費(fèi)秀海, 戴 磊

(1.滇西科技師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院, 云南 臨滄 677099; 2.渭南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 陜西 渭南 714099)

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)A是交換環(huán)R上的代數(shù),是非負(fù)整數(shù)集,D={dn}n∈是A上的一列線性映射(其中d0=idA是恒等映射),Ω={x∈A:x2=0}.若對(duì)任意的x,y∈A,n∈, 有則稱D是高階導(dǎo)子; 若對(duì)任意的x,y,z∈A,n∈, 有

(1)

則稱D是三重高階導(dǎo)子; 進(jìn)一步, 若D={dn}n∈無(wú)可加性假設(shè), 對(duì)任意的x,y,z∈U,n∈且xyz∈Ω, 有式(1), 則稱D是A上的一個(gè)局部非線性三重高階可導(dǎo)映射.

近年來(lái)，算子代數(shù)上各類映射的研究已成為算子代數(shù)研究領(lǐng)域中的熱點(diǎn)問(wèn)題, 如: 文獻(xiàn)[1-3]分別研究了套代數(shù)、 三角代數(shù)、 廣義矩陣代數(shù)上的全可導(dǎo)點(diǎn)、 Jordan高階全可導(dǎo)點(diǎn)及交換零點(diǎn)Jordan可導(dǎo)映射; 文獻(xiàn)[4-5]刻畫(huà)了素環(huán)和B(X )上的非線性Lie可導(dǎo)映射; 文獻(xiàn)[6-10]研究了三角代數(shù)上的Lie導(dǎo)子、 非線性Lie(高階Lie)可導(dǎo)映射、 非線性廣義Lie可導(dǎo)映射; 文獻(xiàn)[11-12]把非線性和局部相結(jié)合研究了上三角矩陣代數(shù)和全矩陣代數(shù)上的非線性零點(diǎn)可導(dǎo)映射；特別地, 文獻(xiàn)[13]研究了三角代數(shù)上的局部非線性三重可導(dǎo)映射.基于上述研究, 本文主要刻畫(huà)三角代數(shù)上的局部非線性三重高階可導(dǎo)映射.

設(shè)A和B是定義在單位交換環(huán)R上含有單位元的代數(shù), M是含有單位元的(A,B)-雙邊忠實(shí)模, 即M既是A的左模又是B的右模.則稱R-代數(shù)

在矩陣通常的加法與乘法運(yùn)算下是一個(gè)三角代數(shù).設(shè)1A和1B分別是代數(shù)A和B中的單位元, 1 是三角代數(shù)U中的單位元, 用e1和e2分別表示:

顯然, 三角代數(shù)U可被分解為

U=e1Ue1+e1Ue2+e2Ue2=A+M+B.

從而對(duì)任意的x∈U, 可以將x分解成x=a+m+b, 其中:a∈A;m∈M;b∈B.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)U是一個(gè)2-無(wú)撓的三角代數(shù),Ω={x∈U:x2=0},D={dn}n∈是U上一列映射(無(wú)可加性假設(shè)).若對(duì)任意的n∈,x,y,z∈U且xyz∈Ω, 式(1)成立, 則D是一個(gè)可加的高階導(dǎo)子.

對(duì)定理1的證明主要用數(shù)學(xué)歸納法, 在證明過(guò)程中總假設(shè)U是一個(gè)2-無(wú)撓的三角代數(shù),是非負(fù)整數(shù)集,+是正整數(shù)集,Ω={x∈U:x2=0},D={dn}n∈是U上的一個(gè)局部非線性三重高階可導(dǎo)映射.由文獻(xiàn)[13]中定理2.1知, 當(dāng)n=1時(shí),d1在U上是一個(gè)可加的導(dǎo)子, 從而d1有如下性質(zhì)(P1):

下面假設(shè)當(dāng)1≤l

證明D={dn}n∈在U上是一個(gè)可加的高階導(dǎo)子.

引理1對(duì)任意n∈+, 有dn(0)=0,dn(M)?M,dn(e1)和dn(e2)∈M且dn(e1)+dn(e2)=0.

證明: 在式(1)中令x=y=z=0, 則xyz=0∈Ω, 從而由歸納假設(shè)性質(zhì)(P2), 有

對(duì)任意的m∈M, 在式(1)中令x=y=e1,z=m, 由于e1e1m=m∈Ω, 從而由歸納假設(shè)性質(zhì)(P2), 有

從而有dn(m)=2e1dn(e1)e1m+e1dn(m).類似地, 可得dn(m)=2me2dn(e2)e2+dn(m)e2.于是可得e1dn(m)e1=e2dn(m)e2=0, 從而dn(M)?M, 進(jìn)而由U的2-無(wú)撓性及M的忠實(shí)性, 可得

e1dn(e1)e1=e2dn(e2)e2=0.

(2)

在式(1)中令x=z=e1,y=e2, 由于xyz=0∈Ω, 從而由歸納假設(shè)性質(zhì)(P2), 有

類似地, 在式(1)中令x=z=e2,y=e1, 可得2e2dn(e1)e2=0, 從而由U是2-無(wú)撓性, 有

e2dn(e1)e2=e1dn(e2)e1=0.

(3)

因此, 由式(2),(3)可得dn(e1),dn(e2)∈M.在式(1)中令x=y=e1,z=e2, 由于xyz=0∈Ω, 從而由歸納假設(shè)性質(zhì)(P2), 有

于是可得e1dn(e1)e2+e1dn(e2)e2=0.證畢.

引理2對(duì)任意n∈+, 有dn(A )?A+M,dn(B)?M+ B.

證明: 對(duì)任意的a∈A, 在式(1)中令x=z=e2,y=a, 因?yàn)閤yz=0∈Ω, 從而由歸納假設(shè)性質(zhì)(P2), 可得

進(jìn)而有dn(A )?A+M.類似地, 可證dn(B)?M+B.證畢.

引理3對(duì)任意n∈,a∈A,m∈M,b∈B, 有:

證明: 1)對(duì)任意在b∈B, 在式(1)中令x=y=e1,z=b, 則xyz=0∈Ω, 從而由歸納假設(shè)性質(zhì)(P2)及引理1, 有

因此

(4)

類似地, 可得

(5)

對(duì)任意a∈A,b∈B, 在式(1)中令x=a,y=e2,z=b, 則xyz=0∈Ω, 從而由歸納假設(shè)性質(zhì)(P2)及式(4), 有

2)對(duì)任意a∈A,m∈M, 在式(1)中令x=a,y=m,z=e2, 則xyz=am∈Ω, 從而由歸納假設(shè)性質(zhì)(P2)及引理1和引理2, 有

類似地, 可以證明3)成立.證畢.

引理4對(duì)任意的n∈,a1,a2∈A,b1,b2∈B, 有:

證明: 1)對(duì)任意的a1,a2∈A,m∈M, 設(shè)p,q∈.由歸納假設(shè)性質(zhì)(P2)及引理3, 一方面有

(6)

另一方面有

(7)

比較式(6)和式(7), 得

進(jìn)而由M的忠實(shí)性, 得

(8)

從而可得

(9)

類似地, 可以證明2)成立.證畢.

引理5對(duì)任意的n∈,a∈A,m∈M,b∈B, 有:

1)dn(a+m)=dn(a)+dn(m);

2)dn(m+b)=dn(m)+dn(b).

證明: 1)對(duì)任意的a∈A,m∈M , 在式(1)中令x=a+m,y=z=e2, 則xyz=m∈Ω.由歸納假設(shè)性質(zhì)(P2)及引理1～引理4, 有

從而有

e1dn(a+m)e2=e1dn(a)e2+dn(m).

(10)

對(duì)任意的a∈A,m,m1∈M, 在式(1)中令x=a+m,y=m1,z=e2, 則xyz=am1∈Ω.由歸納假設(shè)性質(zhì)(P2)及引理1～引理4, 有

從而可得(dn(a+m)-dn(a))m1=0, ?m1∈M.進(jìn)而由引理1及M的忠實(shí)性, 得

e1dn(a+m)e1=e1dn(a)e1.

(11)

于是由式(10),(11)及引理1和引理2, 可得

dn(a+m)=e1dn(a)e1+e1dn(a)e2+dn(m)=dn(a)+dn(m).

類似地, 可證明2)成立.證畢.

引理6對(duì)任意的n∈,a1,a2∈A,m1,m2∈M,b1,b2∈B, 有:

1)dn(m1+m2)=dn(m1)+dn(m2);

2)dn(a1+a2)=dn(a1)+dn(a2);

3)dn(b1+b2)=dn(b1)+dn(b2).

證明：1)對(duì)任意的n∈,m1,m2∈M, 在式(1)中令x=e1+m1,y=m2+e2,z=e2, 則xyz=m1+m2∈Ω.由歸納假設(shè)性質(zhì)(P2)及引理1～引理5, 有

2)對(duì)任意的a1,a2∈A,m∈M, 由歸納假設(shè)性質(zhì)(P2)及引理1～引理6中1), 有

從而可得(dn(a1+a2)-dn(a1)-dn(a2))m=0, ?m∈M.進(jìn)而由M的忠實(shí)性, 得

e1dn(a1+a2)e1=e1dn(a1)e1+e1dn(a2)e1.

(12)

下證e1dn(a1+a2)e2=e1dn(a1)e2+e1dn(a2)e2.對(duì)任意的a1,a2∈A, 由引理1、 引理2、 引理4及歸納假設(shè), 有

從而有

e1dn(a1+a2)e2=e1dn(a1)e2+e1dn(a2)e2.

(13)

進(jìn)而由式(12),(13)及引理2, 可得

類似地, 可以證明3)成立.證畢.

引理7對(duì)任意的n∈,a∈A,m∈M,b∈B, 有dn(a+m+b)=dn(a)+dn(m)+dn(b).

證明: 對(duì)任意的n∈,a∈A,m,m1∈M,b∈B, 在式(1)中令x=a+m,y=m1,z=e2, 則xyz=am1∈Ω.由歸納假設(shè)性質(zhì)(P2)及引理1～引理5, 有

從而由M的忠實(shí)性, 得

e1dn(a+m+b)e1=e1dn(a)e1.

(14)

類似地, 可證

e2dn(a+m+b)e2=e2dn(b)e2.

(15)

下面只需證明e1dn(a+m+b)e2=e1dn(a)e2+dn(m)+e1dn(b)e2即可.對(duì)任意的n∈,a∈A,b∈B, 有

從而有

(16)

類似地, 得

(17)

對(duì)任意的n∈,m∈M, 有

從而有

(18)

在式(1)中令x=e1,y=a+m,z=e2, 則xyz=m∈Ω.由歸納假設(shè)性質(zhì)(P2)、 引理1～引理5及式(16)～(18), 有

從而可得

e1dn(a+m+b)e2=e1dn(a)e2+dn(m)+e1dn(b)e2.

(19)

進(jìn)而由引理2及式(14),(19), 可得

下面證明定理1.由引理5～引理7可證D在三角代數(shù)U上是可加的.對(duì)任意的x,y∈U,n∈, 設(shè)x=a1+m1+b1,y=a2+m2+b2(其中:a1,a2∈A;m1,m2∈M;b1,b2∈B), 由引理1～引理4, 有

即D={dn}n∈是U上可加的高階導(dǎo)子.證畢.

設(shè)H是數(shù)域F上的一個(gè)Hilbert空間, B(H )表示H上全體有界線性算子, N 表示H中一個(gè)包含H和{0}的全序閉子空間鏈, 若N在集合的交和閉線性張運(yùn)算下封閉, 則稱N為套, N={H,{0}}稱為平凡套, 套N相應(yīng)的套代數(shù)記為Alg N, 定義為Alg N={T∈B(H ):TX?X, ?X∈N }.顯然, 每個(gè)非平凡的套代數(shù)都是三角代數(shù), 每個(gè)有限維的非平凡套代數(shù)都同構(gòu)于上三角分塊矩陣代數(shù).

由于套代數(shù)和上三角分塊矩陣代數(shù)是兩類特殊的三角代數(shù), 因此作為定理1的應(yīng)用有如下推論:

推論2設(shè)N是數(shù)域F上無(wú)限維Hilbert空間H上的一個(gè)非平凡套,D={dn}n∈是套代數(shù)Alg N上的一個(gè)局部非線性三重高階可導(dǎo)映射, 則D={dn}n∈是一個(gè)可加的高階導(dǎo)子.