廣東省佛山市順德區(qū)順德德勝學校

我們在方差教學時常常會遇到這樣的問題:

例子市農(nóng)科所收集統(tǒng)計了甲、乙兩種甜玉米各10塊試驗田的畝產(chǎn)量后,得到其方差分別是0.002、0.001,則()

A.甲種好,因為甲比乙的畝產(chǎn)量穩(wěn)定

B.乙種好,因為乙比甲的畝產(chǎn)量穩(wěn)定

C.甲乙均可,因為甲、乙的畝產(chǎn)量穩(wěn)定性相同

D.無法確定哪一品種的畝產(chǎn)量穩(wěn)定

很多學生認為答案是B,因為課本P150已有小結(jié)“一般而言,一組數(shù)據(jù)的方差越小,這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定”.問題是—-到底什么情況是“一般”,什么情況又是“非一般”呢?

1 什么是數(shù)據(jù)的離散程度?

一組數(shù)據(jù)的“離散程度”與“集中趨勢”是一組相對的概念,“集中趨勢”刻畫的是一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)的共性,“離散程度”則用來描述這組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)的差異性.離散程度越小,平均數(shù)的代表性越大;離散程度越大,平均數(shù)的代表性越小.在北師大版八年級上的數(shù)學課本中,就是從平均數(shù)對兩組數(shù)據(jù)的差異的描述力不足為切入點,激發(fā)學生對數(shù)據(jù)相對于集中趨勢偏離程度的思考.

2 什么是方差?

方差是用每一個數(shù)據(jù)的離均情況來刻畫整組數(shù)據(jù)的離散程度.為了防止正負偏差相互抵消,將離均情況進行平方之后求和,為了消除數(shù)據(jù)個數(shù)對離均平方和的影響,將差的平方和除以數(shù)據(jù)個數(shù)得到方差.和極差相比較它的優(yōu)點是每一個數(shù)據(jù)都參與其中,故具有較好的代表性.

在理解方差的過程中學生仍然會發(fā)現(xiàn)一些明顯的問題,第一,消除正負偏差的影響,為什么不用絕對值? 因為如果將絕對值作為運算符號來看待,其運算的麻煩程度遠高于平方運算,去絕對值符號時候的分類討論也的確是學生的一個軟肋.事實上,平均差也是常見統(tǒng)計量,但因為筆算難度較大不適合對初中生介紹,絕對值函數(shù)的特殊性也使得平均差在更為復(fù)雜的統(tǒng)計研究中算不上一個性質(zhì)優(yōu)良的統(tǒng)計量.第二,離均差進行了平方,會不會將差異擴大(差值大于1)或者縮小(差值小于1)? 也就是說,方差在離均差大于1的數(shù)據(jù)那兒,是用放大鏡在看差異,而在離均差小于1的數(shù)據(jù)那兒,則是用了縮小鏡.這些問題說明了兩點:第一,方差是一個刻畫數(shù)據(jù)離散程度的較為方便的方法,但并不是最好的方法;第二,方差的使用并不是無條件的,只有在一定的條件下其對于離散程度的解釋才是有意義的.

3 教學時需要注意的“一般”和“非一般”.

在分析了“離散程度”與“方差”兩個基本概念之后,我們來看看到底什么是方差的“一般”和“非一般”呢?

第一,初中數(shù)學中的方差命題通常是在決策問題當中,例如課本P151 知識技能T1:給出甲乙兩個廠的20個螺絲的直徑數(shù)據(jù),通過計算決策購買哪個廠的螺絲.一般而言,方差小的更穩(wěn)定,穩(wěn)定意味著被選擇.但在這類實際問題當中,就有可能出現(xiàn)另外一種“非一般”的情況——穩(wěn)定的那一組數(shù)據(jù)是穩(wěn)定在一個相對較低甚至是一個“不合格”的平均數(shù)附近,此時方差的差異就不能成為決策的依據(jù).

第二,初中數(shù)學中在研究方差時所提供的數(shù)據(jù)一般都是平均數(shù)接近的數(shù)據(jù),在這種情況下,方差刻畫離散程度的優(yōu)勢顯而易見.那么“非一般”的情況是,如果兩組數(shù)據(jù)的平均值相差很大,方差是否還能用來刻畫他們的波動情況呢? 比如數(shù)據(jù)一:1、3、5,易計算得數(shù)據(jù)二:96、98、100,易計算得如果將數(shù)據(jù)看做一組學生的成績,那么數(shù)據(jù)一可以看做一個5分制的成績單,很明顯三個成績波動非常大; 數(shù)據(jù)二可以看做一個百分制的成績單,三個成績波動較小.可見,即使是單獨比較波動情況而不需要做出決策,方差所表示的意義也受到平均數(shù)的約束.為了消除平均數(shù)的影響,真正在不同數(shù)據(jù)間比較數(shù)據(jù)的波動情況,更好的指標是標準差變異系數(shù)這是一個衡量相對波動大小的無量綱的統(tǒng)計量,它不但可以屏蔽平均數(shù)的影響,還可以屏蔽數(shù)據(jù)單位,使不同性質(zhì)之間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)之間可以進行離散程度比較,但因為標準差的計算比較麻煩,故教材沒有在此處對學生介紹.

4 對教學的啟發(fā).

由上文可知,文初的那道問題答案應(yīng)該是D.同時,在方差教學中,我們應(yīng)該注意以下幾個方面的問題:

(1)應(yīng)該讓學生首先自己思考表示離散程度的統(tǒng)計量可能是什么樣? 在對思考的結(jié)果進行比對和整合,讓學生更好的理解方差公式,以及方差這個統(tǒng)計量使用的條件;

(2)在試題的選擇和命題上,要注意嚴謹,不要在細節(jié)上誤導(dǎo)學生;

(3)對于程度較好的學生以及對統(tǒng)計有興趣的學生,可以做平均差和標準差變異系數(shù)兩個統(tǒng)計量的拓展,為以后階段的統(tǒng)計量學習做好鋪墊.