摘?要：向量是建立代數(shù)、函數(shù)、幾何問題之間聯(lián)系的紐帶，作為一種解題方法在簡化相應(yīng)問題、提升解題效率上非常實(shí)用，文章主要探討向量法在幾何命題、三角函數(shù)、不等式以及動點(diǎn)軌跡四個(gè)方面的應(yīng)用，最后給出了在解析幾何教學(xué)中的幾點(diǎn)建議。

關(guān)鍵詞：向量法;代數(shù)化;動點(diǎn)軌跡;Matlab軟件

中圖分類號：O182?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

解析幾何是數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課，可以說是其他數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)，是高等數(shù)學(xué)類課程的基石。線性代數(shù)，數(shù)學(xué)分析，常微分方程等課程的學(xué)習(xí)都離不開解析幾何的基本知識及研究方法。其基本思想是用代數(shù)的方法來研究幾何，數(shù)學(xué)家笛卡兒曾說過：一切問題最終都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，一切問題可轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行研究，雖然這種說法過于絕對，但是很好地說明了用代數(shù)中的方法去研究幾何問題的重要性。為了把代數(shù)里涉及的運(yùn)算引進(jìn)到幾何中，最根本的做法就是設(shè)法把空間的幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)的代數(shù)化、數(shù)量化。

幾何中最基本的單位是“點(diǎn)”，點(diǎn)成線、線成面、面成體，而代數(shù)中最基本的單位是“數(shù)”，要建立幾何與代數(shù)之間的關(guān)系，就需要建立“點(diǎn)”與“數(shù)”之間的關(guān)系，即借助空間坐標(biāo)系來實(shí)現(xiàn)[1]。

向量是一個(gè)既有大小又有方向的矢量，通過直角坐標(biāo)系可以將向量的分量分別給出，因此在研究幾何問題中起著重要的作用。本文主要介紹利用向量求解四類幾何問題。

一、向量方法在幾何命題證明中的應(yīng)用

傳統(tǒng)的幾何命題都是利用已知條件之間的各種變換和構(gòu)造輔助線來證明，這種方法往往復(fù)雜，如果找不到隱含的信息，則無從下手，但是利用向量法卻事半功倍。

例1：利用向量法證明四面體對邊中點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)且互相平分。

二、向量法在三角函數(shù)中的應(yīng)用（正弦、余弦定理）

正弦、余弦定理的證明方法有很多[2-3]，比如做輔助線和外接圓，在高中對于學(xué)生來說是非常困難的，證明過程復(fù)雜、懊悔難懂，一般情況下只有記憶公式?jīng)]有理解，在大學(xué)的學(xué)習(xí)中講解了向量的數(shù)量積和向量積之后，作為向量的應(yīng)用外拓，利用向量法證明，學(xué)生理解得更透徹，進(jìn)而對學(xué)習(xí)向量法產(chǎn)生興趣。

三、向量法在不等式中的應(yīng)用

柯西——施瓦茲不等式有著非常廣泛的應(yīng)用，如求函數(shù)極值、求解方程、求解三角與幾何問題等方面，證明方法有直接法和三角函數(shù)變換證明[4]，構(gòu)造二次函數(shù)法、歸納法、配方法[5]等，向量法證明相對于上述方法更簡單易懂。

四、向量方法在動點(diǎn)軌跡中的應(yīng)用

例4：把一根線繞在一個(gè)固定的圓周上，將線頭拉緊后向反方向旋轉(zhuǎn)，以把線從圓周上解放出來，使得放出來的部分成為圓的切線，求線頭的軌跡方程。

分析：若將線頭的軌跡方程以普通方程的形式表示，顯然是非常困難且不容易求解的，并且軌跡方程不唯一，但是如果利用向量法來求解動點(diǎn)的軌跡方程，是比較簡單的，只需要理解線頭動之前和動之后的向量關(guān)系，那么求解過程簡單直接，降低了問題的難度。

這種曲線叫做圓的漸伸線或者切展線，在工業(yè)上常被稱作齒輪曲線[6]。利用向量的方法求解類似的問題，如內(nèi)旋輪線、外旋輪線等問題的動點(diǎn)軌跡亦是非常簡便的。

在解析幾何教學(xué)中筆者有以下三點(diǎn)建議：

一是解析幾何是一門比較抽象的課程，課前應(yīng)給學(xué)生提供相應(yīng)的學(xué)習(xí)材料，如慕課資源，課中講解應(yīng)啟發(fā)式的指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，使學(xué)生將高中知識與大學(xué)知識銜接起來，而不是脫節(jié);

二是解析幾何中有很多的運(yùn)算，包括向量的運(yùn)算和直線、平面的方程求解、直線與平面之間的關(guān)系等，在學(xué)習(xí)的過程中應(yīng)注重學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)，避免出現(xiàn)上課聽著會考試不會的情況發(fā)生;

三是學(xué)生對于空間中的幾何圖形比較陌生，在上課的時(shí)候鍛煉學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，比如在空間中，方程x2+y2=1代表圓柱，學(xué)生第一反應(yīng)是圓，因此在平時(shí)的教學(xué)活動中應(yīng)適當(dāng)?shù)睦肕atlab軟件演示一些幾何圖形，這樣學(xué)生容易理解、記憶深刻，而且在無形中向?qū)W生介紹了Matlab軟件，這對學(xué)生后期的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。比如心形線極坐標(biāo)方程r=a（1-sinθ），a是常數(shù)。代碼為：

clc;clear

%r=2（1-sin（theta））

theta=[0：0.01：2*pi];

polar（theta，2*（1-sin（theta）），'-k'）

polar（theta，2*（1-sin（theta）），'-ok'）

title（'極坐標(biāo)系下的心形線'）

方程中取a=2運(yùn)行之后可以得到如下圖形，這樣更直觀的可以理解圖形為什么稱為心形線，這樣的圖形在解析幾何中還有很多。

五、結(jié)語

以上是向量法在四類問題中的應(yīng)用以及在教學(xué)中的三點(diǎn)建議，當(dāng)然向量法還有很多應(yīng)用，比如求解直線方程，求解平面方程，求解定比分點(diǎn)問題等等，在此不一一列舉。向量法為求解上述問題提供了一種新途徑，使得解題思路簡單，化難為易，事半功倍。

參考文獻(xiàn)：

[1]滕吉紅，等.淺析高等數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的思維觀和方法論[J].高等數(shù)學(xué)研究，2020，23（4）：124-127.

[2]趙冬梅.正弦定理、余弦定理的證明方法探究[J].西北成人教育學(xué)報(bào)，2012，6，137-140.

[3]宋現(xiàn)印.深入應(yīng)用領(lǐng)域，探討向量解法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019，10，78-79.

[4]龔加安.柯西不等式的證明及幾何解釋[J].讀與寫雜志，2018，15（12）：34-35.

[5]黃韜，顧華強(qiáng).柯西不等式的證明與應(yīng)用.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（3）：108-109.

[6]呂林根，許子道.解析幾何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

作者簡介：蘇曉璐（1989—?），女，回族，寧夏人，碩士，助教，研究方向：偏微分方程數(shù)值解法。