劉晏銘 武 迪

(清華大學航天航空學院，北京100084)

角速度測量問題在航天航空、自動駕駛、手機軟件等領(lǐng)域有著廣泛的應用[1]?，F(xiàn)今主流的測量角速度的方法是利用陀螺儀來完成。使用陀螺儀來測量角速度的優(yōu)點在于測得的值較為準確，且誤差較小。但是陀螺儀造價昂貴，工藝復雜，在長期使用之后，其性能和可靠性也會在一定程度上有所降低[2]。鑒于此，人們正在積極發(fā)展代替陀螺儀的測量方法。大量文獻顯示，此前人們將主要研究重心放在了磁流式角速度測量儀[3-4]、光電效應式角速度測量儀上面，并通過濾波方法提高測量精度[5-8]。隨著科技的進步，近年來，加速度計的制造相較于陀螺儀而言是非常廉價的，這使得通過三軸加速度計來進行姿態(tài)調(diào)控成為可能[9]。本文通過理論推導與計算研究，建立了一種通過三個非共線點的加速度測量、計算剛體加速度的算法。這種方法可以極大地降低角速度測量儀的價格。我們利用定軸轉(zhuǎn)動圓柱體上三個非共線點的加速度驗證了計算結(jié)果的正確性?？紤]到飛行器在運行過程中，加速度計測量會有誤差，我們對計算結(jié)果進行了誤差分析和數(shù)值模擬，評估了方法的使用范圍。結(jié)果表明，這種方法在高速穩(wěn)態(tài)飛行器上擁有很好的表現(xiàn)。

1 角速度測量算法

考慮如圖1 所示的三個非共線點之間的位置關(guān)系。記A1到A3的位矢為r13，A2到A3的位矢為r23。記A1的加速度為a1，A2的加速度為a2，A3的加速度為a3。

根據(jù)剛體力學中的計算加速度的基點法可列出

其中ω 為剛體的角速度，ε為剛體角加速度。

圖1 非共線三點位置關(guān)系

如果巧妙地選擇坐標系，可以使得xy平面與三點所組成的平面共面，故而令x軸為r13所在方向。如圖1 所示。在此坐標系下，r13和r23的分量得到極大簡化，r13y，r13z和r23z皆為零。方程可化簡為

因為所要求的為ωx，ωy，ωz，故而從上面挑選相應的四個方程進行計算，可以解出

式(3)前兩式相減可得

令將式(4)～式(5)化為二次函數(shù)的形式，解得

2 角速度誤差分析

本文假設(shè)每一個方向測量的角速度都滿足相互獨立的正態(tài)分布，且不考慮距離的變化。即aij～N(μij,σij)。N(μij,σij)代表正態(tài)分布，μij為正態(tài)分布的期望，σij為正態(tài)分布的方差。

根據(jù)概率論的知識可知，正態(tài)分布具有再生性。正態(tài)分布的和差也是正態(tài)分布，即為

式中，E(aij-akm)代表兩個量差的期望，Var(aij-akm)代表兩個量差的方差。

再考慮正態(tài)分布乘常數(shù)，假設(shè)X～N(μ,σ)，令Y=aX，a為一常數(shù)。則根據(jù)f(y)= dF

d

(yy)，

利用微積分知識可以算得

綜上可得正態(tài)分布乘積的概率分布，依舊是正態(tài)分布

再根據(jù)概率論的知識，若X1,X2,···,Xn獨立，則f1(X1),f2(X2),···,fn(Xn)獨立。從而計算得到q和p的分布

式中μq為q的期望，σq為q的方差。

式中μp為p的期望，σp為p的方差。

3 仿真驗證與分析

經(jīng)過上面的計算可知，測量誤差會在一定情況下被放大。下面分情況討論該方法測量角速度的可行性。

3.1 模型計算正確性檢驗

本文利用已知角速度、角加速度的剛體，計算其上非共線三點的加速度，代入方程(6)，再次計算角速度，驗證方程(6)的正確性。

假設(shè)有一繞z軸以角速度ω，角加速度β旋轉(zhuǎn)的半徑為R的剛體圓柱，如圖2所示，在某一時刻，我們計算其上三個特殊點的加速度，再利用方程(6)計算角速度，與原始角速度對比。在xyz系下，A1,A2,A3的坐標，和加速度分別為

圖2 定軸旋轉(zhuǎn)圓柱體上不共線三點示意圖

x′y′z′系是以A1為坐標原點，方向為x軸正方向，并以A1A2A3所在平面為x′y′平面建立空間直角坐標系。矢量在兩個坐標系之間的變換關(guān)系為

在此取法下γ=α= 45°，從而得到矢量坐標變換關(guān)系

在新坐標系x′y′z′下加速度為

矢量r13,r23在坐標系x′y′z′下可寫為

將方程(17)～(18)帶入方程(6)，得到

經(jīng)過坐標逆變換，在原坐標系xyz中得到ω =(0,0,ω)，與我們的模型設(shè)定一致，從而證明了我們的計算是正確的。

3.2 高角速度飛行器上的仿真分析

本文參考了文獻中的數(shù)據(jù)，對有較高角速度的飛行器進行模擬仿真。模擬采用的精確數(shù)據(jù)如下

為了模擬的簡潔性，本文不考慮固定的加速度計之間的距離的變化， 即rij為定值， 這里取[r13x,r23x,r23y] = [0.5,0,0.5]m。經(jīng)過參考加速度計生產(chǎn)商給出的加速度計參數(shù)，本文假定，加速度計有一正態(tài)分布方差和隨機誤差。正態(tài)分布的σ= 0.049，由此得到三軸仿真加速度計算結(jié)果如圖3 所示，另外由表1 給出的統(tǒng)計結(jié)果可以看出，測量均值與真值接近，且樣本標準差較小。

圖3 高角速度飛行器x, y, z 方向角速度模擬圖

表1 模擬結(jié)果

由此可見如果飛行器角速度穩(wěn)定，可多次測量取平均值，則使用此種方法可以得到較好的結(jié)果。然而如果飛行器的角速度變化很頻繁，無法多次測量，那么平均值就沒有意義了，模擬的極值更有參考價值，模擬結(jié)果如表2所示。

表2 高角速度飛行器多組模擬極值的差

它們極值的相對偏差都在5%以上，故而作為瞬時角速度測量，則此方法不太精確。

按次組數(shù)據(jù)代入上面的方差分析， 可知：σq≈8σ,σp≈4σ，由此也可看出，這種測量角速度的方法會使方差變大。

3.3 穩(wěn)態(tài)衛(wèi)星上的仿真分析

穩(wěn)態(tài)衛(wèi)星的角速度很低，約為0.01°/s，對此模型進行模擬，會得到與之前完全不一樣的結(jié)果。

假設(shè)角速度為表3 所列數(shù)值，由此計算得a1x-a3x= 4 × 10-10m/s2，可見兩個加速度的差在10-10量級，現(xiàn)有加速度計難以完成如此精度的測量。

下面假設(shè)存在如此精度的加速度計，依舊進行模擬，模擬結(jié)果如圖4所示。

表3 低角速度衛(wèi)星角速度

圖4 小角速度衛(wèi)星x, y, z 角速度分量多組模擬

由圖可以看出ωx,ωy皆可求解得到，不過其起伏巨大而且其平均值遠遠偏離理論值。而ωz的模擬值更是很多都是虛數(shù)，只能認為其角速度為零，由此得出的結(jié)果也不盡人意。故而，此方法不適用于低角速度的衛(wèi)星。

4 結(jié)論

本文提出一種新穎的測量剛體角速度的方法。利用基點法，通過測量剛體上三個不共線的點的加速度計算出剛體角速度。通過理論分析和數(shù)值模擬，本文研究了這種方法的適用范圍。得到的結(jié)果顯示，這種方法在高角速度穩(wěn)態(tài)剛體的角速度測量中可以得到較高的精度(0.05%)。對于其他情形，由于加速度計的測量精度、飛行器本身的振動和計算的截斷誤差等影響，導致該方法誤差較大無法得到精確的瞬時角速度。但是該方法的優(yōu)點在于，簡單廉價。由于本方法并不能準確測量所有情況下的角速度，所以較為適用于飛行器備份測量系統(tǒng)。