蔡一波，杜 冬，周愛明

(上海衛(wèi)星工程研究所，上海 201109)

0 引言

在航天器向大型化、模塊化、平臺化以及不同研制單位分工合作的時代潮流下，模態(tài)綜合法具有廣闊的應(yīng)用前景。模態(tài)綜合法最早起源于20世紀(jì)60年代，Hurty[1]在1960年確立了這一概念，Gladwell[2]于1964年在Hurty的基礎(chǔ)上提出了子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法(Component Mode Synthesis)，即CMS方法。隨后模態(tài)綜合法逐步發(fā)展出了以CBH(Craig-Bampton-Hurty)法[3]為代表的固定界面模態(tài)綜合法、自由界面模態(tài)綜合法和混合界面模態(tài)綜合法等方法，并在國內(nèi)外學(xué)者的研究中不斷改進(jìn)和豐富。

模態(tài)綜合法的基本思想是“化整為零，積零為整”，能夠大幅度縮減整體結(jié)構(gòu)特性矩陣的階數(shù)，同時還能夠保持計算分析精度，有著諸多優(yōu)點：(1)提高計算效率，節(jié)約成本；(2)可以在不泄露子結(jié)構(gòu)幾何和材料信息的情況下實現(xiàn)各研制方的有效對接，保護(hù)知識產(chǎn)權(quán)。因此，模態(tài)綜合法在航空航天、船舶制造等需要解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題的大型工程領(lǐng)域有著很好的應(yīng)用。

本文主要針對CBH固定界面模態(tài)綜合法進(jìn)行精度分析，從理論公式分析其誤差來源，再通過實際的航天器模型仿真，以有限元法為標(biāo)準(zhǔn)，對比不同主模態(tài)截斷方法對固定界面模態(tài)綜合法精度的影響。

1 主模態(tài)截斷方法

固定界面模態(tài)綜合法將整體結(jié)構(gòu)按照結(jié)構(gòu)特點分割成A、B兩個子結(jié)構(gòu)，子結(jié)構(gòu)A、B在界面上進(jìn)行連接，定義二者節(jié)點自由度的交集為界面自由度集，界面自由度集 內(nèi)的所有自由度固定，但A、B的內(nèi)部自由度集iA、iB原有約束維持不變。單個子結(jié)構(gòu)的運動方程為

(1)

式中m為質(zhì)量陣，k為剛度陣，x為位移坐標(biāo)，fj表示界面力，gi、gj分別表示作用在子結(jié)構(gòu)內(nèi)部自由度集、界面自由度集上的其它外部擾動力。

主模態(tài)截斷的準(zhǔn)則是，如何既最大程度上的縮減結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的自由度，又能滿足精度要求。在以往研究中應(yīng)用的方法有：頻率截斷法[4,5,6]、有效模態(tài)質(zhì)量截斷法[7,8]、勢能判據(jù)截斷法[9]等。下面結(jié)合matlab編程和有限元仿真的方式對于這三種方法進(jìn)行對比，建立了某衛(wèi)星的有限元模型，下部分為平臺子結(jié)構(gòu)1，上部分為載荷子結(jié)構(gòu)2，如圖1所示。

圖1 衛(wèi)星有限元模型Fig.1 Satellite finite element model

圖1中有限元模型底部固支，施加基礎(chǔ)加速度激勵，計算響應(yīng)點A的加速度響應(yīng)。

1.1 頻率截斷法

主模態(tài)頻率截斷法是取所關(guān)心最高模態(tài)頻率的某一倍數(shù)，對子結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)截斷。現(xiàn)關(guān)心圖1衛(wèi)星模型200Hz以內(nèi)的動態(tài)特性，并采用1～3倍關(guān)心頻率對各子結(jié)構(gòu)進(jìn)行主模態(tài)截斷，觀察其保留主模態(tài)階數(shù)和最高精確結(jié)構(gòu)頻率(誤差小于0.5%)，如表1所示。

表1 不同頻率截斷結(jié)果Tab.1 Truncation results based on different frequencies

在表1中，Sf表示所關(guān)心頻率(200Hz)的倍數(shù)。

由表1可知，當(dāng)Sf=1時，模態(tài)綜合后得到的最高精確結(jié)構(gòu)頻率為95Hz，不滿足200Hz的要求，子結(jié)構(gòu)1保留1階主模態(tài)，子結(jié)構(gòu)2保留4階主模態(tài)；當(dāng)Sf=2時，模態(tài)綜合后得到的最高精確結(jié)構(gòu)頻率為328Hz，滿足200Hz的精度要求，子結(jié)構(gòu)1保留1階主模態(tài)，子結(jié)構(gòu)2保留17階主模態(tài)；當(dāng)Sf=3時，模態(tài)綜合后得到的最高精確結(jié)構(gòu)頻率為491Hz，滿足200Hz的精度要求，子結(jié)構(gòu)1保留17階主模態(tài)，子結(jié)構(gòu)2保留52階主模態(tài)。由上述可見，頻率截斷法可以有效減少子結(jié)構(gòu)主模態(tài)數(shù)，極大降低了動力學(xué)計算的工作量，且當(dāng)Sf=2～3倍時，能較精確地反映衛(wèi)星系統(tǒng)的低頻模態(tài)特性。

圖2為不同頻率截斷倍數(shù)下，衛(wèi)星系統(tǒng)A點的加速度響應(yīng)曲線。

圖2 頻率截斷的加速度響應(yīng)Fig.2 Acceleration response for truncation at different frequencies

由圖2可知，當(dāng)Sf=1時，在0～85Hz激勵范圍內(nèi)，A點的加速度響應(yīng)與無截斷的標(biāo)準(zhǔn)響應(yīng)比較一致；當(dāng)Sf=2時，在0～340Hz激勵范圍內(nèi)，A點的加速度響應(yīng)與無截斷的標(biāo)準(zhǔn)響應(yīng)比較一致；當(dāng)Sf=3時間，在0～450Hz激勵范圍內(nèi)，A點的加速度響應(yīng)與無截斷的標(biāo)準(zhǔn)響應(yīng)比較一致?？梢姡?dāng)Sf=2～3倍時，頻率截斷法可以較高精度地反映衛(wèi)星系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)特性，且隨著截斷頻率增大，高頻激勵下的響應(yīng)精度也會增大。

1.2 有效模態(tài)質(zhì)量截斷法

David等人[8]采用有效模態(tài)質(zhì)量截斷法進(jìn)行主模態(tài)的選取，定義子結(jié)構(gòu)第 階主模態(tài)的模態(tài)參與因子為：

其中ΦiK為第K階主模態(tài)，定義第K階主模態(tài)有效模態(tài)質(zhì)量和總有效模態(tài)質(zhì)量分別為

(3)

Me的對角元素表示各主模態(tài)在每個界面自由度上的有效模態(tài)質(zhì)量之和，則MeK與Me的比值，即有效模態(tài)質(zhì)量比，可反映子結(jié)構(gòu)各階主模態(tài)之間的相對重要性。

現(xiàn)取0.1,0.01,0.001作為有效模態(tài)質(zhì)量比的閾值，分別計算截斷后的保留主模態(tài)階數(shù)和最高精確結(jié)構(gòu)頻率，如表2所示。

表2 不同有效模態(tài)質(zhì)量截斷結(jié)果Tab.2 Truncation results based on different effective mode mass

在表 2中，Sm=0.1為有效模態(tài)質(zhì)量比的閾值。由表 2得，當(dāng) 時，模態(tài)綜合后得到的最高精確結(jié)構(gòu)頻率為318Hz，子結(jié)構(gòu)1保留9階主模態(tài)，子結(jié)構(gòu)2保留7階主模態(tài)；當(dāng)Sm=0.01時，模態(tài)綜合后得到的最高精確結(jié)構(gòu)頻率為338Hz，子結(jié)構(gòu)1保留66階主模態(tài)，子結(jié)構(gòu)2保留10階主模態(tài)；當(dāng)Sm=0.001時，模態(tài)綜合后得到的最高精確結(jié)構(gòu)頻率為653Hz，子結(jié)構(gòu)1保留74階主模態(tài)，子結(jié)構(gòu)2保留62階主模態(tài)?？芍?，有效模態(tài)質(zhì)量截斷法可以有效縮減保留主模態(tài)數(shù)，提高計算效率；同時隨著截斷閾值的增加，高階模態(tài)頻率的計算精度下降，但在低頻區(qū)間仍有較高的計算精度。

圖3為不同截斷閾值情況下，衛(wèi)星系統(tǒng)A點的加速度響應(yīng)曲線。觀察可知，當(dāng)截斷閾值分別取0.1、0.01、0.001時，在0～400Hz范圍內(nèi)，A點的加速度響應(yīng)與標(biāo)準(zhǔn)響應(yīng)曲線比較一致。因此，有效模態(tài)質(zhì)量截斷法也可以保證模態(tài)綜合計算所得的結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)特性在低頻區(qū)間有較高的精度。

圖3 有效模態(tài)質(zhì)量截斷的加速度響應(yīng)Fig.3 Acceleration response for truncation at different effective mode mass

1.3 勢能判據(jù)截斷法

隨著主模態(tài)截斷數(shù)K的增加，由廣義坐標(biāo)推出子結(jié)構(gòu)在物理坐標(biāo)下的位移也會不同，該位移會逐漸逼近于精確解，當(dāng)K分別取1,2,…,n時(n為子結(jié)構(gòu)模態(tài)的總階數(shù))，得到一組位移向量：x1,x2,…,xn，定義集合X={x1,x2,…,xn，0}，可知該集合為一線性空間?，F(xiàn)構(gòu)造一個函數(shù)|xK|：

(4)

|xn|-|xK0|<ε

(5)

其中ε為給定的無窮小量。當(dāng)滿足上式時，可判斷出xK0和xn之間差異很小，可以用xK0來近似替代xn，此時模態(tài)綜合得到系統(tǒng)的動力學(xué)特性接近于實際情況，所以模態(tài)截斷只需要找到范數(shù)滿足上式的最小K0即可，|xK|代表子結(jié)構(gòu)勢能的開方，故這一方法又稱勢能判據(jù)截斷法。

圖4為在一定激勵下，子結(jié)構(gòu)1和子結(jié)構(gòu)2隨截取主模態(tài)階數(shù)K變化的勢能范數(shù)曲線。

圖4 子結(jié)構(gòu)勢能范數(shù)曲線圖Fig.4 Diagram of the potential energy norm

由圖4可知，隨著截取主模態(tài)階數(shù)K的增大，結(jié)構(gòu)的勢能增大，當(dāng)K取到某一值K0時，勢能趨于收斂，此時的K0即為最佳模態(tài)截斷數(shù)。在圖4中，子結(jié)構(gòu)1的最佳截斷模態(tài)數(shù)61，子結(jié)構(gòu)2的最佳截斷模態(tài)數(shù)為233。根據(jù)勢能判據(jù)截斷法，對衛(wèi)星系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)綜合后動力學(xué)計算，得到最高精確結(jié)構(gòu)頻率為Hz，圖5為A點的加速度響應(yīng)曲線。

圖5 勢能判據(jù)截斷的加速度響應(yīng)Fig.5 Acceleration response for truncation at potential energy criterion

由圖5可知，采用勢能判據(jù)截斷的固定界面模態(tài)綜合法有很高的精度，與直接計算所得的動力學(xué)響應(yīng)曲線高度吻合，同時也能在一定程度上縮減模態(tài)綜合的保留主模態(tài)數(shù)，提高計算速度。

2 主模態(tài)截斷方法對比

頻率截斷法、有效模態(tài)質(zhì)量截斷法和勢能判據(jù)截斷法都能有效地減少模態(tài)綜合計算時動力學(xué)方程中矩陣的自由度數(shù)，大大地縮短了計算時間，且在低頻區(qū)間都有較高的計算精度，但三種方法仍各有優(yōu)劣。

由表1可知，當(dāng)Sf時，子結(jié)構(gòu)1保留1階主模態(tài)，子結(jié)構(gòu)2保留4階主模態(tài)，最高精確結(jié)構(gòu)頻率為95Hz；當(dāng) 時，子結(jié)構(gòu)1保留1階主模態(tài)，子結(jié)構(gòu)2保留17階主模態(tài)，最高精確結(jié)構(gòu)頻率為328Hz，子結(jié)構(gòu)1在兩種情況下都只保留了1階主模態(tài)，這是因為子結(jié)構(gòu)1的低階固有頻率比較大。但隨著子結(jié)構(gòu)2保留主模態(tài)數(shù)由4階增加到17階，計算所得系統(tǒng)的精確結(jié)構(gòu)頻率很快提高，說明子結(jié)構(gòu)1 的低階主模態(tài)對于衛(wèi)星系統(tǒng)的低頻動態(tài)特性影響較小，而子結(jié)構(gòu)2的低階主模態(tài)對于衛(wèi)星系統(tǒng)的低頻動態(tài)特性影響較大，原因是子結(jié)構(gòu)1的剛度相對較大，在低頻振動情況下的變形較小且多為靜力變形，而固定界面模態(tài)綜合法利用約束模態(tài)考慮了靜變形的影響，因此即使子結(jié)構(gòu)1保留的主模態(tài)數(shù)較少，衛(wèi)星系統(tǒng)的低頻動態(tài)特性計算結(jié)果仍有較好的精度。由表2中Sm=0.1和Sm=0.01的兩組數(shù)據(jù)對比也可得到這一結(jié)論，總保留主模態(tài)數(shù)由16階增加到76階，其中子結(jié)構(gòu)1保留主模態(tài)數(shù)增加了57階，但最高精確結(jié)構(gòu)頻率只上升了20Hz，進(jìn)一步說明了子結(jié)構(gòu)2低階模態(tài)對于系統(tǒng)低頻動態(tài)特性的影響要大于子結(jié)構(gòu)1。

對比表1和表2可知，當(dāng)Sf=2時，總保留主模態(tài)數(shù)為18，子結(jié)構(gòu)1最高精確結(jié)構(gòu)頻率為328Hz；而當(dāng)Sm=0.01時，總保留主模態(tài)數(shù)為76，最高精確結(jié)構(gòu)頻率為338Hz，僅提高了10Hz，說明頻率截斷法相對于有效模態(tài)質(zhì)量截斷法有更高的截斷效率。因為有效模態(tài)質(zhì)量截斷法只能對比單一子結(jié)構(gòu)內(nèi)各階模態(tài)的重要性，而無法判斷各個子結(jié)構(gòu)的模態(tài)分別對于整體系統(tǒng)的影響，這就導(dǎo)致了當(dāng)Sm=0.01時，子結(jié)構(gòu)1保留了多余的主模態(tài)，進(jìn)而導(dǎo)模態(tài)綜合體計算效率的下降。對比表1Sf=3和表2Sm=0.01兩組數(shù)據(jù)也能得到這一結(jié)論，Sf=3時，總保留主模態(tài)數(shù)為69，最高精確結(jié)構(gòu)頻率為491Hz；Sm=0.01時，總保留主模態(tài)數(shù)為76，最高精確結(jié)構(gòu)頻率卻只有338Hz。

頻率截斷法和有效模態(tài)質(zhì)量截斷法雖然都有不錯的截斷效果，但截斷倍數(shù)和閾值的選取具有很大隨機性，根據(jù)個人經(jīng)驗和實際模型結(jié)構(gòu)的不同，截取的模態(tài)數(shù)量也會大有不同，從而必然會影響到結(jié)果的好壞。而勢能判據(jù)截斷法有嚴(yán)格的理論證明支撐，對于任意的系統(tǒng)都有很好的適用性，且截斷結(jié)果不因人為因素改變，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身，穩(wěn)定性較好，精度高，但勢能判據(jù)截斷法相對于前兩種方法，截斷準(zhǔn)則保守，保留的主模態(tài)數(shù)往往較多，且需要計算勢能范數(shù)曲線圖來找出最佳截斷模態(tài)數(shù)，計算速度略有不足。

3 結(jié)論

針對衛(wèi)星系統(tǒng)模型，分析了三種模態(tài)截斷法在固定界面模態(tài)綜合法中對動態(tài)特性和動力學(xué)響應(yīng)計算結(jié)果精度的影響，結(jié)果表明：

(1)頻率截斷法需根據(jù)實際模型，選取合適的截斷倍數(shù)，一般建議選取2～3倍，可對比不同子結(jié)構(gòu)間主模態(tài)的重要性，截斷后保留的主模態(tài)數(shù)較少，計算效率較高。

(2)有效模態(tài)質(zhì)量截斷法需根據(jù)經(jīng)驗，選取合適的截斷閾值，有效模態(tài)質(zhì)量比在模態(tài)綜合計算過程中即可算得，不需要額外的計算，但該方法只能對比各子結(jié)構(gòu)自身各階主模態(tài)的重要性，容易造成保留主模態(tài)的冗余。

(3)勢能判據(jù)截斷法無需憑借經(jīng)驗和估計，截斷準(zhǔn)則的理論合理性充分，計算精度最高，但該方法較為保守，保留主模態(tài)數(shù)較多，計算速度較慢。

(4)對于精細(xì)化分析，應(yīng)該考慮采用頻率截斷法，但需要選取多個截斷倍數(shù)進(jìn)行計算，找到在關(guān)心頻率范圍內(nèi)使得動力學(xué)響應(yīng)精度最高且收斂的最小截斷倍數(shù)，以實現(xiàn)高效率截斷。

在航天器動力學(xué)仿真中應(yīng)用固定界面模態(tài)綜合法，可結(jié)合實際的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和工程需求來選取合適的主模態(tài)截斷方法，在保證精度的同時有效地提高分析效率。