郭崗

摘要：針對T-S離散模糊雙線性系統(tǒng)的非脆弱靜態(tài)輸出反饋控制的問題，基于并行分布補償算法（PDC）在有附加控制器增益擾動的條件下，得到了閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件。穩(wěn)定性條件進一步轉化為線性矩陣不等式，并通過Matlab LMI工具箱很容易地得到了期望的控制器。最后，通過范.德.瓦斯模型證明了所提方法的有效性。

關鍵詞：離散模糊雙線性大系統(tǒng);非脆弱性控制;靜態(tài)輸出反饋;線性矩陣不等式（LMI）

中圖分類號：TP13? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2020）36-0222-03

1 背景

眾所周知，基于T-S（Takagi- Sugeno）模型的模糊控制已經引起了廣泛的關注，主要因為對于非線性系統(tǒng)來說，模糊模型是一種有效、靈活的工具[1-2]。值得注意的是上述的模糊系統(tǒng)是基于線性的T-S模糊模型。雙線性系統(tǒng)處于非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)之間，其動態(tài)性比非線性系統(tǒng)更加簡單?？紤]到雙線性系統(tǒng)與模糊控制的優(yōu)勢，基于T-S模糊模型的模糊雙線性系統(tǒng)引起了廣大研究者的興趣[3-6]。模糊雙線性模型的主要特征是通過雙線性模型描述每一個模糊規(guī)則的局部動態(tài)性。

在實際應用中，由于數字系統(tǒng)中字長的限定以及最終控制器裝置中參數的轉換所引發(fā)的控制器裝置的不精確性常常是不可避免的。在這種情況下，控制器是非常敏感的、脆弱的，還會伴有控制器系數錯誤的產生[7]。由于控制器裝置的不精確，控制器裝置的脆弱性成為反饋控制系統(tǒng)性能下降的主要原因，非脆弱控制問題也變得重要起來。近年來，非脆弱控制研究已吸引了廣泛的關注，并取得了一系列的成果[8-10]。然而，上述的控制器設計主要是基于狀態(tài)反饋控制或者基于觀測控制，極少涉及模糊靜態(tài)輸出反饋。當系統(tǒng)的狀態(tài)相對反饋來說不占絕對優(yōu)勢的情況下，靜態(tài)輸出反饋控制是非常重要并且必須使用的。截至目前，尚未發(fā)現關于帶靜態(tài)輸出反饋的離散模糊雙線性系統(tǒng)非脆弱控制問題的相關文獻。

本文著力解決模糊雙線性系統(tǒng)的非脆弱靜態(tài)輸出反饋控制問題。得到了模糊非脆弱靜態(tài)反饋輸出控制器穩(wěn)定的充分條件，相應的控制器可由一組LMI的解得到。與現有文獻相比，避免了整合轉換與相同輸出矩陣的弊端。

雙線性系統(tǒng)處于非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)之間，其動態(tài)性比非線性系統(tǒng)更加簡單[1-2]。考慮到雙線性系統(tǒng)與模糊控制的優(yōu)勢，基于T-S模糊模型的模糊雙線性系統(tǒng)引起了廣大研究者的興趣[3-6]。模糊雙線性模型的主要特征是通過雙線性模型描述每一個模糊規(guī)則的局部動態(tài)性。

在實際應用中，控制器是非常敏感的、脆弱的，還會伴有控制器系數錯誤的產生[7]。由于控制器裝置的不精確，控制器裝置的脆弱性成為反饋控制系統(tǒng)性能下降的主要原因，非脆弱控制問題也變得重要起來。近年來，非脆弱控制研究已吸引了廣泛的關注，并取得了一系列的成果[8-11]。然而，上述的控制器設計主要是基于狀態(tài)反饋控制或者基于觀測控制，極少涉及模糊靜態(tài)輸出反饋。

2 系統(tǒng)描述

模糊雙線性系統(tǒng)的第i條規(guī)則可描述如下：

3 主要結論

下面給出定理證明中要用到的兩個引理：

以下定理給出了系統(tǒng)（5）所表示的帶有加性控制器增益攝動的非脆弱促成本控制器存在的充分條件。

對定理1中的（6）同時左、右乘diag{P，I，I，I }，再應用Schur補定理可得，? V （t） <0。所以可知系統(tǒng)（5）漸近穩(wěn)定的。矩陣不等式（6）導致雙線性矩陣不等式（BMI）最優(yōu)化問題，這是一類非凸優(yōu)化設計問題。而非凸優(yōu)化則意味著情況最小值和BMI問題是一個NP-hard問題。在下面的定理中，將導出充分性條件，將矩陣不等式（7）轉換成LMI形式。

4 數字仿真

考慮由式（15）給出的范.德.瓦斯模型[3]例子的等溫連續(xù)攪拌槽式反應堆的動態(tài)性，

攝動[ΔF]，選[H1=H2=H3=0.1，Ef1=0.01-0.02，Ef2=0.01-0.01，Ef3=-0.020.02，]狀態(tài)成員函數[x1]如圖1所示。取[ρ=0.87，ε1=1.457，ε2=0.035]應用于定理2，可得到以下可行性解決方案：[F1=-1.2312，F2=-0.3626，F3=0.3514]。圖2和圖3顯示了初始條件為[1.8-0.9]的情況下，[xTd=4.49601.266，ud=78.0000]時，非脆弱控制器系統(tǒng)（16）的仿真結果?？梢钥闯觯]環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。由仿真結果可知，本文所提的模糊非脆弱控制器的有效性。

5 結束語

在控制器設計的過程中，存在一些諸如設備不足夠精確、計數錯誤等因素，因此在控制器設計過程中可能存在控制器設計不確定脆弱問題。所以對于一個控制系統(tǒng)如何設計一個非脆弱控制器是非常重要的。本文中，研究了一類模糊雙線性問題的非脆弱靜態(tài)輸出反饋控制問題，根據LMI的可行性解決方案，給出了能保證閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的一級控制器的參數化表示，通過范.德.瓦斯例子顯示了所提方法的有效性。

參考文獻：

[1] Li L Z，Lin Z P，Chai Y，et al.Output feedback stabilization of two-dimensional fuzzy systems[J].Multidimensional Systems and Signal Processing，2019，30（4）：1731-1748.

[2] Bourahala F，Guelton K，Manamanni N，et al.Relaxed controller design conditions for Takagi–sugeno systems with state time-varying delays[J].International Journal of Fuzzy Systems，2017，19（5）：1406-1416.

[3] Yu Y，Jo K H.Output feedback fault-tolerant control for a class of discrete-time fuzzy bilinear systems[J].International Journal of Control，Automation and Systems，2016，14（2）：486-494.

[4] 張果，王燕.一類模糊分散輸出反饋控制器的設計方法[J].模糊系統(tǒng)與數學，2018，32（4）：17-23.

[5] Li Y，Liu L，Feng G.Adaptive finite-time controller design for T–S fuzzy systems[J].IEEE Transactions on Cybernetics，2017，47（9）：2425-2436.

[6] Long L J.Multiple Lyapunov functions-based small-gain theorems for switched interconnected nonlinear systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2017，62（8）：3943-3958.

[7] Ferdowsi H，Jagannathan S.Decentralized fault tolerant control of a class of nonlinear interconnected systems[J].International Journal of Control，Automation and Systems，2017，15（2）：527-536.

[8] Lian Z，He Y，Zhang C K，et al.Stability analysis for T-S fuzzy systems with time-varying delay via free-matrix-based integral inequality[J].International Journal of Control，Automation and Systems，2016，14（1）：21-28.

[9] Kim S H，Park P.Observer-based relaxed ${{＼cal H}}＼infty $ control for fuzzy systems using a multiple Lyapunov function[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2009，17（2）：477-484.

[10] Chen S S，Chang Y C，Su S F，et al.Robust static output-feedback stabilization for nonlinear discrete-time systems with time delay via fuzzy control approach[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2005，13（2）：263-272.

【通聯編輯：謝媛媛】