張濤 鄭曉剛 湯祎麒 李怡慶 尤延鋮

摘要：基于傳統(tǒng)吻切理論，本文提出了一種非軸對稱吻切技術(shù)，并在此基礎(chǔ)上，完善了傳統(tǒng)二維特征線技術(shù)，可對復(fù)雜三維曲面激波進(jìn)行逆向求解。通過事先指定三維激波曲面形狀，根據(jù)氣流方向與激波曲面當(dāng)?shù)厍史较?，能夠求出各離散激波點(diǎn)對應(yīng)的離散微吻切平面。以該微吻切平面與激波曲面的交線作為各微吻切平面內(nèi)的激波形狀，利用已知激波求解流場的二維逆向特征線法對各微吻切平面的流場進(jìn)行求解，隨后將各離散微吻切平面內(nèi)獲得的壓縮型線進(jìn)行組合，獲得能夠生成指定復(fù)雜三維曲面激波的壓縮型面。研究結(jié)果表明，基于非軸對稱吻切技術(shù)的三維激波逆向求解方法能夠很好地求解出生成指定三維激波曲面的乘波構(gòu)型，激波形狀吻合度較高；運(yùn)用該逆向設(shè)計(jì)方法求解獲得的截面流場信息與數(shù)值模擬結(jié)果相似度較高，其流場分布表現(xiàn)出相同的規(guī)律，但在增壓比的預(yù)測上存在一定的誤差，主要集中在遠(yuǎn)離對稱面三維效應(yīng)明顯處，最大誤差約為8.4%，可見該逆向乘波設(shè)計(jì)方法的精度基本滿足要求。另外，針對特定的二次錐面激波方程，設(shè)計(jì)截面內(nèi)激波曲線越高，乘波體的升阻比越低。

關(guān)鍵詞：非軸對稱吻切技術(shù)；特征線；乘波體；升阻比；逆向設(shè)計(jì)

中圖分類號：V211.3文獻(xiàn)標(biāo)識碼：ADOI：10.19452/j.issn1007-5453.2020.11.005

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（51276151，91441128）；基礎(chǔ)科研項(xiàng)目（B1420133058）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)（20720140540）；江西省教育廳科技項(xiàng)目（GJJ190523）

近空間飛行器的設(shè)計(jì)和開發(fā)是目前國際航空航天領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，同時(shí)也是各國競相爭奪空間技術(shù)的焦點(diǎn)之一[1-5]。盡管國內(nèi)外大量學(xué)者就此類問題進(jìn)行了詳細(xì)的研究，但是仍然存在一些亟待解決的問題。其中飛行器的升阻力特性因其直接決定了飛行器的氣動性能，并且通過傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法很難構(gòu)造出具有高升阻力特性的飛行器機(jī)體，因此該問題長期以來受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。區(qū)別于亞聲速流動，超聲速流動最顯著的特征在于流場中存在激波，流場中的激波一方面給飛行器帶來了額外的激波阻力，但另一方面，氣流經(jīng)過激波后能夠?qū)崿F(xiàn)減速增壓的特點(diǎn)，從而為飛行器部件中需要高壓的區(qū)域提供合適的氣流，如飛行器機(jī)體下表面或吸氣式推進(jìn)系統(tǒng)的內(nèi)流通道等。

利用超聲速流動具有激波的優(yōu)勢，Nonweiler[6]首次提出運(yùn)用二維斜激波波后流場設(shè)計(jì)飛行器機(jī)體，該機(jī)體前緣產(chǎn)生的斜激波能夠完全附著于機(jī)體下表面，從而抑制下表面氣流于機(jī)體邊緣處上洗至上表面導(dǎo)致升力缺失，較好地解決了飛行器升阻力的問題。該設(shè)計(jì)方法被命名為楔導(dǎo)乘波理論，生成體即為楔導(dǎo)乘波體。運(yùn)用類似的理論，乘波理論的激波形狀由最初的斜激波[7]發(fā)展至圓錐激波、橢圓錐激波等三維回轉(zhuǎn)激波生成體，基于該方法生成的乘波體即為錐導(dǎo)乘波體[8]，錐導(dǎo)乘波理論在很大程度上拓寬了乘波理論的應(yīng)用范圍，但由于激波形狀較固定，使得該理論仍然存在著較強(qiáng)的約束。為解決以上問題，Sobieczky[9]等提出了吻切錐導(dǎo)乘波理論，該理論將激波的平面形狀離散成激波微元段，每段微元均可根據(jù)當(dāng)?shù)厍拾霃将@得相應(yīng)的圓錐激波，從而拓寬了乘波理論在激波形狀方面的限制，使得任意曲率中心連續(xù)過渡的激波曲線均能作為生成乘波體所需的激波曲面。

經(jīng)過長期的發(fā)展，乘波理論已經(jīng)逐漸趨于成熟，近年來國內(nèi)外學(xué)者逐漸將重心轉(zhuǎn)移至乘波體氣動性能的優(yōu)化[10-12]、乘波體與推進(jìn)系統(tǒng)的一體化[13-17]等問題。作者認(rèn)為，雖然各類乘波理論經(jīng)過長期的發(fā)展已經(jīng)基本趨于完善，但在實(shí)際工程運(yùn)用中仍然存在著許多約束，其中最重要也是最難解決的問題仍然是傳統(tǒng)乘波設(shè)計(jì)理論，特別是吻切乘波理論在激波形狀設(shè)計(jì)中的局限性。傳統(tǒng)吻切乘波理論在設(shè)計(jì)過程中首先給定的是設(shè)計(jì)截面內(nèi)的激波形狀，通過截面激波形狀可反向推導(dǎo)出該激波曲面的三維結(jié)構(gòu)，因此，激波曲面的三維形狀是無法預(yù)先設(shè)計(jì)的，而是根據(jù)激波的截面形狀與激波生成體唯一確定。此外，在實(shí)際工程應(yīng)用中，受到激波曲線的形狀約束，設(shè)計(jì)前緣型線時(shí)通常會遇到較強(qiáng)的約束，這主要是因?yàn)槲乔谐瞬w設(shè)計(jì)理論中，前緣型線必須位于激波曲線的曲率中心與曲線之間，若前緣型線超越激波曲線曲率中心則無法構(gòu)造乘波體下表面。因此，發(fā)展一套基于任意復(fù)雜三維激波曲面的氣動反設(shè)計(jì)方法從而進(jìn)一步拓寬乘波理論的適用范圍，是亟待解決的關(guān)鍵問題。

氣動反設(shè)計(jì)的本質(zhì)是預(yù)先給定激波反求激波生成體的過程，基于二維有旋特征線法，國內(nèi)外學(xué)者開展了大量的二維氣動反設(shè)計(jì)研究，包括給定二維激波形狀反向求解壓縮型面[18]，給定壓力分布反求壓縮型面[19]以及給定馬赫數(shù)分布求解壓縮型面[20]等。以上研究較全面地解決了二維環(huán)境下的反設(shè)計(jì)問題，但是對于三維復(fù)雜激波的求解目前公開文獻(xiàn)較少，一些學(xué)者嘗試使用三維特征線法對其進(jìn)行逆向求解[21-22]，但由于特征線法的復(fù)雜性以及三維求解過程中特征線易相交等問題，未能很好地解決三維激波曲面逆向求解的問題。

基于以上分析，在傳統(tǒng)吻切乘波體理論基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步發(fā)展了基于非軸對稱吻切技術(shù)的乘波體設(shè)計(jì)方法。不同于常規(guī)吻切乘波理論，該方法將三維激波曲面在橫向上進(jìn)行離散的同時(shí)，在流向上也離散為若干微小平面，本文將其命名為微吻切平面。利用改良后的二維逆向特征線法對各微吻切平面的流場進(jìn)行求解，進(jìn)而組合各微吻切面內(nèi)的型線，獲得能夠生成指定復(fù)雜三維曲面激波的壓縮型面。本文針對不同的三維激波曲面，構(gòu)建了三種乘波構(gòu)型，對比其激波形狀與流場信息，用于驗(yàn)證本文所述逆向求解技術(shù)的可行性和正確性。為了便于對比，在本研究中，乘波體前緣型線的二維形狀均指定為直線。針對激波方程為二次錐面的情況，本文探討了設(shè)計(jì)截面內(nèi)激波曲線高度對乘波體升阻特性的影響。

1非軸對稱吻切技術(shù)

1.1吻切流基本原理

吻切乘波理論由Sobieczky[9]等于1990年率先提出。該理論認(rèn)為：一般三維超聲速的運(yùn)動方程都可以在二階精度范圍內(nèi)用一個(gè)軸對稱流的運(yùn)動方程來逼近。這個(gè)軸對稱的軸線位于通過該點(diǎn)流線的吻切平面（osculating plane， OP）內(nèi)。于是，當(dāng)?shù)氐娜S流動就能夠由局部的二維流動（軸對稱流動也是二維的）來描述。在吻切面中，非軸對稱的激波后流動處理為錐形流。在出口平面內(nèi)，沿激波曲線使用一系列吻切面來定義，每個(gè)吻切面內(nèi)激波角為常數(shù)，以保證展向的連續(xù)性，而每個(gè)面中的錐形流頂點(diǎn)則由激波角和當(dāng)?shù)氐那拾霃酱_定。因此，此技術(shù)可將完整的激波形狀分解成一系列半徑不同的圓錐形激波“切片”，而激波后的流場則為一系列錐形流場的耦合流場。由此可見，錐導(dǎo)乘波理論只是吻切乘波理論的一個(gè)特例：錐形激波相當(dāng)于吻切方法中半徑固定為一恒定值的情況。圖1給出了吻切乘波體的設(shè)計(jì)原理圖，圖中ICC為進(jìn)氣道捕獲曲線，F(xiàn)CT代表前緣捕獲型線。

1.2非軸對稱吻切技術(shù)

直接對三維曲面激波進(jìn)行逆向求解顯然是極為復(fù)雜的，因此需要進(jìn)行降維處理，將三維的求解過程簡化為二維過程。參照吻切流理論，本文將三維曲面激波在橫向上進(jìn)行離散，進(jìn)一步地在流向上也離散為若干微吻切平面，在各微吻切平面內(nèi)對激波曲線進(jìn)行二維的逆向求解。本文將其命名為非軸對稱吻切技術(shù)，并認(rèn)為一般的三維超聲速流動可由這些微吻切平面內(nèi)二維流動的耦合來近似。該技術(shù)的核心問題是如何離散三維曲面激波得到一系列微吻切平面，本文將采用步進(jìn)法根據(jù)前一點(diǎn)所得數(shù)據(jù)逐步對流場進(jìn)行離散和逆向求解?；诜禽S對稱吻切技術(shù)的三維激波逆向求解過程可分為4步（見圖2）。

（1）設(shè)計(jì)激波曲面的形狀，提取該激波曲面的方程

激波作為超聲速流場具有的最顯著的特征在很大程度上影響著飛行器及推進(jìn)系統(tǒng)的氣動性能，對于外流部件，保證激波封閉飛行器下表面抑制上洗流能夠?qū)崿F(xiàn)飛行器的高升阻力比特性。而以同樣的方式將推進(jìn)系統(tǒng)的進(jìn)氣道進(jìn)口封閉能夠有效提高進(jìn)氣道流量捕獲能力，從而進(jìn)一步增加發(fā)動機(jī)提供的推力。因此激波的形式與分布方式的研究是實(shí)現(xiàn)超聲速飛行的關(guān)鍵。分析乘波理論的設(shè)計(jì)過程可以發(fā)現(xiàn)，無論是二元楔導(dǎo)乘波理論、錐導(dǎo)乘波理論，還是具有較高任意性的吻切錐導(dǎo)乘波理論，在設(shè)計(jì)之初均為預(yù)先指定激波的分布形式。然而三者在設(shè)計(jì)過程中均存在著局限性，即僅在某一截面（設(shè)計(jì)截面）內(nèi)構(gòu)造激波曲面的二維幾何形狀，隨后假設(shè)流動沿流向?yàn)槠矫媪鲃樱ㄐ▽?dǎo)乘波）或標(biāo)準(zhǔn)圓錐流動（錐導(dǎo)、吻切乘波）進(jìn)行求解，對于三類乘波理論，其激波的二維幾何形狀分別為直線形、圓形和具有二次連續(xù)特征的曲線形。因此，乘波理論對激波三維形狀的考慮顯然是不充分的，從另一個(gè)角度分析，乘波理論實(shí)際上放棄了激波曲面三維特征這一自由度。

對于本文的研究，激波曲面的設(shè)計(jì)不再局限于某一平面，而是對全流場所具有的激波形狀進(jìn)行設(shè)計(jì)。理論上任意滿足設(shè)計(jì)要求的三維曲面方程均能作為預(yù)輸入激波曲面。需要說明的是，激波曲面沿流向和橫向的曲率方向，也就是曲率的正負(fù)決定著氣流的壓縮方式（軸對稱外壓縮或軸對稱內(nèi)壓縮），針對以上兩種壓縮方式求解過程顯然是不同的，由于求解過程的復(fù)雜性，本文暫不將曲率方向發(fā)生變化的激波曲面作為研究對象。因此，激波的設(shè)計(jì)過程需保證激波曲面各點(diǎn)的曲率方向相同。而曲面方程的確定對于求解特征點(diǎn)的曲率半徑顯然是必需的。

（2）設(shè)計(jì)物面前緣型線的三維構(gòu)型

為保證所生成物面邊緣不產(chǎn)生溢流以提供較高升阻比，在前緣型線的設(shè)計(jì)中需要保證前緣型線與激波曲面相交。因此在已獲得激波曲面的前提下，前緣型線的三維構(gòu)型將由其橫向投影形狀或流向投影形狀唯一確定。若在橫向截面內(nèi)設(shè)計(jì)前緣型線則將其沿流向投影至三維激波曲面，若在流向截面內(nèi)設(shè)計(jì)則將其沿橫向投影至三維激波曲面，從而獲得前緣型線的三維構(gòu)型。隨后將三維前緣型線離散與三維激波曲面共同作為逆向求解的輸入條件。

（3）求解前緣離散點(diǎn)對應(yīng)初始微吻切平面，運(yùn)用逆向特征線法解得該微吻切平面的壓縮型線

初始微吻切平面可根據(jù)來流方向與對應(yīng)激波點(diǎn)的法矢量唯一確定。如圖2（a）所示，本文將藍(lán)色箭頭所表示的氣流方向矢量與An點(diǎn)對應(yīng)法矢量（normal vector）構(gòu)成的平面定義為初始微吻切平面，該微吻切平面與給定激波曲面相交能夠獲得如圖2（a）中AnB所示的初始激波微元段。本文假設(shè)若An點(diǎn)與B點(diǎn)之間間距足夠小，則能夠?qū)?fù)雜的三維流動簡化為二維軸對稱流動。該假設(shè)在后續(xù)的數(shù)值模擬驗(yàn)證中將得到證實(shí)。獲得以上條件后，運(yùn)用基于激波曲線的逆向特征線法能夠較容易地求解出所需的壓縮型線，如圖2（a）中AnD所示。

（4）求解后續(xù)微吻切平面及對應(yīng)壓縮型線，運(yùn)用相同的方法獲得全流場參數(shù)

通過步驟（3）獲得了初始微吻切平面內(nèi)的流場參數(shù)，為后續(xù)流場求解提供了可能。初始微吻切平面之后的微吻切平面不再將來流流動方向作為構(gòu)造依據(jù)，而是由上一微吻切平面內(nèi)最后一條左行馬赫線（圖2（b）中DB）與激波點(diǎn)B對應(yīng)的法矢量唯一確定，考慮到后續(xù)微吻切平面的流動將主要受前部已擾動來流的影響，這是本文提出的非軸對稱吻切技術(shù)對吻切乘波理論在流動方向上的主要發(fā)展。前文分析中指出吻切平面將三維流動在周向內(nèi)離散成軸對稱流動從而解決了三維流動的簡化求解問題，本文進(jìn)一步拓展，將復(fù)雜三維流動在周向和流向內(nèi)同時(shí)離散從而實(shí)現(xiàn)對更加復(fù)雜的三維流動的簡化求解。流向流場求解思路將在下一節(jié)沿流向曲率中心可變的逆向特征線法中進(jìn)行詳細(xì)的分析。

將以上方法同時(shí)運(yùn)用于其他離散前緣點(diǎn)（如圖2中An-1，An+1），并將離散流場進(jìn)行三維組合后完成復(fù)雜三維流場的逆向設(shè)計(jì)。

2沿流向曲率中心可變的逆向特征線法

實(shí)現(xiàn)三維激波逆向求解的另一核心手段是逆向特征線方法（method of characteristic， MOC），運(yùn)用該方法的逆置激波點(diǎn)過程能夠在二維環(huán)境內(nèi)有效求解出指定激波所需的壓縮型面。傳統(tǒng)的二維特征線法多為正向求解，以來流條件為初始參數(shù)，以壓縮型線為邊界條件，根據(jù)已知兩點(diǎn)發(fā)出的異簇特征線，聯(lián)立特征線方程和相容性方程求解特征線交點(diǎn)的參數(shù)，最終獲得整個(gè)流場信息。而逆向特征線法的求解思路則與之相反，先給定來流參數(shù)和預(yù)想激波形狀，再采用特征線法逆向求解壓縮壁面型線的幾何位置參數(shù)，將后驗(yàn)的參數(shù)變成可設(shè)計(jì)的參數(shù)。換言之，利用逆向二維特征線法可以根據(jù)所需的激波形狀反設(shè)計(jì)得到能夠產(chǎn)生該波系結(jié)構(gòu)的壓縮型面幾何構(gòu)型，但該逆向求解方法顯然無法實(shí)現(xiàn)任意三維曲面激波的求解，為此本文發(fā)展了一種沿流向曲率中心可變的逆向特征線法，該方法將在下文進(jìn)行詳細(xì)研究。

特征線法是一種求解雙曲型偏微分方程的精確步進(jìn)型方法。在定常超聲速流場中，由于其控制方程為雙曲型偏微分方程，流場中任一點(diǎn)的流動具有僅取決于上游流場中有限區(qū)域的性質(zhì)，因此可以使用特征線法求解該流場。所謂特征線是指沿著該曲線積分將偏微分方程簡化為易于求解的全微分相容性方程。在超聲速流場中由于馬赫線就是特征線，因此可將控制方程簡化為以下兩個(gè)全微分方程組。特征線方程組：

通過聯(lián)立特征線方程組和相容性方程組求解特征線交點(diǎn)的參數(shù)，最終可獲得整個(gè)流場信息。

由于特征線理論具有較高的求解精度與較短的求解時(shí)間，長期以來被廣泛運(yùn)用于超聲速領(lǐng)域的飛行器設(shè)計(jì)問題。此外，基于該理論，一系列逆向求解方法也得到了發(fā)展。其中包括給定壁面壓力分布求解超聲速流場、給定壁面馬赫數(shù)分布求解超聲速流場以及給定激波曲線求解超聲速流場等問題。針對本文的研究內(nèi)容，給定激波曲線逆向求解超聲速流場將成為主要的實(shí)現(xiàn)手段。傳統(tǒng)的給定激波反向求解軸對稱超聲速流場的求解原理如圖3所示，可以發(fā)現(xiàn)，圖中具有兩條橙色曲線，其中平行于x軸的橙色虛線為軸對稱流場的回轉(zhuǎn)中心。其求解過程首先需要確定來流條件與預(yù)設(shè)計(jì)激波曲線形狀（圖3中紅色實(shí)線所示）并獲得激波起始點(diǎn)An，然后將該激波曲線離散為一系列微元段（如圖3中AnB、BB），進(jìn)而運(yùn)用特征線理論的逆置激波點(diǎn)過程求解激波點(diǎn)B處的左行馬赫線并與起始點(diǎn)An發(fā)射的流線相交得到壁面點(diǎn)D的初始值，隨后使用校正迭代法對D點(diǎn)進(jìn)行修正直至精度滿足要求。同理可對下游點(diǎn)D進(jìn)行求解進(jìn)而求解整個(gè)超聲速流場，在此不再贅述。

傳統(tǒng)的給定激波求解流場的特征線程序能夠很好地實(shí)現(xiàn)二維流動或準(zhǔn)二維流動（軸對稱流動）的精確求解，但該理論對于三維流動的求解顯然是不適用或者不精確的，其本質(zhì)的原因在于各激波離散點(diǎn)的曲率中心受到三維效應(yīng)的影響發(fā)生了變化。圖4為圓錐曲面與橢圓錐曲面沿程各激波點(diǎn)曲率中心分布對比，顯然圓錐流動的求解可以完全依賴于二維特征線法，但該方法無法滿足具有三維效應(yīng)的橢圓錐流場的求解。無法求解的內(nèi)在原因在于圓錐曲面與橢圓錐曲面沿流向曲率中心位置的不同。

對于圓錐曲面（包括母線為曲線的曲錐面），曲面上各點(diǎn)對應(yīng)曲率中心均落于回轉(zhuǎn)軸線上，即曲面的物理中心與曲率中心重合，因此流場在周向位置內(nèi)存在相似性能夠滿足二維流動對軸對稱流場的求解要求，然而對于橢圓錐曲面，曲面上各點(diǎn)的曲率中心不再落于某一軸線，而是由當(dāng)?shù)厍€曲率決定，因此不存在周向相似的特點(diǎn)，無法使用傳統(tǒng)的特征線法進(jìn)行求解。經(jīng)過以上分析可以發(fā)現(xiàn)，兩類流動的本質(zhì)區(qū)別是曲率中心的問題，進(jìn)一步而言是曲率半徑的問題，因此若在特征線法的求解中引入曲率半徑這一變量將有望解決特征線法解決三維流動的問題。

結(jié)合曲率半徑的變化，本文進(jìn)一步發(fā)展了二維特征線理論，得到如圖5所示的曲率中心可變逆向特征線求解原理。求解過程首先需要獲得離散激波點(diǎn)當(dāng)?shù)厍拾霃剑捎谌S效應(yīng)，該曲率中心將偏離回轉(zhuǎn)中心（圖5中X軸），且向下游偏離程度逐漸增大，故將呈現(xiàn)出圖5中橙色實(shí)線所示的偏離趨勢，該趨勢在圖4（b）中橢圓曲面的曲率中心分布中也有同樣的體現(xiàn)。曲率半徑的不同對應(yīng)特征線求解公式中即為y值的不同，分析式（5）可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)y值趨于0時(shí)流動為標(biāo)準(zhǔn)的軸對稱流動，而當(dāng)y值趨于無窮時(shí)流動將向二維流動轉(zhuǎn)變，因此當(dāng)y值落于0與無窮之間時(shí)求解的流場為具有曲率半徑為y的圓臺的軸對稱流場（即前緣起始點(diǎn)不為原點(diǎn)），該流動將介于二維流動與軸對稱流動之間。

上述對y值分析仍然是針對曲率中心固定的流場求解，對于類似圖4（b）所示的變曲率中心流場的求解則需要在各個(gè)微元段內(nèi)多次運(yùn)用特征線法的以上特點(diǎn)，以圖5為例，求解激波微元段AnB流場時(shí)，以An點(diǎn)對應(yīng)曲率半徑作為y值帶入特征線方程，而當(dāng)求解BB時(shí)對應(yīng)y值將采用B點(diǎn)的曲率半徑，隨后以相同的思路對下游流場進(jìn)行求解獲得能夠滿足類似圖4（b）中所示的變曲率中心流場的逆向求解。上述曲率半徑選擇方式能夠成立是因?yàn)閷τ诔曀倭鲃樱瑲饬鲄?shù)僅受上游參數(shù)影響，因此當(dāng)微元段足夠小時(shí)以微元起始點(diǎn)的曲率半徑作為微元段的曲率半徑進(jìn)行求解是可行的。此外，需要說明的是，圖5中所示的求解過程對應(yīng)于圖4（b）中橢圓曲面短軸對應(yīng)母線的求解，該母線沿流向曲率半徑逐漸增大，曲率中心偏離物理中心程度也同時(shí)增大，因此流場將出現(xiàn)沿流向趨于二元流動的趨勢。而對于長軸對應(yīng)母線，觀察圖4（b）可以發(fā)現(xiàn)沿程各點(diǎn)曲率中心雖然偏離物理中心，但是其偏離方向與短軸對應(yīng)母線相反，因此流場沿流向?qū)⒏于呌趫A錐流動，即呈現(xiàn)出比“圓錐流動更圓錐”的流動特點(diǎn)。

因此，本文提出的基于非軸對稱吻切技術(shù)的三維激波逆向求解方法的實(shí)質(zhì)是指在利用非軸對稱吻切技術(shù)對三維激波進(jìn)行離散的每張微切面內(nèi)，采用曲率中心可變的逆特征線法求解流場。

3復(fù)雜激波曲面逆向求解對比分析

本節(jié)將對上文所述的基于非軸對稱吻切技術(shù)的三維激波逆向求解方法進(jìn)行實(shí)例分析，并與數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對比分析以驗(yàn)證該方法的正確性與可行性。需要特別指出的是，本文驗(yàn)證逆向求解方法正確性的步驟為：首先設(shè)計(jì)三維激波生成體，隨后運(yùn)用計(jì)算流體力學(xué)（CFD）對其進(jìn)行求解，進(jìn)而提取所具有的激波曲面進(jìn)行對比驗(yàn)證。因?yàn)檫\(yùn)用CFD求解獲得的激波曲面存在一定厚度，故在提取激波曲面時(shí)將不可避免地存在誤差。

構(gòu)造三維激波曲面時(shí)，本文采用圖6所示的一般錐面方程作為初始輸入。如圖6所示，過定點(diǎn)且與定曲線相交的所有直線構(gòu)成的曲面稱為錐面，其中定點(diǎn)稱為頂點(diǎn)，定曲線為錐面的準(zhǔn)線，構(gòu)成錐面的每一條直線叫作母線，而準(zhǔn)線所在的截面則稱作設(shè)計(jì)截面即為乘波體的結(jié)尾截面。因此，給定頂點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程即可獲得錐面方程。值得注意的是，橢圓錐實(shí)際上是頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為橢圓方程的特殊錐面。

根據(jù)上述錐面定義，本文選取了三種錐面方程，并將乘波體前緣型線的二維形狀指定為直線，構(gòu)建了三種不同的乘波構(gòu)型，用以對比激波形狀及流場信息。三種不同錐面方程及乘波體設(shè)計(jì)的具體參數(shù)見表1。其中模型A與模型B的激波曲面實(shí)際上為橢圓錐面，而模型C的激波曲面在設(shè)計(jì)截面中的方程是二次曲線，因此，該錐面又稱為二次錐面。

在來流馬赫數(shù)Ma=6，H0=27km的條件下，根據(jù)前緣捕獲型線與預(yù)先給定的三維激波面方程，運(yùn)用基于非軸對稱吻切技術(shù)的逆向求解方法便可獲得乘波體的下表面及其流場信息。

本文使用ANSYS Fluent求解基于有限體積法的歐拉方程來驗(yàn)證基于非軸對稱吻切技術(shù)的三維激波逆向乘波設(shè)計(jì)方法的準(zhǔn)確性。選擇基于密度的求解器來進(jìn)行無黏計(jì)算。對流矢量選擇二階AUSM格式，CFL數(shù)設(shè)定為0.5以確保計(jì)算的穩(wěn)定性。假設(shè)來流氣體為理想氣體，定比熱比γ為1.4。對于邊界條件而言，將乘波體壁面均設(shè)置為絕熱無滑移固體壁面。計(jì)算域入口選用壓力遠(yuǎn)場邊界條件，出口設(shè)置為壓力出口邊界。網(wǎng)格方面，使用ICEM對乘波體流場劃分結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，在乘波體壁面布置C型網(wǎng)格，在壁面和激波位置附近均進(jìn)行網(wǎng)格加密處理，各算例網(wǎng)格數(shù)目均在350萬左右。

圖7為模型A乘波體結(jié)尾截面激波示意圖。其中左半為通過數(shù)值模擬獲得的乘波體結(jié)尾截面激波形狀與預(yù)設(shè)計(jì)截面激波形狀（圖中黑色虛線所示）的對比圖，右半為乘波體的俯視圖。此外，圖7左半上圖表示基于非軸對稱吻切技術(shù)，采用傳統(tǒng)的特征線法求解得到的結(jié)果，左半下圖表示特征線求解技術(shù)引入曲率中心變化獲得的結(jié)果。對比可以發(fā)現(xiàn)，在引入曲率中心變化之前，數(shù)值模擬得到的激波形狀與預(yù)設(shè)計(jì)激波形狀存在較大差異。而考慮曲率中心的變化之后，能夠很好地求解出生成指定橢圓錐激波曲面的乘波構(gòu)型。該結(jié)論驗(yàn)證了沿流向曲率中心可變的逆向特征線法的正確性，并實(shí)現(xiàn)了非軸對稱吻切技術(shù)在三維流場中的應(yīng)用。

除橫向截面激波形狀，在流向截面內(nèi)，本文所述逆向求解技術(shù)同樣表現(xiàn)出了較高的精度。圖8分別提取了模型A的4個(gè)流向截面（Y=0，Y=0.2，Y=0.4，Y=0.6）內(nèi)的激波形狀與設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行對比，其中紅色實(shí)線為預(yù)設(shè)計(jì)激波形狀，黑色實(shí)線為逆向求解獲得的壓縮型線，藍(lán)色實(shí)線為基于該壓縮型面運(yùn)用數(shù)值模擬方法獲得的流向激波曲線。可以發(fā)現(xiàn)，藍(lán)色激波曲線基本被預(yù)設(shè)計(jì)的紅色激波曲線覆蓋，僅在某些局部位置出現(xiàn)微小偏差，該現(xiàn)象說明在流向截面內(nèi)逆向求解方法能夠很好地復(fù)現(xiàn)預(yù)設(shè)計(jì)的激波形狀，求解精度基本能夠滿足要求。

圖9為模型B數(shù)值模擬結(jié)果與預(yù)設(shè)計(jì)激波形狀對比?？梢园l(fā)現(xiàn)，逆向求解結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果同樣具有較高的相似度。模型A與模型B的激波曲面均為橢圓錐面，但不同于模型A，模型B的結(jié)尾截面激波形狀所具有的曲率中心顯然已經(jīng)超越前緣捕獲型線，即激波曲線與曲率中心位于前緣型線的同一側(cè)。因此，運(yùn)用已有的吻切乘波設(shè)計(jì)理論顯然無法獲得具有圖9所示激波形狀的乘波構(gòu)型，這是因?yàn)槌瞬ɡ碚摮闪⒌目陀^條件是前緣捕獲型線位于截面激波曲線與激波曲線的曲率中心之間。而非軸對稱吻切技術(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)的原因是其不僅在橫向上對三維流場進(jìn)行離散，在流向截面內(nèi)同樣對流場進(jìn)行離散，此外，沿流向曲率半徑變化的引入也為此類流場的求解提供了可能。

模型C的激波曲面在設(shè)計(jì)截面中的方程是二次曲線，其數(shù)值模擬結(jié)果與預(yù)設(shè)計(jì)激波形狀對比結(jié)果如圖10所示，與模型B類似，其結(jié)尾截面激波形狀所具有的曲率中心同樣已經(jīng)超越了前緣捕獲型線?？梢钥吹?，逆向求解結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果仍然具有較高的相似度。以此為基礎(chǔ)，本文在下文中將會詳細(xì)探討不同的二次錐面對乘波體升阻特性的影響。

圖11進(jìn)一步提取了模型A的Y=0，Y=0.2，Y=0.4三個(gè)流向截面內(nèi)的壓力分布信息，并與數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行對比分析。由圖11可知，運(yùn)用逆向求解方法獲得的截面流場信息與數(shù)值模擬結(jié)果具有較高的相似度，各截面內(nèi)的流場分布規(guī)律均與CFD結(jié)果表現(xiàn)出相同的趨勢。但在增壓比的預(yù)測上存在一定的誤差，其中對稱面內(nèi)增壓比基本相同，而在Y=0.4截面內(nèi)的增壓比誤差最大為8.4%。這主要是因?yàn)榛诜禽S對稱吻切技術(shù)的逆向求解方法實(shí)際上是將三維復(fù)雜流動簡化為一系列微吻切平面內(nèi)的二維流動進(jìn)行求解的過程，假設(shè)所有流動均在這些微吻切平面構(gòu)成的流面內(nèi)進(jìn)行。在Y=0.4截面附近，激波曲率變化劇烈，流場中的橫向流動效果顯著，導(dǎo)致部分氣流并未沿微吻切平面流動，這在一定程度上將帶入一定的誤差。

由此可見，基于非軸對稱吻切技術(shù)的三維激波逆向求解方法能夠運(yùn)用于三維流場的求解，且在激波形狀求解上具有較高的精度，激波吻合度較高，而在流場信息預(yù)測上，逆向求解獲得流場分布與CFD結(jié)果具有相同的規(guī)律，但在增壓比預(yù)測上存在一定誤差，誤差主要集中在遠(yuǎn)離對稱面的三維效應(yīng)較為明顯的部分?？傮w而言，本文提出的三維激波逆向求解方法能夠以較小的誤差完成復(fù)雜三維激波曲面的逆向求解。

4激波曲面對乘波體升阻特性影響

在上文模型C的研究基礎(chǔ)上，本文著重探討了不同二次錐面的激波形狀對乘波體升阻特性的影響。本文選取了4種不同的二次錐面，其頂點(diǎn)坐標(biāo)均為（0，0，0），設(shè)計(jì)截面為X=5.1；設(shè)計(jì)截面內(nèi)的準(zhǔn)線方程均為二次曲線：

鑒于B的Z坐標(biāo)的絕對值實(shí)際表示設(shè)計(jì)截面內(nèi)激波曲線距離壓縮面的高度，故用H表示B的Z坐標(biāo)的絕對值，根據(jù)H值由小到大分別將乘波構(gòu)型命名為構(gòu)型1～構(gòu)型4。

圖12為4種乘波體在設(shè)計(jì)截面內(nèi)的激波曲線及曲率中心分布圖?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著H的增大，激波曲線對應(yīng)的曲率中心整體不斷下移。當(dāng)H=2.0000時(shí)，已經(jīng)有部分曲率中心位于FCT和ICC之間，即激波曲線與曲率中心位于前緣型線的同一側(cè)。此時(shí)現(xiàn)有的吻切乘波理論顯然并不適用，而這正是本文提出的基于非軸對稱吻切技術(shù)的三維激波逆向求解方法的優(yōu)勢之一，其能夠求解更為復(fù)雜的激波曲面，拓寬了乘波理論的應(yīng)用范圍。

4種乘波體的幾何模型如圖13所示。乘波體的下表面由本文所述求解方法逆向求解指定激波所得，上表面則直接將前緣型線延來流方向直接拉伸至設(shè)計(jì)截面所得。4種乘波體的寬度相同，均為W=3.0000，長度L基本相同，但隨著H的增大，L值也逐漸增加，其中構(gòu)型4的值最大，為4.1344。乘波體高度方面，可以看到隨著H值的增大，乘波體的高度也越大，整體的迎風(fēng)面積也逐漸增加。

圖14給出了4種乘波體數(shù)值模擬結(jié)果與預(yù)定激波形狀對比圖?？梢钥吹?，在設(shè)計(jì)截面上4種乘波體所產(chǎn)生的激波與預(yù)設(shè)激波形狀具有較高的相似度。這說明本文提出的基于非軸對稱吻切技術(shù)的三維激波逆向求解方法在激波預(yù)測上具有較高的精確度，這與前文的分析是一致的。此逆向求解方法可用于探討不同高度的二次錐面激波對乘波體升阻特性的影響。

圖15為4種乘波體升力系數(shù)與阻力系數(shù)隨H值的變化曲線。其中，CL是升力系數(shù)，CD表示乘波體的阻力系數(shù)。左上坐標(biāo)圖內(nèi)σ表示升阻力系數(shù)用各自H=1.8時(shí)的值無量綱化后的結(jié)果，用于對比升阻力系數(shù)隨H值的變化速率?？梢钥吹剑ο禂?shù)與阻力系數(shù)均隨著H值的增大而增大，阻力系數(shù)與H值成線性增長關(guān)系，增長速率基本不變，表現(xiàn)為阻力系數(shù)成直線分布；而升力系數(shù)則成非線性增長關(guān)系，升力系數(shù)的增長速率隨著H值的增大而減緩，表現(xiàn)為升力系數(shù)成曲線分布。同時(shí)，從左上坐標(biāo)圖中可以發(fā)現(xiàn)，阻力系數(shù)隨著H值的增長速率明顯大于升力系數(shù)。

圖16給出了4種乘波體升阻比和迎風(fēng)面積隨H值的變化曲線圖。圖中，L/D代表乘波體升阻比，Aw表示乘波體的迎風(fēng)面積。參照圖16，乘波體的升阻比隨著H值的增加而減小，但并未成線性分布。這是因?yàn)?種乘波體的升力系數(shù)與阻力系數(shù)均隨著H值而增長，但阻力系數(shù)的增速更快，因此導(dǎo)致整體升阻比隨著H值而降低，且升阻比的降低速率逐漸減緩。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，4種乘波體的迎風(fēng)面積隨著H值成線性增長，這與前文的分析結(jié)果是一致的（見圖13）。

綜上所述，針對二次錐面激波，隨著H值的增加（即設(shè)計(jì)截面內(nèi)激波曲線的高度增加），乘波體的迎風(fēng)面積將成線性增加，導(dǎo)致其阻力特性同樣成線性增長。同時(shí)，隨著高度的增加，乘波體的升力系數(shù)也會增長，但升力系數(shù)的增長速率則逐漸減緩，且其增長速率低于阻力系數(shù)。最終導(dǎo)致其升阻比隨著高度的增加而降低，且降低速率逐漸減緩。可見，針對生成指定二次錐面激波的乘波構(gòu)型，迎風(fēng)面積的變化規(guī)律在其升阻特性中占主導(dǎo)地位，迎風(fēng)面積越大，整體的升阻比越低。

5結(jié)論

借鑒吻切乘波原理，本文提出了一種非軸對稱吻切技術(shù)，并在此基礎(chǔ)上，對傳統(tǒng)的二維逆向特征線法進(jìn)行修正，發(fā)展了一種沿流向曲率中心可變的逆向特征線法，將其與非軸對稱吻切技術(shù)結(jié)合可用于逆向求解復(fù)雜的三維激波曲面。利用此逆向求解方法，本文設(shè)計(jì)了三種生成不同錐面激波的乘波體，并與CFD結(jié)果進(jìn)行對比，用以驗(yàn)證此逆向求解方法的正確性與可行性。同時(shí)，針對二次錐面激波，本文著重探討了設(shè)計(jì)截面內(nèi)激波曲線高度對乘波體升阻特性的影響。研究結(jié)果表明：

（1）吻切乘波理論實(shí)際上是將三維流動在周向上離散成一系列等波強(qiáng)的二維軸對稱流動，在吻切面內(nèi)，所有的激波角是恒定的。而非軸對稱吻切技術(shù)在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對流向同樣進(jìn)行了離散，此時(shí)，每張微吻切面內(nèi)的激波強(qiáng)度不再相同。因此，非軸對稱吻切技術(shù)本質(zhì)上是將復(fù)雜的三維流動簡化為二維流動的過程，是對傳統(tǒng)吻切乘波理論的進(jìn)一步拓展。

（2）本文提出的沿流向曲率中心可變的逆向特征線法在求解的過程中引入了曲率半徑這一變量，以此帶入激波曲面的三維效應(yīng)，可用于求解具有三維效應(yīng)的基準(zhǔn)流場。因此，本文提出的基于非軸對稱吻切技術(shù)的三維激波逆向求解方法的實(shí)質(zhì)是在微吻切平面內(nèi)運(yùn)用曲率中心可變的逆特征線法。

（3）對照模型A、模型B和模型C可以發(fā)現(xiàn)，本文提出的三維激波逆向求解方法在激波形狀求解上具有較高的精度，激波吻合度較高，而在流場信息預(yù)測上，逆向求解獲得流場分布與CFD結(jié)果具有相同的規(guī)律，但在增壓比預(yù)測上存在一定誤差，誤差主要集中在遠(yuǎn)離對稱面的三維效應(yīng)較為明顯的部分，其能夠以較小的誤差完成對復(fù)雜三維激波曲面的逆向求解。同時(shí)，由于本文提出的方法相比傳統(tǒng)的吻切乘波理論具有更高的自由度，其計(jì)算效率不可避免地有所降低。

（4）針對二次錐面激波，設(shè)計(jì)截面內(nèi)激波曲線的高度越高，乘波體的升力系數(shù)與阻力系數(shù)均增大，且阻力系數(shù)的增長速度要快于升力系數(shù)，因而乘波體的升阻比呈下降趨勢。同時(shí)，可以看到，乘波體的迎風(fēng)面積變化規(guī)律在升阻特性中占主導(dǎo)地位，迎風(fēng)面積越大，整體的升阻比越低。

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（責(zé)任編輯王昕）

作者簡介

張濤（1997-）男，碩士研究生。主要研究方向：高超聲速空氣動力學(xué)、計(jì)算流體力學(xué)。

Tel：15256555449E-mail：1457745879@qq.com

鄭曉剛（1994-）男，博士研究生。主要研究方向：高超聲速推進(jìn)技術(shù)研究、內(nèi)外流流體力學(xué)。

Tel：18959216039E-mail：xiaogangzheng@stu.xmu.edu.cn湯祎麒（1998-）男，碩士研究生。主要研究方向：高超聲速氣體動力學(xué)、彎曲激波理論、計(jì)算流體力學(xué)。

Tel：18850013602E-mail：tangyiqi2019@163.com

李怡慶（1989-）男，博士，助理教授。主要研究方向：高超聲速推進(jìn)技術(shù)研究、內(nèi)外流流體力學(xué)、計(jì)算流體力學(xué)。

Tel：13306019011E-mail：yiqingli@nchu.edu.cn

尤延鋮（1981-）男，博士，教授。主要研究方向：高超聲速空氣動力學(xué)、內(nèi)流流體力學(xué)、高超聲速進(jìn)氣道設(shè)計(jì)、復(fù)雜湍流數(shù)值模擬（LES/DES）和CFD計(jì)算數(shù)值方法研究等。

Tel：18060979961E-mail：yancheng.you@xmu.edu.cn

Inverse Waverider Design for 3D Shock Wave Based on Non-axisymmetric Osculating Cones Method

Zhang Tao1，Zheng Xiaogang1，Tang Yiqi1，Li Yiqing2，You Yancheng1，*

1. Xiamen University，Xiamen 361102，China

2. Nanchang Hangkong University，Nanchang 330063，China

Abstract： Based on the principal of traditional osculating cones method， a new non-axisymmetric osculating cones method was proposed. On this basis， the traditional 2D MOC was improved， which can be used to solve the 3D complicate shock wave. By specifying the appearance of three-dimensional shock wave in advance， the local micro osculating plane corresponding to the discrete shock points can be obtained according to the direction of the air flow and the local curvature direction of the shock surface. The improved two-dimensional inverse MOC is used to solve the flow field in each micro osculating plane， while the intersection line between the micro osculating plane and the shock surface is defined as the main input. Subsequently， the compression surface， designed to generate specified 3D shock wave， are formed with all the compression lines gained from each micro osculating plane. The results show that the inverse technology for solving 3D shock wave via non-axisymmetric osculating cones method shows high agreement in the shape of shock wave， and the flow field information obtained by this inverse technique is quite similar to the numerical simulation results. However， there is still a certain deviation in the prediction of the pressure ratio， while the maximum deviation is about 8.4%. In addition， for the specific quadric conical shock wave， the higher the shock curve is in the design section， the lower lift-drag of waveriders is.

Key Words： non-axisymmetric osculating cones method； method of characteristic （MOC）；waverider； lift-drag ratio； inverse design