)量的論文跨時(shí)空論戰(zhàn)，各有千秋。

對于文1中的觀點(diǎn)和處理策略，筆者深表贊同。在實(shí)際教學(xué)中，筆者曾出示一道同類題：某整數(shù)取近似值是10萬，請你推測出原數(shù)的可能范圍。被調(diào)查的80名學(xué)生中，竟然有50人不約而同地填寫“95000～104999”，只有5人填寫“50000～149999”，余下是其他答案。

一、追查錯(cuò)因

這道題之所以難倒一批學(xué)生，究其原因，其一是學(xué)生受到類似“把一個(gè)整數(shù)保留到萬位后取值10萬”題型的誤導(dǎo)，后面遇到的所有練習(xí)題都下意識地參照此解題過程，因而得出“95000～104999”的答案;其二是多數(shù)學(xué)生陷入經(jīng)驗(yàn)陷阱，看到大寫的“萬”字，就想當(dāng)然地以為這個(gè)整數(shù)是保留到“萬”位，遵從“四舍五入”法，那就需要審查千位上的數(shù)字來判斷究竟是該“四舍”還是“五入”;其三是有些學(xué)生認(rèn)為“有一個(gè)整數(shù)，把它保留到萬位后是10萬……”和“有一個(gè)整數(shù)，把它保留數(shù)位后是10萬……”兩種表述大意相同，實(shí)則理解有誤;其四是教師的教學(xué)存在缺漏，多數(shù)學(xué)生對這部分知識是“一題一得，一事一議”，生搬硬套，沒有做到融會貫通、舉一反三。尤其是出現(xiàn)這種需要反向推理的題型時(shí)，學(xué)生理解起來更加困難;其五是出題人超前出題。課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：會用萬、億為單位表示大數(shù)。按照課程標(biāo)準(zhǔn)的指示，并未刻意避開“單位”的近似數(shù)這一提法，人為提高準(zhǔn)入門檻。筆者還查了本冊教材制訂的所有教學(xué)目標(biāo)，可以確定這樣一個(gè)總目標(biāo)：使學(xué)生學(xué)會用“四舍五入”法省略小于一億的數(shù)萬位之后的尾數(shù)，來求近似值。

二、追根溯源

1.爭辯

筆者出示原題：

1.某整數(shù)，保留數(shù)位后取近似值是10萬，這個(gè)數(shù)的原值范圍上限是（ ），下限是（ ）。

2.某整數(shù)，保留到萬位后取近似值是10萬，這個(gè)數(shù)的原值范圍上限是（ ），下限是（ ）。

師：上面兩道題有區(qū)別嗎？

生1：有，一個(gè)明確規(guī)定要保留到萬位，一個(gè)則沒有作此規(guī)定。

生2：第1題盡管沒有注明要保留到萬位，但10后面連綴了一個(gè)“萬”字，暗示要保留到萬位。

生3：我不同意生。的說法，“10萬”只能代表取近似值后的數(shù)值。

2.感悟

于是，筆者將“10萬”寫在黑板上。

師：“10萬”去掉單位萬，改寫成阿拉伯?dāng)?shù)字是什么？

生4：100000。

生5：刪除“萬”字，再添補(bǔ)4個(gè)0即可。

師：照這樣，“某整數(shù)，保留數(shù)位后取近似值是10萬”是否等價(jià)于“某整數(shù)，保留數(shù)位后取近似值是100000”？

生6：等價(jià)。

師：好，按照這種邏輯，那“某整數(shù)，保留數(shù)位后取近似值是100000”，沒有了“萬”字，誰來說一說，你覺得這個(gè)近似值保留到了哪一位？

生7：十萬位，因?yàn)檫@個(gè)數(shù)的最高位是十萬位。

生8：從萬位開始都是0。根據(jù)“四舍五入”法可知，當(dāng)萬位上的數(shù)小于等于4時(shí)，則將萬位上的數(shù)字舍去;當(dāng)萬位上的數(shù)大于等于5時(shí)，則先向前進(jìn)位后再歸零。無論萬位上的0是什么來歷，總之必須清零。于是推知，是將原數(shù)保留到了十萬位。

師：保留到十萬位，主要取決于哪一位上的數(shù)字？

生9：萬位。

師：檢索最大值時(shí)，萬位上的數(shù)字可能出現(xiàn)哪些情況？

師：那么萬位后面的數(shù)字怎么設(shè)置呢？可以設(shè)想哪些數(shù)？

（學(xué)生匯報(bào)后，填寫下表）

師：檢索最小值時(shí)，萬位上的數(shù)字存在哪些情況？這時(shí)，萬位之后的各位上怎么設(shè)置數(shù)字？

（學(xué)生匯報(bào)后，填寫下表）

3.明理

師：“某整數(shù)，保留數(shù)位后是10萬，請你寫出它的取值范圍”，應(yīng)該怎么設(shè)想呢？

生10：大于50000，小于149999。

生11：不對，正確答案應(yīng)是大于或等于50000，小于或等于149999。

師：如果用x表示這個(gè)數(shù)，那么可以用不等式表示取值范圍為50000≤x≤149999。

師：請大家細(xì)致觀察以上表格，依照這種思路，誰能敘述一下操作方法？

生12：看表可知，保留到十萬位后的近似數(shù)是10萬，檢索最大值時(shí)，實(shí)際值超過十萬，用的是“四舍”法，萬位上最大可取值4，其余數(shù)位最大均可取值9。

生13：看表可知，保留到十萬位是10萬，檢索最小值時(shí)，十萬位上的數(shù)字可以為0，即十萬位缺位，原數(shù)小于10萬，此時(shí)采用的是“五入”法，萬位上的數(shù)必須大于5，由于是最小值，因此萬位上最小可取值5，其余數(shù)位最小均可取值0。

生14：我發(fā)現(xiàn)十萬位上的數(shù)字有規(guī)律，檢索最大值時(shí)維持原狀不變，檢索最小值時(shí)則要減1。

生15：我發(fā)現(xiàn)表格中萬位上的數(shù)字也有規(guī)律，縱向看恰好是0～9，合計(jì)10個(gè)數(shù)字。檢索最大值時(shí)取4，檢索最小值時(shí)取5。

生16：看題目有無明確提出保留到哪一位，具體情況具體分析。

師：好一個(gè)“具體情況具體分析”。遇到這類題目時(shí)切不可操之過急，一定要沉著冷靜，關(guān)鍵是分清這個(gè)近似數(shù)是保留到了哪一位，這才是正確解題的法寶。其次我們可以利用表格來解題。

三、課后反思

對待每一節(jié)課，教師都要“三思”：第一思，你要把學(xué)生引向何處？第二思，你采用什么引路方式？第三思，你如何確認(rèn)已經(jīng)達(dá)到目的？

“把學(xué)生引向何處？”——筆者對學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和學(xué)情嚴(yán)重誤判，主觀臆測成分偏多，沒能統(tǒng)籌兼顧到全體學(xué)生，在頂層設(shè)計(jì)上無法做到在基本層面上施策，只是片面強(qiáng)調(diào)了“四舍五入”法的取值法則?！安捎檬裁匆贩绞?？”——對于給出一個(gè)近似數(shù)檢索出原數(shù)的取值范圍的題型，筆者沒有充分考慮到需要逆向思維才能解答的題型特征，沒能搭設(shè)好催化逆向思維的知識鏈條，導(dǎo)致學(xué)生自主探究和反思時(shí)欲速不達(dá)，教學(xué)手段和策略無法施行到位，大大降低了學(xué)習(xí)效果?！叭绾未_認(rèn)已經(jīng)達(dá)到目的？”——筆者只是“就題論題”，沒有舉一反三。

平素教學(xué)時(shí)，我們只將“四舍五入”法教給學(xué)生，這種程式化的操作自帶了一些基本要件，那就是必須明確告知保留到哪一位數(shù)字。如，整數(shù)297800，精確到萬位，結(jié)果是300000;改寫成以“萬”作單位的數(shù)，結(jié)果是30萬;精確到十萬位，結(jié)果是300000;改寫成以“十萬”作單位的數(shù)，結(jié)果仍是30萬，保留結(jié)果和改寫結(jié)果竟然毫無區(qū)別。改寫單位時(shí)，如果精確到哪一位就以哪一位作單位的話也好區(qū)分，如300000（精確到萬位）就寫成“30萬”，300000（精確到十萬位）就寫成“3十萬”，但是，計(jì)數(shù)單位一般只有“萬”“億”等，所以沒有“3十萬”這種改寫法，于是在沒有指明精確度的逆向推導(dǎo)時(shí)，就會產(chǎn)生歧義。因此，對于上文中的例題，還原成阿拉伯?dāng)?shù)字更便于觀察，可以作兩種理解，然后取最大范圍，因?yàn)?5000到104999這個(gè)區(qū)間包含于50000到149999這個(gè)區(qū)間，所以正確答案應(yīng)該是50000到149999之間。

基于以上認(rèn)識，在學(xué)生充分辯論、探析后，為了確認(rèn)已經(jīng)達(dá)到目的，筆者又增設(shè)了應(yīng)用、提示和拓展三個(gè)層級的鞏固練習(xí)。通過以上改進(jìn)舉措，學(xué)生對這一知識點(diǎn)達(dá)到純熟的程度。

（責(zé)編 李琪琦）