高子璐 榮傳新 唐 彬

(安徽理工大學(xué)土木建筑學(xué)院，安徽淮南232001)

對巖土工程的安全性和穩(wěn)定性來說，研究巖石的蠕變特性有著重要的意義。傳統(tǒng)本構(gòu)模型采用線性元件組合，不能很好地描述巖石蠕變的三階段，尤其是加速蠕變階段。因此國內(nèi)外學(xué)者[1-2]引進(jìn)了非線性流變模型。目前建立非線性流變模型的方法有很多。一種是對傳統(tǒng)線性元件進(jìn)行非線性改進(jìn)。如周家文等[3]構(gòu)造出一個(gè)非線性函數(shù)，帶入到廣義Bingham 模型方程中，形成了一個(gè)新的非線性蠕變模型，但模型中的元件均為理想線性元件，無法完整表述巖石的全過程流變，因此不具備普遍適用性。另一種是建立應(yīng)變與時(shí)間的非線性關(guān)系來描述加速蠕變階段的特征。如徐衛(wèi)亞等[4-5]將非線性元件與線性五元件模型串聯(lián)，建立一個(gè)新的巖石非線性流變模型(河海模型)；張治亮等[6]將非線性流變與廣義Kelvin 模型串聯(lián)，建立一個(gè)巖石非線性黏彈塑性流變模型，用于反映巖石亞穩(wěn)定蠕變和加速蠕變階段的特征；蔣海飛等[7]采用冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)混合方程對加速階段進(jìn)行擬合，通過類比提出一個(gè)非線性黏性元件，將其與Burgers 模型串聯(lián)，得出一個(gè)新的六元件非線性黏彈塑性蠕變模型，用于描述加速蠕變階段蠕變特性；楊逾等[8]以Burgers 模型為基礎(chǔ)，基于Lemaitre 原理建立了改進(jìn)的Burgers 非線性蠕變損傷模型，并以砂巖為研究對象進(jìn)行試驗(yàn)，驗(yàn)證了模型的合理性；張亮亮等[9]通過引入作用函數(shù)表征衰減蠕變階段，提出一種非線性的改進(jìn)模型，將其與賓漢姆模型串聯(lián)，得出一個(gè)新的蠕變模型。

圖1 改進(jìn)西原體模型

在眾多傳統(tǒng)模型當(dāng)中，西原體模型雖然對巖石穩(wěn)定蠕變及其變形階段的模擬取得了良好的效果，但是，它們在模擬加速蠕變時(shí)仍存在一定不足，需要通過對西原體模型的改進(jìn)，建立出能更有效地反映加速蠕變階段的模型。曹樹剛等[10]對西原正夫模型進(jìn)行改進(jìn)，使之適用于描述巖石流變3 個(gè)階段，尤其是非線性的加速蠕變變形；佘成學(xué)[11]在西原模型的基礎(chǔ)上，引進(jìn)巖石時(shí)效強(qiáng)度理論和損傷理論，建立了巖石非線性黏彈塑性蠕變模型。范翔宇等[12]基于煤巖蠕變力學(xué)實(shí)驗(yàn)對西原模型進(jìn)行改進(jìn)與分析。王軍寶等[13]基于巖石非線性流變力學(xué)理論提出一個(gè)能夠描述巖石加速蠕變的非線性黏滯體，與基本彈性體和塑性體進(jìn)行組合建立一個(gè)新的四元件非線性黏彈塑性蠕變模型。田小朋等[14]以西原蠕變模型為基礎(chǔ)添加含水元件建立與含水量相關(guān)的泥巖蠕變模型，同時(shí)選取實(shí)際油田中一井網(wǎng)為研究對象建立注采數(shù)值模型，通過控制注采比來調(diào)節(jié)地層中的含水量，驗(yàn)證了改進(jìn)泥巖蠕變模型的正確性與合理性；楊秀榮等[15]考慮時(shí)效劣化和含水弱化對巖石蠕變參數(shù)的劣化效應(yīng)，對西原模型進(jìn)行參數(shù)修正，提出了一種新的蠕變損傷模型。本文通過引入一個(gè)新的非線性流變元件并將其串聯(lián)在西原體模型上，完成對西原體模型的修正，建立了新的蠕變本構(gòu)方程。該模型可以充分反映巖石蠕變的三個(gè)階段，特別是加速蠕變階段的特征，并且結(jié)構(gòu)簡單、參數(shù)少，能夠更好地描述巖石三階段的蠕變特性。

1 改進(jìn)西原體模型的建立

根據(jù)巖石的流變力學(xué)特性以及對蔣海飛等[7]提出的加速蠕變擬合曲線進(jìn)行修改，由此引入一個(gè)新的非線性流變元件，該流變元件應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為

式中，σ為應(yīng)力，η為材料的黏性參數(shù)，˙ε為應(yīng)變速率，n為蠕變指數(shù)，t為流變時(shí)間，σb為中間應(yīng)力，σs為極限應(yīng)力。

將新的非線性流變元件與西原體模型串聯(lián)，組成六元件非線性黏彈塑性模型，即改進(jìn)的西原體模型，如圖1 所示，從左到右依次為元件1，元件2，元件3，元件4。六元件非線性黏彈塑性模型滿足以下條件：

(1)當(dāng)0＜σ≤σb時(shí)，新的非線性流變元件等同于牛頓體，改進(jìn)的西原體模型等同于廣義Kelvin 體。模型的狀態(tài)方程為

式中，σ與ε分別為模型的總應(yīng)力與總應(yīng)變；σ1和σ2分別為元件1 和元件2 對應(yīng)部分的應(yīng)力；ε1和ε2分別為元件1 和元件2 對應(yīng)部分的應(yīng)變；E1和E2為巖石材料的彈性參數(shù)；η1為巖石黏性參數(shù)。

整理式(2)，得本構(gòu)方程為

(2)當(dāng)σb＜σ≤σs時(shí)，新的非線性流變元件等同于牛頓體，改進(jìn)的西原體模型等同于Burgers 模型。模型的狀態(tài)方程為

式中，σ與ε分別為模型的總應(yīng)力與總應(yīng)變；σ1，σ2和σ4分別為元件1，元件2 和元件4 對應(yīng)部分的應(yīng)力；ε1，ε2和ε4分別為元件1，元件2 和元件4 對應(yīng)部分的應(yīng)變；E1和E2為巖石材料的彈性參數(shù)；η1和η3為巖石黏性參數(shù)。

整理式(4)，得本構(gòu)方程為

(3)當(dāng)σ ＞σs時(shí)，新的非線性流變元件等同于非線性黏彈塑性體，改進(jìn)的西原體模型狀態(tài)方程為

整理式(6)，得本構(gòu)方程為

由上面各式假定t= 0 時(shí)施加瞬時(shí)應(yīng)力，則σ=σ0代入邊界條件：t= 0，˙ε= 0，¨ε= 0，解微分方程，可求得非線性黏彈塑性模型一維狀態(tài)下的蠕變方程

將式(8)兩邊分別對時(shí)間進(jìn)行一次和二次求導(dǎo)，可以得到下列結(jié)果

(1) 當(dāng)0＜σ≤σb時(shí)

(2)當(dāng)σb＜σ≤σs時(shí)

(3)當(dāng)σ ＞σs時(shí)

很顯然，當(dāng)σ≤σs時(shí)，˙ε恒大于0，¨ε ＜0，當(dāng)t→∞時(shí)，則˙ε趨于某一非零恒定值。這表明，該模型可以很好地反映巖石的衰減和穩(wěn)定蠕變過程。當(dāng)σ ＞σs時(shí)，˙ε恒大于0，當(dāng)t→∞時(shí)，則˙ε趨于某一非零恒定值。該模型可以很好地反映巖石蠕變?nèi)^程曲線中的衰減、穩(wěn)定和加速3 個(gè)蠕變階段。如果n ＞1，隨著時(shí)間t的增長，¨ε可以小于、等于或大于0，對應(yīng)于巖石的衰減、穩(wěn)定和加速3 個(gè)階段，且蠕變曲線的形態(tài)與n取值有關(guān)。

2 圓形巷道圍巖徑向位移

由于內(nèi)部巖體被開挖的過程中產(chǎn)生了巷道變形，巷道半徑為R0，圍巖可以視為均質(zhì)的各向同性體，巷道遠(yuǎn)處的邊界應(yīng)力為各項(xiàng)等壓應(yīng)力，采用改進(jìn)的西原體模型描述圓形巷道的變形特性，計(jì)算模型如圖2所示。

圖2 圓形軸對稱巷道計(jì)算模型

當(dāng)0＜σ≤σb時(shí)，在等圍壓狀態(tài)下，由圓形軸對稱巷道(圖2)徑向位移表達(dá)式為

式中，P0為原巖應(yīng)力；E和μ分別為巖體的彈性模量與泊松比。

由式(3)得到巖石的本構(gòu)關(guān)系

對上式進(jìn)行Laplace變換

對式(12)進(jìn)行Laplace變換可以得到

將式(17)代入式(16)得到

對式(18)進(jìn)行Laplace逆變換可以得到

當(dāng)σb＜σ≤σs時(shí)，同理可得

對式(20)進(jìn)行Laplace逆變換可以得到

當(dāng)σ ＞σs時(shí)，同理可得

式中，M=tn+nlnt，A=E1+E2，B=E1E2，C=η2η3。

式(24)中的參數(shù)識別可采用優(yōu)化反演法[16]。以實(shí)際位移和計(jì)算位移殘差平方和最優(yōu)值設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)，通過不斷優(yōu)化位移殘差的最小值得到蠕變參數(shù)值，由此得到基于改進(jìn)的西原體模型下的圓形巷道圍巖徑向位移變化情況。

3 工程應(yīng)用及參數(shù)反演

山西某煤礦中8 號采區(qū)的在建南回風(fēng)巷道，采用全斷面隧道掘進(jìn)機(jī)(Tunneling Boring Machnie，簡稱TBM) 法進(jìn)行巷道掘進(jìn)。巷道軸向截面為圓形斷面，斷面直徑為4.52 m，斷面面積為16.12 m2，豎向地應(yīng)力為P= 14.3 MPa。巷道地層所在的主要層位是砂巖層，主要組成成分是細(xì)粉砂巖。彈性模量范圍為24.38～46.71 GPa，泊松比范圍為0.121～0.36。假設(shè)巷道周邊足夠范圍內(nèi)都位于巨厚砂巖層中，在巷道掘進(jìn)的影響范圍內(nèi)都不考慮圍巖分層。

巷道開挖完成后，選取施工巷道靠近掘進(jìn)面的斷面進(jìn)行圍巖變形監(jiān)測，斷面1 沿巷道圓周選取5 個(gè)點(diǎn)，每點(diǎn)打孔錨固鋼片，在鋼片上留永久標(biāo)記作為觀測點(diǎn)，巷道收斂監(jiān)測點(diǎn)布置如圖3所示。

圖3 巷道斷面收斂監(jiān)測測點(diǎn)布置示意圖

取其中較有代表性的曲線作為目標(biāo)蠕變曲線，進(jìn)行參數(shù)反演?；谧钚《朔ㄔ?，對給定的數(shù)據(jù)點(diǎn){(Xi,Yi)}(i=1,2,3,···,n)，在取定的函數(shù)W中，求擬合函數(shù)f(x) ∈W，使誤差平方和∑[f(Xi-Yi)2]最小。假定W是式(24)提出的位移與時(shí)間的非線性關(guān)系式

已給出(W,T)的n對監(jiān)測值(wi,ti)，要求待定參數(shù)(E1,E2,η1,η2,η3,n),通過使

平方和最小，得到模型相應(yīng)參數(shù)值。由于現(xiàn)場條件限制，與5 測點(diǎn)相關(guān)的收斂數(shù)據(jù)均無法測得。通過巷道實(shí)際監(jiān)測數(shù)據(jù)以第一次測量數(shù)據(jù)為基準(zhǔn)，對后續(xù)測量數(shù)據(jù)取差進(jìn)行記錄，可得1-2，1-3，1-4監(jiān)測點(diǎn)之間的收斂值，如圖4 所示，將收斂值加上基準(zhǔn)值即1-3監(jiān)測點(diǎn)之間的實(shí)際距離d13，1-4 監(jiān)測點(diǎn)之間的實(shí)際距離d14等。由監(jiān)測布置圖3 可見，監(jiān)測點(diǎn)3到圓形巷道中心的距離d3近似由圖3 可見，1-5點(diǎn)的距離近似為2d3，2-5 的距離近似等于1-4 測點(diǎn)之間的距離，由此得測點(diǎn)2到圓形巷道直徑的豎向距離d26=d12·d14/2d13。根據(jù)勾股定理，可以算出監(jiān)測點(diǎn)2 豎向投影點(diǎn)6 到監(jiān)測點(diǎn)5 的水平距離d65，因此監(jiān)測點(diǎn)2 到圓心的距離由此算出監(jiān)測點(diǎn)2 和3 到圓心的距離值d2和d3。讀取第一次測量數(shù)據(jù)值，計(jì)算初始時(shí)刻監(jiān)測點(diǎn)2 和3 到巷道半徑的距離，并以該值為初始值。將d2，d3的值分別減去巷道半徑值和初始值，即測點(diǎn)2 和3 的徑向位移值，如表1 所示。采用Origin 軟件將測點(diǎn)2 和測點(diǎn)3 位移值的平均值進(jìn)行非線性擬合，對蠕變參數(shù)進(jìn)行初始識別并賦值，通過上述算法反復(fù)迭代反演，由此獲得蠕變參數(shù)如表2 所示。將所得的蠕變參數(shù)代入到式(24)中，計(jì)算得到巷道圍巖徑向位移，如圖5 所示。由圖5 可見，實(shí)際監(jiān)測結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果吻合較好，說明該模型可較好地模擬其圍巖的蠕變特性。在t≤25 d 時(shí)，巷道徑向位移速率隨著時(shí)間的增長而不斷增加；當(dāng)t ＞25 d 時(shí)，巷道徑向位移變化速率隨時(shí)間的增長而趨于穩(wěn)定。

表1 監(jiān)測點(diǎn)2 和3 的徑向位移實(shí)測值

表2 反演得到的圍巖蠕變參數(shù)

圖4 巷道斷面收斂變形監(jiān)測結(jié)果

圖5 巷道位移理論曲線與實(shí)測曲線的對比

4 結(jié)論

(1)基于西原體模型，考慮巖石在衰減蠕變和加速蠕變階段的非線性特征，采用函數(shù)混合方程對加速階段進(jìn)行擬合，建立了一個(gè)新的巖石蠕變本構(gòu)方程。

(2)對該模型的力學(xué)特性進(jìn)行了分析。認(rèn)為存在一個(gè)中間應(yīng)力σb，當(dāng)0＜σ≤σb時(shí)，模型描述衰減階段；當(dāng)σb＜σ≤σs時(shí)，該模型為Burgers 模型，描述了巖石的衰減與穩(wěn)定蠕變；當(dāng)σ ＞σs時(shí)，該模型能夠反映巖石的衰減、穩(wěn)定與加速蠕變3個(gè)階段。

(3)通過對改進(jìn)的西原體模型的本構(gòu)方程進(jìn)行Laplace 變換，得到圓形巷道圍巖的徑向變形規(guī)律?；诂F(xiàn)場實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行反復(fù)迭代反演，求得巖石黏彈塑性的各個(gè)蠕變參數(shù)。

(4)計(jì)算結(jié)果與實(shí)測結(jié)果基本一致，當(dāng)t≤25 d時(shí)，巷道圍巖徑向位移變化速率隨時(shí)間的增長而不斷增加；當(dāng)t ＞25 d 時(shí)，巷道圍巖徑向位移變化速率逐漸趨于穩(wěn)定。該模型可較好地反映巷道圍巖的流變特性，為巷道圍巖穩(wěn)定性分析提供一個(gè)新的巖石蠕變模型。