廣東省東莞市東莞高級(jí)中學(xué)

高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)特別強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的六大核心素養(yǎng)(即數(shù)學(xué)抽象能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)建模能力、直觀想象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、數(shù)據(jù)分析能力).課堂是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的主要陣地,問題是課堂的重要教學(xué)形式,合理有效的設(shè)問會(huì)大大提升課堂的效率,提高學(xué)生解決問題的能力,促進(jìn)思維的發(fā)展,激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣.那么,如何合理有效的設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題呢? 本文以“直線的點(diǎn)斜式方程”一課為例,就高中數(shù)學(xué)課堂“設(shè)問”策略,淺談自己的一些思考,望能起到拋磚引玉的效果.

1 導(dǎo)向設(shè)問,達(dá)成目標(biāo)

目標(biāo)是教學(xué)的起點(diǎn)和歸宿,是課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的基本依據(jù).課堂的設(shè)問應(yīng)以目標(biāo)為導(dǎo)向,問題的設(shè)計(jì)應(yīng)圍繞目標(biāo)來進(jìn)行和展開.導(dǎo)向設(shè)問即從教學(xué)的內(nèi)容出發(fā),緊扣教學(xué)目標(biāo),強(qiáng)化教學(xué)重點(diǎn),突破教學(xué)難點(diǎn),有方向性的設(shè)計(jì)問題,引領(lǐng)學(xué)生,達(dá)成目標(biāo).在推導(dǎo)直線的點(diǎn)斜式方程時(shí),我做了如下問題串設(shè)計(jì):

問題1(1)過已知點(diǎn)A(-1,3)的直線有多少條? (2)斜率為-2的直線有多少條? (3)過已知點(diǎn)A(-1,3),且斜率為-2的直線有多少條?

設(shè)問意圖讓學(xué)生了解確定一條直線所需要的條件,定性的把握直線的情況.

問題2在平面直角坐標(biāo)系中作出該直線,問:這條直線還經(jīng)過哪些點(diǎn)? 試找出五個(gè)點(diǎn)?

設(shè)問意圖因斜率為-2的直線所對(duì)的傾斜角不是特殊角,無法通過角度準(zhǔn)確作出直線,以此引導(dǎo)學(xué)生再找一點(diǎn),由兩點(diǎn)來作出該直線的圖象,從而訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析能力.再借助圖象,學(xué)生可以憑直觀感覺找出五個(gè)點(diǎn),或也可借助斜率公式求出五個(gè)點(diǎn),以此訓(xùn)練學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力.

問題3這些點(diǎn)有何共同特征? 我們能否用一個(gè)等式來反映這些點(diǎn)滿足的關(guān)系?

設(shè)問意圖參照作圖找另一點(diǎn)過程,通過小組討論,歸納出這些點(diǎn)都在斜率為-2的直線上,再將點(diǎn)一般化,借助斜率公式,建立起任意點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系,得到滿足條件的一般等式.通過設(shè)問,讓學(xué)生體會(huì)由特殊到一般的解題思想.

問題4這個(gè)等式關(guān)系是否可以刻畫出這條直線上所有的點(diǎn)?為什么?

設(shè)問意圖引出用方程表示直線所需滿足的條件,并讓學(xué)生總結(jié)由直線建立方程的一般步驟.

問題5若直線l 經(jīng)過點(diǎn)P0(x0,y0),斜率為k,則直線l的方程形式如何?

設(shè)問意圖在參照問題1(3)求直線方程的思路下,讓學(xué)生觸類旁通的推導(dǎo)出直線點(diǎn)斜式方程的一般形式,再次強(qiáng)化由特殊到一般的解題思路.

導(dǎo)向設(shè)問,要求教師既要從整體上把握教材設(shè)計(jì)意圖,深耕教材,挖掘本質(zhì),準(zhǔn)確領(lǐng)會(huì)問題所蘊(yùn)含的思想,又要深度研習(xí)課程標(biāo)準(zhǔn),深刻理解課程標(biāo)準(zhǔn)要求,明確問題與教材的關(guān)系,并能找到問題與學(xué)生學(xué)習(xí)心理、習(xí)慣的聯(lián)系.同時(shí),教師還要能準(zhǔn)確把握目標(biāo),清楚不同的教學(xué)目標(biāo)的作用和要求,明確其與學(xué)生發(fā)展的關(guān)系,以使問題具有更強(qiáng)的導(dǎo)向性.問題設(shè)計(jì)完成后,要與問題進(jìn)行對(duì)話,不斷進(jìn)行斟酌、修改、校正,直至問題有明確的導(dǎo)向性.實(shí)踐證明,問題的導(dǎo)向性越明確,學(xué)生的求知欲望就越高,教學(xué)目標(biāo)達(dá)成度就越好.

2 適切設(shè)問,關(guān)注能力

適切設(shè)問是指問題的設(shè)計(jì)要切合學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際情況,以學(xué)生已掌握的知識(shí)為依據(jù),以學(xué)生的思維水平和探究能力為依托來設(shè)計(jì)問題.問題既要有一定的難度,又要讓學(xué)生通過努力能夠被解決,問題設(shè)計(jì)既要關(guān)注學(xué)生目前的能力水平,又要讓當(dāng)前的能力得到發(fā)展和提升.

在得出直線的點(diǎn)斜式方程后,為加深學(xué)生對(duì)方程形式的認(rèn)識(shí)和和理解,我設(shè)計(jì)了如下問題串:

問題6為什么將方程y-y1= k(x-x1)定義為直線的點(diǎn)斜式方程?

問題7過平面內(nèi)某一點(diǎn)的所有直線是否都能用點(diǎn)斜式方程表示?點(diǎn)斜式方程的適用條件是什么?

問題8若直線的斜率不存在,該直線方程形式如何?

問題9x軸和y軸所在的直線方程形式是怎樣的? 這兩個(gè)方程是否是直線的點(diǎn)斜式方程?

問題10若直線l 經(jīng)過點(diǎn)P0(x0,y0),斜率為k,則直線l的方程形式如何?

問題11直線l的斜截式方程和一次函數(shù)有何異同?

設(shè)問解析已推得的點(diǎn)斜式方程形式是學(xué)生認(rèn)識(shí)的起點(diǎn)和基礎(chǔ),但由于又是新知,學(xué)生對(duì)方程形式記憶不清,感受不深,問題6的設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生觀察出“點(diǎn)”和“斜”兩個(gè)獨(dú)立的條件,有助于加深對(duì)方程形式的認(rèn)識(shí)和記憶,問題設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知需求,也不難解決.問題7、8是對(duì)點(diǎn)斜式方程形式的深度理解,有一定的難度,困難在于學(xué)生能否想到直線的斜率不存在這一特殊情況,能否正確寫出斜率不存在時(shí)的直線方程,但之前在學(xué)習(xí)直線的傾斜角和斜率時(shí)已探討過斜率不存在的情況,在這一基礎(chǔ)下,通過小組討論的形式,學(xué)生不難解決這個(gè)問題,這一問題的解決,又為設(shè)點(diǎn)斜式方程需要考慮斜率存在和不存在兩種情況的學(xué)習(xí)作好鋪墊,從而可進(jìn)一步提升學(xué)生全面思考問題的能力.問題9是對(duì)問題6、8的鞏固認(rèn)識(shí),學(xué)生可以自行解決.問題7 至9的設(shè)計(jì)從斜率的角度來對(duì)方程的形式作了加深認(rèn)識(shí),問題10 則從點(diǎn)的特殊性來對(duì)方程的形式作了拓展認(rèn)識(shí),并進(jìn)一步引出問題11,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比辨析初中的一次函數(shù),使得初高知識(shí)前后映襯,讓學(xué)習(xí)融會(huì)貫通,既有助于知識(shí)的自然形成,又有利于能力的自然發(fā)展.

學(xué)生是探究解決問題的主體,問題設(shè)計(jì)太難,學(xué)生無法開展探究,問題無法得到解決,能力無法得到發(fā)展.問題設(shè)計(jì)過易,學(xué)生缺少思維活動(dòng),思維活力不能被激發(fā),能力無法得到提升.所以,問題的設(shè)計(jì)要有適切性,即在設(shè)計(jì)問題時(shí),老師必須充分了解學(xué)生的起點(diǎn)狀態(tài),準(zhǔn)確把握學(xué)生的學(xué)習(xí)需求,在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計(jì)問題,才能真正的發(fā)展學(xué)生的能力.

3 層遞設(shè)問,發(fā)展思維

層遞設(shè)問是根據(jù)學(xué)生漸進(jìn)式的認(rèn)知規(guī)律,由淺入深、由易到難、逐層遞進(jìn)的設(shè)計(jì)問題.在處理教學(xué)中的一些難點(diǎn)問題時(shí),我們可以通過層遞設(shè)問的方式,設(shè)計(jì)具有一定內(nèi)在邏輯聯(lián)系和一定層次關(guān)系的問題,以“問題串”的形式,引導(dǎo)學(xué)生通過自主、合作和探究的方式逐步解決問題,引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行系列的、連續(xù)的思維活動(dòng)逐步提升思維.

在推導(dǎo)出直線的點(diǎn)斜式方程后,學(xué)生對(duì)直線的方程這一概念認(rèn)識(shí)其實(shí)還是模糊不清的,為什么能用方程表示直線呢? 用方程表示直線要滿足怎樣的條件? 這就涉及到曲線與方程概念的本質(zhì)問題,這一問題既是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)之一,也是以后所學(xué)曲線與方程的難點(diǎn)之一.為解決這個(gè)問題,讓學(xué)生更好的理解直線與方程的關(guān)系,當(dāng)學(xué)生求得問題1(3)的直線方程為后,我在課堂上設(shè)計(jì)了如下追問:

追問1 直線上的所有點(diǎn)都滿足上述方程嗎? 通過觀察,學(xué)生發(fā)現(xiàn):點(diǎn)A(-1,3)不滿足.

追問2 上述方程能否表示該直線,為什么?

通過小組討論,學(xué)生得出結(jié)論:不能表示,因?yàn)橹本€上的點(diǎn)A(-1,3)不是上述方程的解.

追問3 如何處理上述方程,才能使所得方程表示該直線?為什么? 通過合作探究,學(xué)生得出結(jié)論:方程y-3 = -2[x-(-1)]可表示該直線的方程,因?yàn)锳(-1,3)此時(shí)也滿足這個(gè)方程.即方程y -3 = -2[x-(-1)]的所有解構(gòu)成的點(diǎn)都在直線l 上,且直線l 上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都是方程y-3=-2[x-(-1)]的解.

追問4 上述兩個(gè)方程的區(qū)別在哪里?

追問5 用方程刻畫直線需滿足的條件是什么?

通過自由討論,學(xué)生形成結(jié)論:方程的所有解構(gòu)成的點(diǎn)都在直線上,且直線上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都是方程的解.

追問6 用方程刻畫直線的實(shí)質(zhì)是什么?

通過師生共同辨析,形成結(jié)論:直線上的點(diǎn)可用數(shù)的形式來反映,即數(shù)形結(jié)合思想.直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)和方程的解之間建立起一個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,它們是同一問題兩種不同的反映形式,一個(gè)是圖形特征,一個(gè)是代數(shù)關(guān)系.

層遞設(shè)問不僅要考慮問題之間的邏輯關(guān)系,還要考慮學(xué)生思維發(fā)展的特點(diǎn),問題的層次性要求設(shè)問是逐漸的向著突破難點(diǎn)的方向進(jìn)行,問題的遞進(jìn)性要求設(shè)問難度跨度適合學(xué)生的能力水平.合理精準(zhǔn)的層遞設(shè)問,切合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維發(fā)展特點(diǎn),既能循序漸進(jìn)的引導(dǎo)學(xué)生思維的發(fā)展,又能逐步加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí).

4 探究設(shè)問,激發(fā)興趣

探究設(shè)問是指問題的設(shè)計(jì)要有探究性,設(shè)問能夠激發(fā)學(xué)生的探究熱情,能夠引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行自主探索,通過小組討論,學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)一般性的規(guī)律和結(jié)論.在熟識(shí)直線的點(diǎn)斜式方程后,為進(jìn)一步了解方程中的“點(diǎn)”和“斜”兩個(gè)獨(dú)立的條件對(duì)直線的影響,并導(dǎo)出平行直線系方程和共點(diǎn)直線系方程,我作了如下探究設(shè)計(jì):

探究1 在同一平面直角坐標(biāo)系中作出直線y = 2x,y =2x+1,y = 2x-1,y = 2x+2,y = 2x-2,這些方程表示的直線有什么共同特點(diǎn)? 你能用一個(gè)方程表示它們嗎?

探究2 在同一平面直角坐標(biāo)系中作出直線y = 2,y =x+2,y = -x+2,y = 3x+2,y = -3x+2,這些方程表示的直線有什么共同特點(diǎn)? 你能用一個(gè)方程表示它們嗎?

探究3從以上的兩個(gè)探究中,你可以得出怎樣的一般性結(jié)論?

探究反饋探究1中,學(xué)生通過作圖觀察,主要形成兩個(gè)結(jié)論,一是五條直線都平行,二是相鄰兩平行直線間的距離都相等,探究2中,也主要形成兩個(gè)結(jié)論:一是五條直線都過點(diǎn)(0,2),二是直線y = x+2和y = -x+2 垂直.老師對(duì)探究1、2中的兩個(gè)結(jié)論一繼續(xù)進(jìn)行引導(dǎo)探究,學(xué)生經(jīng)討論得出平行直線系方程y = 2x+b和共點(diǎn)直線系方程y = k+2,同時(shí)對(duì)兩個(gè)結(jié)論二進(jìn)行設(shè)問:如何求兩平行直線間的距離? (為后續(xù)學(xué)習(xí)做鋪墊)如何證明兩條直線垂直? (引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用上節(jié)知識(shí)k1·k2= -1 解決問題).探究3的開放性比較強(qiáng),老師作好具體指引:對(duì)方程y-y1= k(x-x1)進(jìn)行討論,學(xué)生得出結(jié)論:若只有k 確定,則該方程表示一系列平行的直線,若只有點(diǎn)(x1,y1)確定,則該方程表示過點(diǎn)(x1,y1)的一系列直線(直線x = x1除外),若k和點(diǎn)(x1,y1)都確定,則該方程表示的直線唯一確定.通過這一探究設(shè)問,引導(dǎo)學(xué)生開展探究活動(dòng),進(jìn)一步加深了對(duì)直線點(diǎn)斜式方程的理解,既訓(xùn)練了學(xué)生思維,又激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣.

探究設(shè)問要求設(shè)計(jì)的問題兼具開放性和指向性,開放性照顧到全體學(xué)生的學(xué)習(xí)感受,讓不同層次的學(xué)生通過探究活動(dòng)發(fā)現(xiàn)不同結(jié)論,收獲不同學(xué)習(xí)體驗(yàn),有助于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,有益于激發(fā)學(xué)生的探究欲望,也有利于學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng),指向性促使探究過程緊緊圍繞課堂教學(xué)目標(biāo)展開,引領(lǐng)學(xué)生向著達(dá)成目標(biāo)而開展探究活動(dòng),最終促使教學(xué)目標(biāo)圓滿完成.

5 結(jié)束語

《學(xué)記》有云:“善問者如撞鐘,叩之以小者則小鳴,叩之以大者則大鳴;待其以容,然后盡其聲”.問題是數(shù)學(xué)課堂的重要形式,設(shè)問也是一門藝術(shù),考驗(yàn)著教師的功底和能力.從導(dǎo)向性、適切性、層遞性和探究性四個(gè)維度出發(fā),合理有效的進(jìn)行課堂設(shè)問,對(duì)達(dá)成教學(xué)目標(biāo),培養(yǎng)學(xué)生思維,發(fā)展學(xué)生能力,提升學(xué)習(xí)興趣,有著十分重要的實(shí)際意義.