廣東省東莞市常平中學(xué)初中部

基本圖形一般是指在教材中描述圖形定義、公理、定理的圖形,以及一些具有代表性的例題和習(xí)題中的圖形.解析基本圖形,能夠幫助學(xué)生快速找到幾何綜合題的解題突破口,攻破教學(xué)難點(diǎn),提升解題效率,發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和邏輯推理能力.

1 提出問(wèn)題

1.1 題目呈現(xiàn)

問(wèn)題1如圖1,正方形ABCD中,E是對(duì)角線BD上一點(diǎn),連接CE,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CE交AB于點(diǎn)F,求證:EF =EC.

圖1

這是八年級(jí)下冊(cè)《平行四邊形》期末復(fù)習(xí)中的一道練習(xí)題,在規(guī)定時(shí)間里全班48名學(xué)生僅有3人成功解答.其實(shí)本題的證明過(guò)程不算復(fù)雜,只要學(xué)生對(duì)正方形的軸對(duì)稱(chēng)性有一定的感知,對(duì)此前學(xué)習(xí)正方形的性質(zhì)時(shí)解決過(guò)的一些基本圖形有所印象,比較容易想到的是添加一條輔助線構(gòu)造一對(duì)軸對(duì)稱(chēng)的全等基本圖形的解題思路,如圖2,圖3.

圖2

圖3

以圖2為例,連接AE,易證ΔABE∽= ΔCBE(或ΔDEA∽= ΔDEC),得到EA=EC,∠1=∠2,然后由四邊形EFBC內(nèi)角和得出∠4+∠3 = 180°,再轉(zhuǎn)化出∠1 = ∠3,進(jìn)而EA=EF,最后等量代換證得EF=EC.

1.2 障礙分析

通過(guò)交流發(fā)現(xiàn),最初多數(shù)學(xué)生陷入了證明“ΔBFE∽= ΔDEC”的誤區(qū),找不齊全等的條件,一部分學(xué)生想到了添加輔助線,嘗試“連接FC,然后努力證等角對(duì)等邊”,朝這兩個(gè)方向努力的學(xué)生都感到條件“EF⊥EC”難以利用.說(shuō)明學(xué)生對(duì)這類(lèi)需要添加輔助線構(gòu)造全等三角形的問(wèn)題缺乏解題經(jīng)驗(yàn),對(duì)題目中隱含的基本圖形(如圖4,圖5)表征的識(shí)別存在較大困難,無(wú)法利用過(guò)往經(jīng)驗(yàn),造成解題效率低下.

圖4

圖5

2 利用基本圖形分析法的解題教學(xué)

解析基本圖形是中考?jí)狠S幾何綜合題的重要解題技巧,為此筆者設(shè)計(jì)了一節(jié)添加輔助線,構(gòu)造三角形全等基本圖形的幾何證明習(xí)題課,旨在幫助學(xué)生掌握解析基本圖形的解題方法,形成轉(zhuǎn)化核心模型的解題意識(shí).

2.1 三角形全等的基本圖形應(yīng)用舉例

習(xí)題課圍繞兩類(lèi)三角形全等的基本圖形展開(kāi),第一類(lèi)采用啟發(fā)引導(dǎo),第二類(lèi)采用探究發(fā)現(xiàn)的方式.

題組1

(1)如圖6,已知AB//CD,點(diǎn)O是BD的中點(diǎn),求證:ΔABO∽= ΔCDO.

(2)如圖7,ΔABC中,AB=AC,E是AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),D是AB上一點(diǎn),且CE=BD,連接DE,交BC于點(diǎn)F,求證:DF=EF.

圖6

圖7

題組2

(1)如圖8,AB=AC,AD平分∠BAC,求證:ΔABD∽= ΔACD.

(2)如圖9,ΔABC中,AD是角平分線,∠ABD=2∠C,求證:AC=AB+BD.

圖8

圖9

題組1的教學(xué)中,多數(shù)學(xué)生一開(kāi)始未能發(fā)現(xiàn)圖6就是隱含在圖7中的基本圖形,通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察圖7中有無(wú)圖6的若干表征,一些學(xué)生終于懂得圍繞著以F點(diǎn)為頂點(diǎn)的一對(duì)對(duì)頂角構(gòu)造8 字全等形,通過(guò)合作交流,學(xué)生們又找出了幾種不同的做法,如圖10,過(guò)點(diǎn)D作AE的平行線,或者如圖11,過(guò)E點(diǎn)作AB的平行線,然后證一個(gè)小的等腰三角形和一對(duì)8 字形全等,也可以如圖12,分別過(guò)點(diǎn)D,點(diǎn)E作BC的垂線段,然后證兩次全等.

圖10

圖11

圖12

題組2的教學(xué)中,學(xué)生懂得了在圖9中找尋圖8的表征,約有三分之一的學(xué)生在規(guī)定時(shí)間里找到了添加輔助線構(gòu)造圖8這種對(duì)折全等形的辦法,如圖13,圖14.

圖13

圖14

兩個(gè)題組學(xué)完后,要求學(xué)生總結(jié)反思,在圖形中具有怎樣的表征時(shí),可以嘗試構(gòu)造8 字全等形,具有怎樣的表征時(shí),可以嘗試構(gòu)造對(duì)折全等形? 多數(shù)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)前者的表征包含有:平行線段,對(duì)頂角,后者的表征包含有:角平分線,公共邊,有4位同學(xué)還觀察到了圖7中隱含有平行四邊形對(duì)角線互相平分的模型.

2.2 教學(xué)效果檢測(cè)

題組3

(1)如圖15,B是AC上一點(diǎn),分別以AB,BC為邊在AC同側(cè)作等邊ΔABD和等邊ΔBCE,連接DC,AE,求證:DC=AE.

(2)如圖16,D是等邊ΔABC外一點(diǎn),連接BD,CD,AD,∠BDC=120°,求證:AD=BD+CD.

圖15

圖16

題組3中的第一題是之前學(xué)過(guò)的很熟悉的一道練習(xí),這里僅僅是出示給學(xué)生們溫習(xí)一下不需要再次解答,但是要求學(xué)生描出圖15中隱含的基本全等圖形,在規(guī)定時(shí)間里,全班有27名學(xué)生(約占總數(shù)56%)想到了延長(zhǎng)BD到E,連接CE,構(gòu)造ΔBCE∽= ΔACD的辦法,如圖17,并能夠成功抽取出一對(duì)旋轉(zhuǎn)的全等模型,如圖18.

圖17

圖18

3 反思與建議

數(shù)學(xué)家G·波利亞的《怎樣解題》表中的精髓是啟發(fā)學(xué)生懂得去聯(lián)想,思考要解決的問(wèn)題與過(guò)往早已解決的哪個(gè)問(wèn)題有聯(lián)系,能否加以利用? 在解需要添加輔助線的這類(lèi)幾何證明題時(shí),能夠識(shí)別圖形中的若干表征,展開(kāi)聯(lián)想,構(gòu)造出過(guò)往熟悉的基本圖形,是提升解題效率的關(guān)鍵.

3.1 進(jìn)行圖形分解,識(shí)別基本圖形

對(duì)圖形進(jìn)行分解,識(shí)別其中隱含的基本圖形,甚至是多個(gè)基本圖形,是解決中考?jí)狠S的幾何綜合題的重要方法.近年來(lái)一些中考教研活動(dòng)中,多位名師分享的中考中求解圓的綜合題的經(jīng)驗(yàn)就是進(jìn)行圖形分解,還有的分享了利用Geogebra 軟件對(duì)圖形進(jìn)行解析,也大大提高了解題的效率.

對(duì)于八年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō),解答問(wèn)題1 之前,其實(shí)都具有分析圖19,圖20的經(jīng)驗(yàn),但從問(wèn)題1的答題情況來(lái)看,學(xué)生對(duì)之前學(xué)過(guò)的熟知圖形并未進(jìn)行深度分解.

圖19

圖20

圖19,圖20中都含有圖21,圖22這樣兩個(gè)基本圖形,而問(wèn)題1中也含有圖22這樣一個(gè)基本圖形,當(dāng)很多學(xué)生感嘆問(wèn)題1中的條件“EF⊥EC”難以利用時(shí),其實(shí)是對(duì)過(guò)往的圖形缺乏深度分解與感知,否則還可以想到一種做法,就是過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M,作EN⊥BC于點(diǎn)N,然后可以證明一個(gè)小正方形和一對(duì)全等的直角三角形,也能求解.

圖21

圖22

圖23

3.2 展開(kāi)表征聯(lián)想,構(gòu)造基本圖形

有些題目,隱含著基本圖形,但是圖形不完整,難以直接分解,需要根據(jù)某些圖形表征,展開(kāi)聯(lián)想,構(gòu)造出基本圖形.這就需要平時(shí)的教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生加深對(duì)基本圖形表征的認(rèn)識(shí),達(dá)到見(jiàn)微知著的效果.

問(wèn)題2如圖24,ΔABC中,AB= 6,AC= 10,AD平分∠BAC,BD⊥AD,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),連接DE,求DE的長(zhǎng).

圖24

圖25

圖26

圖27

在這道題目中,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖24中的角平分線,垂直和中點(diǎn)展開(kāi)聯(lián)想,進(jìn)而能夠想到三線合一的基本圖形(如圖25),三角形中位線的基本圖形(如圖26),兩個(gè)基本圖形都導(dǎo)向延長(zhǎng)BD的輔助線方法(如圖27).

3.3 樹(shù)立模型意識(shí),提升解題能力

數(shù)學(xué)教育家羅增儒教授提倡在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中,要善于對(duì)新問(wèn)題展開(kāi)聯(lián)想,辨別它是否屬于某個(gè)已經(jīng)掌握的類(lèi)型,如果不直接屬于,那么能否進(jìn)行一些變化,使之屬于某個(gè)類(lèi)型.在平面幾何的學(xué)習(xí)過(guò)程中,要引導(dǎo)學(xué)生積累所學(xué)的基本圖形,并把圖形的表征、性質(zhì),以及構(gòu)造的方法作為整體,進(jìn)行加工提煉,得出有長(zhǎng)久保存價(jià)值的圖形模型和方法模型,建立模型庫(kù),在解決新問(wèn)題時(shí),方便及時(shí)提取應(yīng)用,進(jìn)而提升解題能力,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

問(wèn)題3如圖28,O是正方形ABCD內(nèi)部一點(diǎn),OB=求正方形的面積.

問(wèn)題4如圖29,O是等邊ΔABC內(nèi)部一點(diǎn),OA=3,OB=4,OC=5,求∠AOB的度數(shù).

圖28

圖29

圖30

圖31

問(wèn)題3的計(jì)算是有一定難度的,但是學(xué)生如果對(duì)之前學(xué)習(xí)勾股定理逆定理時(shí)求解過(guò)的問(wèn)題4 有印象,那么就可以類(lèi)比那種方法,繞B點(diǎn)順時(shí)針90°旋轉(zhuǎn)構(gòu)造一對(duì)全等三角形(如圖30),利用勾股定理逆定理求出∠BPC的度數(shù),然后再用兩次勾股定理解ΔBPC(如圖31),求出BC的長(zhǎng),即可求解.

4 結(jié)語(yǔ)

幾何證明是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,也是一個(gè)難點(diǎn),任何幾何問(wèn)題都是由基本圖形構(gòu)成的,在教學(xué)中我們要引導(dǎo)學(xué)生“一找,二用,三思考”.首先是會(huì)在復(fù)雜圖形中找出基本圖形,這就需要學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中重積累,能夠抓住基本圖形的本質(zhì)與表征;二是會(huì)正確使用基本圖形的性質(zhì),能夠?qū)D形中相關(guān)聯(lián)的幾何元素進(jìn)行定性定量的分析與轉(zhuǎn)換;三是會(huì)借助基本圖形,發(fā)散思維,進(jìn)行深度思考.思考基本圖形有哪些常見(jiàn)的變化? 變化中有著怎樣的規(guī)律? 不同的變化帶來(lái)哪些不同的解題方法? 方法之間有無(wú)共性等.

初中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)之一,就是教學(xué)生學(xué)會(huì)思考,基本圖形分析法的教學(xué)能夠有效地教會(huì)學(xué)生如何思考解決幾何問(wèn)題,幫助學(xué)生發(fā)展直觀想象和邏輯推理能力,樹(shù)立模型意識(shí),進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.