朱群

一、案例背景

眾所周知，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要概念之一，函數(shù)的思想和方法貫穿了整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)，教學(xué)要求用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言刻畫函數(shù)概念，教學(xué)要通過(guò)對(duì)函數(shù)概念的理解，讓學(xué)生達(dá)到從直觀感知到抽象思維的發(fā)展，難度較高。

二、案例描述

師：（大家好！）這節(jié)課我們要學(xué)習(xí)函數(shù)，初中已經(jīng)學(xué)過(guò)函數(shù)，大家能不能舉例幾個(gè)例子說(shuō)明什么是函數(shù)？

生1：買作業(yè)本，需要付的錢隨作業(yè)本的數(shù)量變化而變化，付的錢是作業(yè)本的函數(shù)。

生2：早上上學(xué)離開家的距離和時(shí)間成正比例函數(shù)。

生3：y = 2x+1

師：不錯(cuò)，剛剛大家已經(jīng)舉了一些函數(shù)的例子，那我們來(lái)看看課本上的例子（多媒體展示）。

（課本例題）：一枚炮彈發(fā)射后，經(jīng)過(guò)26s落到地面擊中目標(biāo).炮彈的射高為845m，且炮彈距地面的高度h（單位：m）隨時(shí)間t（單位：s）變化的規(guī)律是h=130t-5t2炮彈距地面高度h是時(shí)間t的函數(shù)嗎？為什么？

幾何畫板演示：函數(shù)圖像上的動(dòng)點(diǎn)P標(biāo)出橫、縱坐標(biāo)，拖動(dòng)點(diǎn)P，顯示時(shí)間和高度，直觀反映炮彈距離地面的高度隨時(shí)間t的變化情況。

（學(xué)生的眼神亮了）

生：（眾答）炮彈距地面的高度h是時(shí)間t的函數(shù)。

師：炮彈的高度h隨飛行時(shí)間t的變化而變化，所以炮彈距地面高度h是飛行時(shí)間t的函數(shù)。飛行時(shí)間t的變化范圍是數(shù)集A={t|0≤t≤26}，炮彈距地面的高度h的變化范圍是數(shù)集B={h|0≤h≤845}，數(shù)集A中的任意一個(gè)時(shí)間t，在數(shù)集B中都有唯一的高度h和它對(duì)應(yīng)。

師：現(xiàn)在老師給出3個(gè)問(wèn)題（PPT展示）。

問(wèn)題1：體檢時(shí)的心電圖，圖上點(diǎn)的橫坐標(biāo)x表示時(shí)間，縱坐標(biāo)y表示心臟部位的生物電流，y是不是x的函數(shù)？

激勵(lì)討論后，各組代表陳述觀點(diǎn)：

組1代表：1是函數(shù)，2也是函數(shù)，因?yàn)榭梢杂脠D象表示。

組2代表：1是函數(shù)，2不是函數(shù)，感覺有詐，但說(shuō)不出來(lái)。

組3代表：同意一組觀點(diǎn)。

組4代表：1是函數(shù)，2不是函數(shù)，函數(shù)中y隨x的變化而變化，（上講臺(tái)指圖）可是這一段中，x逐漸增大的時(shí)候，y不知道咋個(gè)取值。

組5代表：網(wǎng)紅心電圖不是函數(shù)，心形部分y的變化有增加，有減小，不知道該算哪一段（指圖發(fā)言）。考試成績(jī)是考試次數(shù)的函數(shù)，成績(jī)隨次數(shù)變化而變化。V組6代表：網(wǎng)紅心電圖不是函數(shù)，成績(jī)也不是，因?yàn)闆]有解析式，也沒有圖像。

組7代表：同意六組結(jié)論。

師：各組都發(fā)表了自己的意見，到底是不是函數(shù)拿什么作為依據(jù)？這幾個(gè)題拿初中的定義來(lái)判斷似乎有點(diǎn)為難，那怎么辦？

生：（眾答）看書。（笑）

（學(xué)生閱讀）

一般地，我們有：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)（function），記作：y=f（x）

其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域（domain），與X的值相對(duì)應(yīng)Y值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫作函數(shù)的值域。

師：拿題目1對(duì)比，A相當(dāng)于什么？

生4：（指圖）這一段時(shí)間，測(cè)心電圖的這段時(shí)間。

師：B相當(dāng)于什么？

生5：（指圖）這部分生物電流職。

師：對(duì)應(yīng)關(guān)系f是什么？

生：（猶豫）……

師：不太確定？這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系能不能理解為這是圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系？

生6：可以。但寫不出解析式。

師：一定要有解析式嗎？課本定義如何描述？

生7：確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。喔，所以不一定要有解析式。

師：集合A中的任意一個(gè)時(shí)間x，能否在B中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)？

生8：能。

師：所以結(jié)論是？

生：（眾答）是函數(shù)。

師：題目1中，任意一個(gè)時(shí)間，都能找到唯一的y值，生物電流和它對(duì)應(yīng)，y是x的函數(shù)。

師：現(xiàn)在根據(jù)定義，請(qǐng)一組糾錯(cuò)問(wèn)題2。

組1代表：題目2中，心形位置，一個(gè)時(shí)間，有幾個(gè)y值和它對(duì)應(yīng)，y不是x的函數(shù)。

師：請(qǐng)六組糾錯(cuò)問(wèn)題3。

組6代表：一次考試對(duì)應(yīng)一個(gè)成績(jī)，是函數(shù)。

師：非常好，如果例3中，在第三次考試的時(shí)候，王同學(xué)生病請(qǐng)假了，沒有成績(jī)，請(qǐng)問(wèn)，王同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)是不是考試次數(shù)的函數(shù)？

生9：不是函數(shù)，第三次考試沒有對(duì)應(yīng)的。

師：非常好，A中的元素3沒有和它對(duì)應(yīng)的值，我們?cè)賮?lái)解讀概念中的關(guān)鍵詞？

生10：兩個(gè)非空的數(shù)集A、B，對(duì)應(yīng)關(guān)系f，任意一個(gè)數(shù)，唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)。

概念探究結(jié)束。

三、案例分析

“以學(xué)為主”的課堂教學(xué)絕非“學(xué)為中心”，也非“教為中心”，而是教與學(xué)的有效結(jié)合，教學(xué)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體性，通過(guò)學(xué)生探索、學(xué)習(xí)獲得新知，形成學(xué)科思維。教師在課堂教學(xué)中充當(dāng)?shù)慕巧且龑?dǎo)者，設(shè)置合理有效的問(wèn)題，是課堂教學(xué)有效性的保障。

1.問(wèn)題情境創(chuàng)新化，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

高中數(shù)學(xué)課的通病是課堂氣氛不活躍，學(xué)生不愿意回答問(wèn)題，其深層次的原因是老師在問(wèn)題設(shè)置中沒有創(chuàng)新，學(xué)生興趣沒有被激發(fā)，難以融入課堂。創(chuàng)新型問(wèn)題情境，能引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知和對(duì)課堂濃厚的興趣，激發(fā)學(xué)生思維，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)動(dòng)力，從而達(dá)到以學(xué)為主的目的。

2.問(wèn)題設(shè)置基礎(chǔ)性，注重探究問(wèn)題本質(zhì)

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017版）中指出：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過(guò)程中逐步形成和發(fā)展的。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包含：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。數(shù)學(xué)抽象是指通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表征。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)教學(xué)活動(dòng)是學(xué)科素養(yǎng)培養(yǎng)的主要途徑。對(duì)大部分學(xué)生而言，高中數(shù)學(xué)概念比較抽象，自主學(xué)習(xí)往往不知所措，找不到研究問(wèn)題的入手點(diǎn)，也難深究其本質(zhì)，沒有形成良好的數(shù)學(xué)思維，因而達(dá)不到高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求，因此，概念教學(xué)中要注重體現(xiàn)基本概念的形成過(guò)程，從學(xué)生認(rèn)知出發(fā)，設(shè)置基礎(chǔ)性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探究概念的本質(zhì)，使學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)概念，促使學(xué)生準(zhǔn)確理解和掌握概念，提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力。

3.問(wèn)題設(shè)置層次化，引導(dǎo)學(xué)生探究新知

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中強(qiáng)調(diào)返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì)。數(shù)學(xué)課堂要講邏輯推理，更要講道理，通過(guò)典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐漸形成的過(guò)程，體會(huì)蘊(yùn)含在其中的思想方法，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)。高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，問(wèn)題設(shè)置層次化的目的在于引導(dǎo)學(xué)生由淺入深，一步一步發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)思維模式。問(wèn)題之間要合理的銜接，要有啟發(fā)性，要照顧到不同層次的學(xué)生，讓所有學(xué)生都“有事做”，能思考，積極參與到課堂教學(xué)中。

學(xué)習(xí)的有效性依賴于學(xué)生愿不愿學(xué)，當(dāng)學(xué)生能自覺參與和思考，學(xué)習(xí)的有效性自然就提高了?！耙詫W(xué)為主”的課堂模式中，合理、有效地預(yù)設(shè)問(wèn)題，為學(xué)生探究問(wèn)題明確方向，讓學(xué)生在探究中體驗(yàn)成功的快樂，并逐漸構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。

（作者單位：云南省昆明市第三十中學(xué)）