宋玉平，陳志蘭

(上海師范大學(xué) 商學(xué)院，上海 200234)

一、引 言

股指期貨是一種發(fā)展迅速的金融衍生產(chǎn)品，它具有對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)、套期保值以及活躍市場等作用，準(zhǔn)確的股指期貨定價(jià)對(duì)交易者來說具有十分重要的意義。Cornell等最早提出了無稅收、無交易成本和無賣空限制等完美條件下的股指期貨持有成本定價(jià)模型[1]。現(xiàn)實(shí)情況下很難達(dá)到假設(shè)的完美條件，通常由于股票指數(shù)組合的復(fù)制、跟蹤誤差、指數(shù)構(gòu)造的變化、股息計(jì)算、融資融券成本和交易成本等因素的存在，通過持有成本定價(jià)模型計(jì)算出來的理論價(jià)格和實(shí)際價(jià)格存在一定偏差，而較大的價(jià)格偏差會(huì)導(dǎo)致市場的無效性。

在隨后的研究中，股指期貨定價(jià)理論主要沿兩個(gè)方向發(fā)展，第一個(gè)方向是探索并定義新的理論模型。包括持有成本定價(jià)模型，到目前主要建立了五種期貨定價(jià)模型。針對(duì)利率不變的條件限制，Ramaswamy等首先在連續(xù)時(shí)間模型中引入隨機(jī)利率，接著，Hemler等在Cox等人的資產(chǎn)定價(jià)一般均衡模型理論基礎(chǔ)上，將隨機(jī)利率和股票現(xiàn)貨市場的波動(dòng)納入考慮，對(duì)市場中常見的股指期貨溢價(jià)現(xiàn)象做出了一定的解釋[2-4]。Klemkosky等考慮交易成本、借貸利率不等及季節(jié)性股利等因素提出區(qū)間定價(jià)模型，利用“做多指數(shù)現(xiàn)貨，做空指數(shù)期貨”得到套利區(qū)間的上限，“做多指數(shù)期貨，做空指數(shù)現(xiàn)貨”得到套利區(qū)間的下限[5]。劉志新等人在最優(yōu)增長投資組合法的基礎(chǔ)上解決了連續(xù)時(shí)間不完全市場條件下期貨合約定價(jià)問題，提出了不完全市場期貨定價(jià)模型[6]。

另一研究方向是基于以上五種定價(jià)模型，將更多現(xiàn)實(shí)因素考慮進(jìn)來對(duì)期貨定價(jià)模型進(jìn)一步改進(jìn)，這也是國內(nèi)很多學(xué)者在期貨定價(jià)問題上的研究方向。徐國祥和檀向球利用加入市場限制的持有成本定價(jià)模型計(jì)算理論價(jià)格的一個(gè)區(qū)間，改進(jìn)的模型更有利于發(fā)現(xiàn)套利機(jī)會(huì)[7]。鄭尊信構(gòu)建了包含現(xiàn)金結(jié)算的離散時(shí)間下修正持有成本模型，發(fā)現(xiàn)改進(jìn)的模型能夠充分考慮結(jié)算時(shí)間窗口內(nèi)的風(fēng)險(xiǎn)[8]。張存宬針對(duì)借貸利率不同對(duì)持有成本定價(jià)模型進(jìn)行改進(jìn)，得到三個(gè)逐步精細(xì)的期貨價(jià)格浮動(dòng)區(qū)間，更加貼切現(xiàn)實(shí)[9]。周洲密基于成本定價(jià)理論提出無套利區(qū)間模型，可用于判斷價(jià)差是否處于異常狀態(tài)并基于判斷決定是否建立套利頭寸[10]。徐國祥和劉新姬改進(jìn)無套利區(qū)間定價(jià)模型，使其適用于滬深300股指期貨。該模型不僅克服了假設(shè)條件太強(qiáng)的缺陷，還提高了定價(jià)效率[11]。

以上文獻(xiàn)大多是將不完美市場條件加入到模型中對(duì)定價(jià)模型進(jìn)一步改進(jìn)，但在現(xiàn)實(shí)情況下不可能將所有不完美條件全部加入到模型中，不完美市場帶來的影響往往表現(xiàn)在價(jià)格偏差上。目前還沒有學(xué)者從期貨定價(jià)偏差分布的角度來對(duì)期貨定價(jià)做進(jìn)一步研究，所以本文的創(chuàng)新點(diǎn)主要有兩點(diǎn)：第一點(diǎn)是將連續(xù)混合正態(tài)分布模型應(yīng)用到期貨定價(jià)偏差分布的研究中；第二點(diǎn)是提出先采用基于牛頓迭代的極大似然估計(jì)法對(duì)連續(xù)混合正態(tài)分布未知參數(shù)進(jìn)行有效估計(jì)，再進(jìn)一步利用模擬退火算法對(duì)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化。本文深入探討期貨理論價(jià)格與實(shí)際價(jià)格之間的關(guān)系，以提高股指期貨市場定價(jià)的效率，促進(jìn)期貨市場價(jià)格發(fā)現(xiàn)功能的發(fā)揮。同時(shí)，本文所使用的研究方法可以用于研究資產(chǎn)收益率和保險(xiǎn)損失等問題。

二、模型介紹

(一)期貨定價(jià)模型

在以往期貨定價(jià)偏差研究中，大多數(shù)學(xué)者基于經(jīng)典的持有成本定價(jià)模型計(jì)算期貨的理論價(jià)格[12]。持有成本定價(jià)模型是在完美市場假設(shè)前提下，根據(jù)無套利理論推導(dǎo)出來的。該模型的假設(shè)條件有：借貸利率相同且維持不變；無逐日盯市的保證金結(jié)算風(fēng)險(xiǎn)；無稅收和交易成本；賣空股指成分股無限制；股利發(fā)放時(shí)間和數(shù)量確定，不存在股利不確定風(fēng)險(xiǎn)；股指成分股可無限交割；期貨和現(xiàn)貨頭寸均持有到期貨合約到期日。其模型形式如下：

Ft=Ste(r-d)(T-t)

(1)

其中，St表示時(shí)間為t時(shí)現(xiàn)貨指數(shù)的價(jià)值，r表示t到T時(shí)期內(nèi)連續(xù)復(fù)利的無風(fēng)險(xiǎn)利率，d表示t到T時(shí)期內(nèi)連續(xù)紅利率，T-t表示期貨合約到期時(shí)間，r、d、T-t都是以年為單位，Ste(r-d)(T-t)也就是期貨理論價(jià)格。

(二)連續(xù)混合正態(tài)分布模型

1.模型設(shè)定

以往研究金融數(shù)據(jù)時(shí)，考慮到正態(tài)分布的普遍性和易處理的特性，人們經(jīng)常假設(shè)數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布。隨著研究的深入，越來越多的學(xué)者發(fā)現(xiàn)很多金融數(shù)據(jù)并不服從傳統(tǒng)的正態(tài)分布假設(shè)。曾五一等在研究金融資產(chǎn)收益率時(shí)發(fā)現(xiàn)它們明顯偏離正態(tài)分布的假定，呈現(xiàn)尖峰厚尾偏態(tài)的分布特征[13]?；旌险龖B(tài)分布模型是一種非常靈活和高效的統(tǒng)計(jì)建模工具，能滿足金融數(shù)據(jù)的分布特征，主要具有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)：第一，混合正態(tài)分布可以擬合具有厚尾特征的數(shù)據(jù)；第二，混合正態(tài)分布可以擬合單峰或雙峰的有偏度數(shù)據(jù)；第三，混合正態(tài)分布和正態(tài)分布一樣可以具有任意階的高階矩[14]。以往研究的混合正態(tài)分布主要是兩個(gè)正態(tài)分布混合的離散混合正態(tài)分布，但是本文研究的期貨價(jià)格易受政策或某一事件的影響，在一段時(shí)間內(nèi)發(fā)生較大變化，導(dǎo)致偏差可能出現(xiàn)多個(gè)峰度。本文研究的Gamma分布與正態(tài)分布相結(jié)合的連續(xù)混合正態(tài)分布不僅具有離散混合正態(tài)分布的所有優(yōu)點(diǎn)，還可以擬合具有多峰特征的數(shù)據(jù)，所以本文引入Gamma分布與正態(tài)分布相結(jié)合的連續(xù)混合正態(tài)分布模型來提高擬合偏差的精度。

本文考慮的連續(xù)混合正態(tài)分布模型X～N(μ，Y)，其中Y～Gamma(α，β)，根據(jù)連續(xù)情形下的全概率公式得到的密度函數(shù)如下：

f(x)=

(2)

其中，α為Gamma分布的scale參數(shù)，β為shape參數(shù)。

2.參數(shù)估計(jì)

模型形式設(shè)定后需對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，目前估計(jì)混合正態(tài)分布模型參數(shù)的方法主要有矩估計(jì)法、貝葉斯估計(jì)法和極大似然估計(jì)法。矩估計(jì)結(jié)果不夠精確，貝葉斯估計(jì)法常常面臨如何選擇先驗(yàn)的困難，而單純的極大似然估計(jì)具有收斂速度慢，容易受初始值影響陷入局部最優(yōu)等缺點(diǎn)[15]。另外，這些方法主要針對(duì)離散混合正態(tài)分布，而離散混合正態(tài)分布的待估計(jì)參數(shù)多、求解較復(fù)雜，所以這些方法并不一定適用于本文Gamma分布與正態(tài)分布混合的連續(xù)情形。牛頓迭代法能夠有效解決極大似然估計(jì)法存在的問題，并且極大似然估計(jì)量具有無偏估計(jì)量中方差最小等優(yōu)點(diǎn)，故本文先使用基于牛頓迭代的極大似然估計(jì)法對(duì)該模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，考慮到牛頓迭代求出的是近似解，本文再進(jìn)一步利用模擬退火算法對(duì)牛頓迭代的結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化，最終達(dá)到精確估計(jì)的效果。

第一步：根據(jù)密度函數(shù)寫出如下似然函數(shù)：

(3)

第二步：寫出相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)，即對(duì)式(3)取對(duì)數(shù)：

(4)

忽略常數(shù)項(xiàng)，式(4)可以簡化為：

(5)

第三步：求式(5)最大值，可采用導(dǎo)數(shù)等于零求未知量的值。先對(duì)式(5)關(guān)于β求導(dǎo)：

(6)

再對(duì)式(5)關(guān)于α求導(dǎo)：

(7)

第四步：求解似然方程。通過式(6)及式(7)很難得到關(guān)于α，β的顯示表達(dá)式，可以通過數(shù)值求解的方法得到α，β的近似值。本文將采用牛頓迭代法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，牛頓迭代法具有平方收斂的速度，所以在迭代過程中只要迭代較少的次數(shù)就可以得到比較精確的解。

牛頓法的迭代格式為：

x(k+1)=x(k)-[J(x(k))]-1f(x(k))，

k=0，1，2，…

(8)

第五步：求解初始值。牛頓迭代的初值從某種程度上影響收斂的結(jié)果，所以牛頓迭代的初值不能隨意指定，而矩估計(jì)量是參數(shù)的相合估計(jì)量，下面將通過式(2)的矩估計(jì)量作為牛頓迭代的初值。

對(duì)于式(2)而言，任何奇數(shù)階矩都等于零，所以只考慮偶數(shù)階矩，涉及到兩個(gè)參數(shù)，需要建立兩個(gè)方程，在這里考慮二階矩和四階矩：

(9)

(10)

其中，Var(X)以及Quad(X)分別是樣本X的方差和四階矩。

對(duì)式(9)和式(10)求解得到α，β的初始值如下：

(11)

第七步：利用模擬退火算法優(yōu)化牛頓迭代的結(jié)果。模擬退火的基本思想是模擬自然界退火現(xiàn)象，利用物理中固體物質(zhì)的退火過程與一般優(yōu)化問題的相似性，從某一初始溫度開始，伴隨溫度的不斷下降，結(jié)合概率突跳性在解空間中隨機(jī)尋找全局最優(yōu)解[16]。

記式(5)為E(α，β)，并作為相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)是尋找(αi，βj)使得E(α，β)最大，本文具體步驟如下：

(2) 步驟(1)會(huì)得到一個(gè)精確解β1，使得在β=β1時(shí)，E(α0，β) 最大。這時(shí)固定β=β1，將α0擴(kuò)展到[α-3σ，α+3σ]，再進(jìn)行退火模擬優(yōu)化。

(3)重復(fù)步驟(1)、(2)，直至|αn-αn-1|+|βn-βn-1|<10-3，停止迭代，找到最優(yōu)解。

三、數(shù)值模擬

為了驗(yàn)證上文提出的估計(jì)量求解方法的有效性，現(xiàn)使用蒙特卡洛模擬對(duì)連續(xù)混合正態(tài)分布進(jìn)行仿真，模擬的具體模型及參數(shù)如下：

X～N(0，Y)，其中Y～Gamma(3，0.5)

(12)

利用蒙特卡洛模擬生成服從上述模型分布特征的隨機(jī)數(shù)，并分別求解矩估計(jì)量和基于牛頓迭代的極大似然估計(jì)量。

通過矩估計(jì)，也就是式(11)求解的參數(shù)估計(jì)結(jié)果為(3.626 1，0.609 6)；將上述估計(jì)值作為初始值進(jìn)行牛頓迭代，求解極大似然估計(jì)量。

在本次模擬試驗(yàn)中總共經(jīng)過4次迭代可收斂，各步迭代結(jié)果如表1所示。

表1 模擬數(shù)據(jù)牛頓迭代結(jié)果

再將牛頓迭代的結(jié)果進(jìn)行模擬退火優(yōu)化，最終得到結(jié)果(3.100 0，0.506 7)。相比矩估計(jì)量(3.626 1，0.609 6)和基于牛頓迭代的極大似然估計(jì)量(3.285 9，0.551 7)，可以發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過模擬退火優(yōu)化過的結(jié)果和最初設(shè)定的模型參數(shù)最接近。另外，分別對(duì)三個(gè)估計(jì)量進(jìn)行Kolmogorov-Smirnov擬合優(yōu)度檢驗(yàn)(后面簡記為KS擬合優(yōu)度檢驗(yàn))。矩估計(jì)KS擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果小于0.05；基于牛頓迭代的極大似然估計(jì)量KS擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果為D=0.020 333，P=0.564 6；經(jīng)過模擬退火優(yōu)化的估計(jì)量KS擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果為D=0.015 33，P=0.872 3，說明基于牛頓迭代的極大似然估計(jì)量和模擬退火優(yōu)化的估計(jì)量與設(shè)定的模擬模型具有一致性。另外無論是直觀觀察兩個(gè)估計(jì)方法的估計(jì)量還是對(duì)比KS擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果，都能說明經(jīng)過模擬退火算法優(yōu)化的估計(jì)量精度得到進(jìn)一步提高，這也就進(jìn)一步說明該方法能夠更好地應(yīng)用于擬合期貨定價(jià)偏差分布。

四、實(shí)證分析

(一)數(shù)據(jù)來源與預(yù)處理

本文選取了滬深300股指期貨IF1806從2017年10月23日至2018年6月15日期間的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究。股指期貨以及滬深300指數(shù)的收盤價(jià)來源于同花順數(shù)據(jù)庫，無風(fēng)險(xiǎn)利率用上海銀行間拆放利率Shibor替代，數(shù)據(jù)來自上海銀行間拆放利率官網(wǎng)，股利收益率相關(guān)數(shù)據(jù)來源于同花順數(shù)據(jù)庫。由于無風(fēng)險(xiǎn)利率和股利收益率沒有統(tǒng)一規(guī)范也沒有直接指標(biāo)，下面對(duì)這兩個(gè)指標(biāo)進(jìn)行詳細(xì)說明。

由于中國利率沒有完全市場化，國內(nèi)學(xué)者在無風(fēng)險(xiǎn)利率的選取上不盡相同，有學(xué)者選取央行票據(jù)利率，也有學(xué)者選取上海銀行間拆放利率。張寶等認(rèn)為，雖然央行票據(jù)利率基本不存在信用風(fēng)險(xiǎn)，但同時(shí)也剔除了大部分的市場風(fēng)險(xiǎn)，央行票據(jù)利率不適合作為無風(fēng)險(xiǎn)利率，最終選取上海銀行間拆放利率Shibor作為無風(fēng)險(xiǎn)利率[17]。本文選取期限與合約剩余期限盡量匹配的Shibor作為無風(fēng)險(xiǎn)利率。

由于Shibor是以年利率(一年 360天)百分比的形式報(bào)價(jià)，并且表示的是單利利率，而計(jì)算股指期貨理論價(jià)格需要使用連續(xù)復(fù)利率，因此需要在計(jì)算理論價(jià)格之前需要對(duì)Shibor進(jìn)一步處理。首先，將Shibor轉(zhuǎn)換成以365天計(jì)算的實(shí)際利率形式，計(jì)算方法如下：

(13)

接著還要將單利的形式轉(zhuǎn)化為連續(xù)復(fù)利形式，換轉(zhuǎn)公式如下所示：

Rc=mlog(1+R/m)

(14)

其中，m表示一年復(fù)利次數(shù)，R表示單利，Rc為復(fù)利。Shibor的期限分別為隔夜、一周、兩周、一個(gè)月、三個(gè)月、六個(gè)月、九個(gè)月和一年，所以m值分別取365、52、26、12、4、2、4/3和1。

中國股票市場股利發(fā)放包括現(xiàn)金股利和股票股利，但是由于股票股利不會(huì)產(chǎn)生額外的現(xiàn)金流，所以本文只考慮現(xiàn)金股利。另外，中國股票市場的股利發(fā)放并不是連續(xù)的，絕大多數(shù)公司在5月和7月之間發(fā)放現(xiàn)金股利，如果使用連續(xù)股利收益率計(jì)算期貨理論價(jià)格就會(huì)出現(xiàn)較大誤差，因此不能忽視股利收益率的集中性和周期性?；谝陨峡紤]，在不同月份設(shè)定不同的股利收益率，具體計(jì)算方式如下：滬深300指數(shù)中的成分股一般情況下每半年做出調(diào)整，列出每個(gè)月滬深300指數(shù)的成分股名單，找到每個(gè)月每只成分股的股利收益率；中證指數(shù)公司在計(jì)算滬深300指數(shù)時(shí)，采用分級(jí)投檔的方法對(duì)每只成分股都賦予了一定權(quán)重，用成分股的權(quán)重和股利收益率相乘，得到滬深300指數(shù)的股利收益率[18]。最終，根據(jù)期貨定價(jià)偏差公式計(jì)算得到偏差序列。

表2給出了上述相關(guān)數(shù)據(jù)的描述性特征，對(duì)比無風(fēng)險(xiǎn)利率和股利收益率可以發(fā)現(xiàn)，無風(fēng)險(xiǎn)利率的變化幅度很小，數(shù)據(jù)變化相對(duì)穩(wěn)定，而股利收益率波動(dòng)幅度相對(duì)較大，在股利發(fā)放淡季，股利收益率幾乎為0，股利集中發(fā)放時(shí)，股利收益率大小超過無風(fēng)險(xiǎn)利率。另外，股指期貨收盤價(jià)的均值小于滬深300指數(shù)收盤價(jià)均值，結(jié)合只有少數(shù)月份股利收益率大于無風(fēng)險(xiǎn)利率的情況，可以推斷在大多數(shù)情況下，實(shí)際價(jià)格會(huì)小于理論價(jià)格，這也與期貨定價(jià)偏差均值為負(fù)的情況相一致。從偏度和峰度來看偏差，偏度為負(fù)，說明偏差分布較正態(tài)分布為左偏；峰度為正，說明偏差分布具有厚尾性，這與很多金融數(shù)據(jù)的分布特征相同。

表2 描述性統(tǒng)計(jì)量

(二)參數(shù)估計(jì)與擬合結(jié)果

先對(duì)偏差序列進(jìn)行去均值處理，將模型簡化為均值為0的混合正態(tài)分布模型，圖1是去均值后偏差的核密度估計(jì)圖。

圖1中正態(tài)分布的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為實(shí)際數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)比偏差分布和正態(tài)分布可以明顯看出，偏差不服從正態(tài)分布，并且兩者KS擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于0.05。下面先利用基于牛頓迭代的極大似然估計(jì)法對(duì)連續(xù)混合正態(tài)分布模型中未知的兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，將矩估計(jì)的結(jié)果(0.003 9，3.080 3)作為初始值進(jìn)行迭代，IF1806實(shí)際數(shù)據(jù)經(jīng)過了12次迭代收斂，最終得到迭代結(jié)果(0.023 7，18.663 8)。

圖1 股指期貨IF1806的偏差核密度估計(jì)圖

進(jìn)一步采用模擬退火算法優(yōu)化牛頓迭代估計(jì)量，得到最終優(yōu)化結(jié)果(0.018 9，18.126 3)。為了進(jìn)一步體現(xiàn)本文提出的連續(xù)混合正態(tài)分布模型以及模擬退火算法的有效性，下面從核密度估計(jì)圖和KS擬合優(yōu)度檢驗(yàn)兩個(gè)角度對(duì)比離散混合正態(tài)分布、牛頓迭代混合正態(tài)分布和模擬退火混合正態(tài)分布。

從圖2的核密度估計(jì)可以看出，離散混合正態(tài)分布、牛頓迭代的連續(xù)混合正態(tài)分布和模擬退火優(yōu)化的連續(xù)混合正態(tài)分布都擬合出了原始偏差數(shù)據(jù)分布的雙峰甚至多峰特征，但無法直接判斷哪個(gè)模型或方法更優(yōu)。各模型或方法的兩樣本KS擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果更具說服力。從表3結(jié)果可以看出，直接基于牛頓迭代的極大似然估計(jì)得到的模型效果不及離散混合正態(tài)分布模型效果，但是經(jīng)過模擬退火算法優(yōu)化之后，連續(xù)混合正態(tài)分布模型的擬合精度得到進(jìn)一步提高，優(yōu)于離散混合正態(tài)分布模型。

圖2 期貨合約IF1806的偏差分布擬合圖

表3 各分布KS檢驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

模型X～N(0，Y)，其中Y～Gamma(0.018 9，18.126 3)擬合的是去均值后的偏差，加上均值μ，X～N(0，Y)+μ，其中Y～Gamma(0.018 9，18.126 3)就可以用來擬合實(shí)際期貨定價(jià)偏差分布。

最終發(fā)現(xiàn)，期貨實(shí)際價(jià)格與理論價(jià)格之間的偏差Xt服從連續(xù)混合正態(tài)分布。在持有成本定價(jià)模型的基礎(chǔ)上引入偏差分布可以提高期貨定價(jià)的準(zhǔn)確性，使得模型更加貼近現(xiàn)實(shí)，計(jì)算的價(jià)格更加精確。對(duì)于整個(gè)股指期貨市場而言，期貨定價(jià)精度的提高有助于改善整個(gè)市場的定價(jià)效率、充分發(fā)揮價(jià)格發(fā)現(xiàn)功能。圖3中，灰色陰影部分是根據(jù)前面最終估計(jì)出來的連續(xù)混合正態(tài)分布計(jì)算得到的95%置信區(qū)間，可以很明顯地看出期貨價(jià)格基本都落在置信區(qū)間內(nèi)。對(duì)套利者而言，套利者可以更準(zhǔn)確地掌握股指期貨實(shí)際價(jià)格與理論價(jià)格之間的關(guān)系，當(dāng)期貨價(jià)格超出置信區(qū)間時(shí)存在套利機(jī)會(huì)，套利者可以據(jù)此做出更準(zhǔn)確的正向套利和反向套利策略。

圖3 套利策略輔助圖

五、結(jié)論與展望

基于以上研究可以發(fā)現(xiàn)，股指期貨理論價(jià)格和實(shí)際價(jià)格之間的偏差包含了期貨市場種種現(xiàn)實(shí)情況，研究偏差分布是提高期貨定價(jià)準(zhǔn)確性的有效方法。首先，基于Gamma分布和正態(tài)分布相結(jié)合的連續(xù)混合正態(tài)分布不僅可以擬合具有厚尾特征的數(shù)據(jù)，而且可以擬合具有偏度和多峰特征的數(shù)據(jù)，本文提出使用該連續(xù)混合正態(tài)分布對(duì)偏差分布進(jìn)行擬合。接著，本文給出了該連續(xù)混合正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)方法，先通過矩估計(jì)給定牛頓迭代的初始值，接著利用基于牛頓迭代的極大似然估計(jì)法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，之后再利用模擬退火算法對(duì)估計(jì)結(jié)果進(jìn)一步優(yōu)化。為了驗(yàn)證該估計(jì)方法的有效性，本文進(jìn)行了蒙特卡洛數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)表明該方法表現(xiàn)穩(wěn)健，能夠有效估計(jì)模型參數(shù)。最后，通過股指期貨IF1806的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行偏差分布擬合和比較，發(fā)現(xiàn)混合正態(tài)分布能夠準(zhǔn)確擬合股指期貨實(shí)際價(jià)格和理論價(jià)格之間的偏差分布，并且偏差分布的精確估計(jì)可以提高股指期貨定價(jià)準(zhǔn)確性，對(duì)整個(gè)市場和套利者都具有現(xiàn)實(shí)意義。

越來越多的實(shí)證表明金融數(shù)據(jù)并不服從傳統(tǒng)的正態(tài)分布假設(shè)，一方面，本文所提出的連續(xù)混合正態(tài)分布可以應(yīng)用在許多其他金融研究中，例如可以應(yīng)用于金融資產(chǎn)收益率的問題。對(duì)收益率的準(zhǔn)確擬合是證券市場風(fēng)險(xiǎn)管理和價(jià)格趨勢預(yù)測的基礎(chǔ)。早期的金融研究者都假設(shè)資產(chǎn)收益率近似服從正態(tài)分布，但是大量實(shí)證表明資產(chǎn)收益率的分布呈現(xiàn)尖峰特征，而且偏度為負(fù)，一般分布很難進(jìn)行擬合。本文使用的混合正態(tài)分布不僅可以擬合這樣的分布，而且只需要估計(jì)兩個(gè)未知參數(shù)，和現(xiàn)有文獻(xiàn)中由兩個(gè)正態(tài)分布的混合相比，需要估計(jì)的參數(shù)個(gè)數(shù)較少。另外，混合正態(tài)分布還可以用于保險(xiǎn)損失數(shù)據(jù)的擬合，保險(xiǎn)損失數(shù)據(jù)往往也是左偏的，從數(shù)據(jù)分布特征來看本文的混合正態(tài)分布模型對(duì)其也具有適用性。另一方面，還可以考慮將其他分布與正態(tài)分布相結(jié)合，本文只是將Gamma分布與正態(tài)分布相結(jié)合，將正態(tài)分布與其他分布相結(jié)合是本文接下來研究的一個(gè)方向，希望能發(fā)現(xiàn)其他混合正態(tài)分布更多的優(yōu)點(diǎn)，拓寬混合正態(tài)分布的應(yīng)用面。