岳曾元

(德國體育大學(科隆)，科隆)

浮體，指任何能在靜止水面上飄浮的物體。船體是特殊的浮體。其特殊之處在于，船體的外表面是一個開口向上的殼體。開口邊界即船沿。這為船體允許的傾斜程度提供了一個上限：船體不允許傾斜到使水漫過船沿。否則船體會傾覆以致沉沒。這也為船體及其載荷能承受的外部擾動力矩提供了一個上限。顯然，這個上限越高，船體及其載荷越能承受更大的風浪，因而穩(wěn)定性能越強。

本文首先研究簡單的浮體和船體模型的穩(wěn)定性，并分析和計算簡單的船體模型能承受的最大外部擾動力矩；然后將這些分析和計算方法推廣到實際船體；最后，將詳細比較關(guān)于浮體平衡穩(wěn)定性的6種判據(jù)，指出它們各自的優(yōu)點和局限性，以及相互關(guān)系。

1 浮體平衡態(tài)的穩(wěn)定性定義

假定浮體在一定位置和方位下達到平衡?？紤]浮體的方位發(fā)生了小擾動。則浮體的重心C 會相應(yīng)地調(diào)整其深度，使排水量不變，從而浮力仍等于重力。若作用在擾動態(tài)重心的重力與作用在擾動態(tài)浮心的浮力產(chǎn)生恢復力矩，則穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。

此外，對于船體而言，不但關(guān)心當船體從平衡姿態(tài)發(fā)生微小擾動時能否穩(wěn)定，而且關(guān)心為使船體的傾斜保持在允許范圍內(nèi)，船體能承受的最大外部擾動力矩。后者是代表船體穩(wěn)定性能的重要指標。

已有多篇文章[1-3]指出過對于浮體穩(wěn)定性容易產(chǎn)生的一個誤解，認為若平衡態(tài)下重心低于浮心則穩(wěn)定，若重心高于浮心則不穩(wěn)定。第5節(jié)將證明，前面一句話是對的，而后面一句話不對，因為重心高于浮心時未必不穩(wěn)定。這一點可從后面將講到的許多例子中看出。

2 半球體的平衡與穩(wěn)定

設(shè)半球體的半徑為R，重量為W。先設(shè)半球體密度均勻，與水密度ρ 之比η ＜1。設(shè)平衡時，半球嵌入水中的深度(即半球底部到水面的距離)為H，嵌入體積為

其中r 為嵌入體積中水平圓截面的半徑，ζ 為該截面到半球底部的距離(參見圖1(a)，其中設(shè)η =0.5)。

平衡時浮力與半球體重力相等

得到

求其反函數(shù)需解一個3次方程(標準解法見文獻[4])，結(jié)果為

圖1

重心C 到半球底部的距離為

因此半球頂部平面高于重心C 的距離為

排水體積的形心(即浮心) Q 在平衡時到底部的距離為

當η =0.5，有

注意，在此例中, 明顯有ζC＞ζQ，即重心高于浮心。但此平衡態(tài)對小擾動卻是穩(wěn)定的，因為當發(fā)生向右的小的傾斜時，對此半球體而言，浮心仍保持在過球心的鉛直線上，而重心卻向左移動(參見圖1(b)，其中傾角θ = 5°)，因而重心與浮心的力偶矩為恢復力矩。只要傾角θ 不超過即只要半球頂部平面的最低點未低于水平面，由重力和浮力產(chǎn)生的恢復力矩為

其中Wwater是假定半球充滿水時的重量。對于非均勻半球體，只要質(zhì)量分布關(guān)于半球的幾何對稱軸是軸對稱的，并將η理解為該半球?qū)嶋H重量W與Wwater之比，即

則上述所有推導全部成立。唯一不同的是，O點高于重心C的距離Λ將隨半球中質(zhì)量的具體分布而變化。

3 簡單船體模型加載的穩(wěn)定性問題

3.1 均勻半球殼形船體加載的穩(wěn)定性

設(shè)船體為均勻半球殼形，半徑為R，船上加載的重物被固定在船體上，且加載物重心在對稱軸上，于是總重量W的重心C仍在對稱軸上。η仍由式(8)定義。設(shè)船口平面高出重心C的距離為Λ。這事實上是上節(jié)末尾討論的非均勻半球體的特殊情形。上節(jié)中得到的式(1)～式(6)在這里完全適用，因為它們與Λ無關(guān)。對于半球殼船體而言，由式(7)定義的最大偏角θmax有一個更具體的含義：若船體傾斜超過θmax，水將漫過船沿，使船體傾覆乃致沉沒。θ=θmax代表半球殼的船沿接觸水表面的情形。θ=θmax時的恢復力偶矩為半球殼船體所能承受的最大外部擾動力矩

引進無量綱的最大承受力矩

利用式(3)～式(4)，可將μmax/λ只用H/R或只用η表示

如圖2(a)和圖2(b)所示。

圖2

圖2 表明，中等吃水深度，或中等載荷的船最有利于承受更大的風浪。這個結(jié)論將在下面的討論中一再被證實。由式(9)可知，重心越低(Λ越大)，則體系越能承受更大的外部擾動力矩，即體系的穩(wěn)定性能越好。

3.2 均勻半圓柱殼形船體加載的穩(wěn)定性

設(shè)船體為一均勻圓柱殼的一半(橫截面為半圓，船沿為矩形)。圓柱半徑為R，縱向(母線)長度為L，且L?R。為簡單起見，只考慮關(guān)于橫向擾動的穩(wěn)定性問題。取固定于船體的“隨體”直角坐標系(O;X,Y,Z)，使得當船體的船口平面處于水平時，原點O位于船口平面中心，Y軸沿縱向，Z軸鉛直向上，X軸則指向橫向。假定船體與載荷的總重量W的分布關(guān)于中心橫截面(Y= 0)和中心縱截面(X= 0) 都是對稱的。于是，第一，船口平面處于水平的平衡態(tài)是存在的，在該平衡態(tài)之下，重心C和浮心Q都在鉛直線X=Y= 0 上；第二，在橫向擾動中，重心C和浮心Q將始終保持在中心橫截面(Y= 0)內(nèi)。由于穩(wěn)定性及最大允許外力矩的討論只涉及重心C和浮心Q的位置，因此只需討論中心橫截面(Y= 0)中的二維圖像，見圖3。圖3(a)和圖3(b)分別為平衡態(tài)和最大允許傾角的狀態(tài)。設(shè)在平衡時，船體在中心橫截面的二維“隨體”坐標系(O;X,Z)與二維空間坐標系(o;x,z)重合。當船體發(fā)生橫向擾動時，OZ軸將偏離oz軸, 在zox平面內(nèi)偏轉(zhuǎn)。

圖3

圖3(a)中重心C的位置假定是已知的。將總重量W與假定半圓柱殼中充滿水的重量Wwater之比定義為η，將平衡時半圓橫截面中位于吃水線以下的面積記為SH。由于SH等于圖3(a)中oA與oB間的扇形面積減去三角形oAB的面積，容易得到

平衡時浮力與重力的平衡導致

因此得到

設(shè)浮心Q到船體底部的距離為ζQ。有

因此得到

對于η=0.5, 得到

船體在η= 0.5 且處于最大傾角時的橫截面如圖3(b)所示。重心到船口平面的距離Λ與如何安放貨物有關(guān)。(該圖中Λ= 0.75R是額外假定的) 關(guān)于船體能承受的最大側(cè)向外力矩Mmax及其無量綱表示μmax, 式(9)～式(10)仍然成立。只是η與H/R的關(guān)系，現(xiàn)在要采用式(11)。于是由式(10)得到

如圖4(a)和圖4(b)所示。

圖4

在給定λ(重心位置)情況下，μmax在H/R=0.581 9 或η= 0.483 6 達極大值。再次看到，中等浸水深度或中等載荷對于船體承受外界擾動是最有利的。

3.3 矩形截面柱殼船體加載的穩(wěn)定性

考慮橫截面是寬為b高為h的矩形的柱殼形船體，其縱向長度為L，L?b。為簡單起見，仍然只考慮關(guān)于橫向擾動的穩(wěn)定性問題。與3.2 節(jié)類似，假定船體與載荷的總重量W關(guān)于中心橫截面和中心縱截面的分布都是對稱的。于是，重心便固定在中心橫截面的對稱軸上?；谂c3.2 節(jié)同樣的道理，只需考慮中心橫截面上的二維圖像，如圖5 所示。設(shè)平衡時，船口平面高于重心的距離為Λ?？傊亓縒與假定矩形截面柱殼中充滿水的重量Wwater之比定義為η

其中ρ為水密度,Wwater是假如船容積中充滿水時水的重量。設(shè)平衡時水平面到船底平面的距離為H，則浮力(bHLρg)與重力(W=bhLρgη)相等導致

空間坐標系(o;x,z)和二維隨體坐標系(O;X,Z)，使原點o位于平衡時吃水平面的中心，x軸向右，z軸向上。在平衡狀態(tài)下，(O;X,Z)與(o;x,z)重合。平衡時，浮心位置為

當船體發(fā)生較小的橫向傾角θ時，浮心Q將偏離過O點的鉛垂線(見圖5(a))。

圖5

圖5(a)給出船體順時針傾斜θ角時橫截面的真實圖像：水面是水平的。為使浮力仍等于重力，浸入水的梯形面積必須等于θ= 0 時的浸入水的矩形面積，即Hb。這也意味著水面必通過原點o。為求該擾動態(tài)的浮心Q，先考慮浮體坐標系(O;X,Z)中的圖像(圖5(b))。這里，水面成為向左傾斜的平面BD，與平衡(θ=0, 水面為AC)相比，浸水體積增加了一部分(由三角形OCD所示)，同時減小了一部分(由三角形OAB所示)。這兩個三角形的形心分別記為P1和P2。將每個三角形面積與浸水面積之比記為α，有

將平衡態(tài)時的浮心刻在浮體上，記為Q0, 令它隨浮體一起動。則在浮體坐標系(O;X,Z)中有

注意到

得到

在θ→0 過程中，δ和α都是與θ同階的小量。由式(12)之第一式可知，的x分量和z分量分別為θ的1階小量和2階(或高階)小量。因此，可將式(13)寫成更一般的形式

式(14)適用于任何形狀的浮體。重心C在(O;X,Z)系中的坐標為

通過坐標變換

式中Λ為平衡時船口平面高于重心的距離(若Λ ＜0，則表示重心比船口平面高出|Λ|)。重力和浮力產(chǎn)生的恢復力偶矩為

若M(θ)＜0，則表示重力和浮力產(chǎn)生的力偶矩會使傾斜變得更嚴重，即失穩(wěn)。引入無量綱恢復力偶矩

則得到

其中

由圖5 可知，船體最大允許傾角為船沿接觸水面的情形，即

M(θ)在0 ≤θ≤θmax中的最大值就是該船體在給定幾何尺寸(h,b,L)和給定總重量及其安排(W,η,Λ)之下所能承受的最大外部干擾力矩。圖5中還顯示另一個臨界傾角，即船底部左端點與水面接觸的傾角

倘若η≥1/2，則有H≥h/2, 從而θcrit≥θmax。也就是說，在整個傾角允許范圍0 ≤θ≤θmax內(nèi)，不會遇到水面越過船底部左端點(即θ ＞θcrit)的情形。但倘若η ＜1/2，則有H ＜h/2, 從而θcrit＜θmax。于是在θ達到θmax之前，會遇到θ ＞θcrit的情形。這時浮心Q的計算方法如圖6 所示。由于傾斜后浮力大小仍必須等于重力，三角形AEF的面積必須等于Hb，即圖6(b)中

由此得出

圖6

其中K為EF的中點。由此得出A點,K點以及浮心Q點在(O;X,Z)系中的坐標

重心C在(O;X,Z)系中的坐標仍由式(15)給出。因此，向量在(O;X,Z)系中的坐標為

重力和浮力產(chǎn)生的恢復力偶矩及無量綱恢復力偶矩為

和

至此，已完成矩形截面柱殼船體在給定幾何尺寸(h,b,L)和給定總重量及其安排(W,η,Λ)之下恢復力偶矩作為傾角函數(shù)的全部計算。下面對穩(wěn)定條件作一個一般的討論。在平衡(θ= 0)時，浮心在過重心的鉛垂線上。因而

穩(wěn)定性意味著當發(fā)生小的傾角θ ＞0 時，xCQ＞0，從而浮力與重力產(chǎn)生恢復力偶矩。因此，矩形截面柱殼船體加載穩(wěn)定的充分必要條件是(見式(17))

亦即

或其無量綱形式

注意η的范圍只是0 ≤η≤1。由式(21)可知，對于較寬的船體(例如β=4)，即使重心明顯高于船口平面(λ ＜0)，該平衡仍可能是穩(wěn)定的。

現(xiàn)在來討論矩形截面柱殼船體在給定幾何尺寸和重心位置(h,b,L,Λ)之下所能承受的最大外界擾動力矩Mmax對η(或?qū)Τ运疃菻=ηh)的依賴關(guān)系。Mmax定義為在θ= 0 為穩(wěn)定平衡前提下恢復力矩M(θ)在0 ≤θ≤θmax中的最大值，其中M(θ) 由式(18) (當η≥1/2)或式(18)及式(20) (當η ＜1/2)給出。最大允許傾角θmax則由式(19)給出，它也可寫成無量綱形式

作為一個例子，圖7給出在(β=4,λ=0.75)條件下Mmax對η的依賴關(guān)系。Mmax在η= 0.41 達最大。再次發(fā)現(xiàn)，對不同形狀的船體和浮體，Mmax總是在中等載荷，或中等浸水深度達最大。

綜上所述，對矩形截面柱殼船體穩(wěn)定性的研究得出如下有益的結(jié)論：

(1) 對于給定的船體深度h, 適當增大船體寬度b, 不但會增大載貨量，而且會大大改善船體的穩(wěn)定性。

圖7

(2) 對于給定的船體與載荷總重量W 而言，重心越低越有利于穩(wěn)定性。對于較寬的船體，甚至允許重心適當?shù)馗哂诖谄矫?。這一點對大型的多層游輪和載有多層集裝箱的貨輪很重要。盡管如此，也應(yīng)將重心盡可能降低，以獲得盡可能大的抗外部擾動能力。

(3) 船體的幾何結(jié)構(gòu)決定了它允許的最大浸水深度和最大排水量，因而也決定了它的不可超越的最大總載荷。為使加載船體獲得最佳的承受外部干擾力矩的能力，中等載荷或中等浸水深度最有利。

4 實際船體的穩(wěn)定性

考慮一個任意形狀的實際船體，上面有固定的載荷。船體與載荷總重量為W, 它不能超過船體可能的最大排水量的重量，亦即W的上限，Wwater=Wmax，否則水會漫過船沿，造成船體傾覆乃至沉沒。仍可定義

可將船體在平衡時所允許的最高吃水線看成是刻在船體外表面上的幾何曲線，而將此幾何曲線所在的幾何平面定義為“船口平面”，將船口平面到船底(指平衡時過船外表面最低點的水平面)的鉛直距離記為h，將船口平面高于總重量W的重心C的距離記為Λ。注意，船口平面,h,Λ三者都是“隨體不變量“，即不因船體之傾斜而改變。

仍將總重量為W的船體在水面平衡時，吃水線到船底的鉛直距離記為H，將過重心C的鉛直線與“吃水平面” (即過吃水線的平面)之交點作為“空間坐標系”的原點o，且令oz軸鉛直向上，oy軸水平向前。于是ox軸為水平且指向由船尾向船頭看時的右側(cè)。將此坐標系三個軸上的單位向量分別記為eeex，eeey和eeez。平衡時，定義“隨體坐標系”(O;X,Y,Z)與空間坐標系(o;x,y,z)重合。設(shè)該平衡態(tài)時，船體外表面的形狀滿足方程

引進

則ξ為平衡時外表面任一點(x,y)到船底平面的高度。當船體發(fā)生傾斜時，ξ=F(X,Y)則代表外表面任一點(X,Y)到過“船底點”的切平面的垂直距離。F(X,Y)和f(X,Y)=F(X,Y)-H都是”隨體不變量“，即不隨船體傾斜而改變。所不同的是，F(xiàn)(X,Y)只依賴于船體外表面的幾何形狀，而f(X,Y)則還依賴于平衡時的浸水深度，從而依賴于總重量W。對于給定的船體，ξ=F(X,Y)是已知函數(shù)。雖未必能用統(tǒng)一的解析式給出，但可從設(shè)計圖紙或?qū)嶋H測量得到。將總重量為W和Wwater=Wmax時吃水線在xy平面投影所圍的區(qū)域分別記為DH和Dh，則有

其中ρ為水的密度。于是有

首先討論當船體只發(fā)生橫向傾斜，OZ軸相對于oz軸在x方向傾角為θ時，浮心Q的求法。在隨體坐標系(O;X,Y,Z)中看，船體外表面仍由方程

給出。而吃水面則為一個向左傾斜的平面

其中δ= 0 (當θ= 0)。傾角為θ時排水體積V仍必須與平衡時的排水體積相同

其中V為斜面(式(23))與外表面(式(22))之間的體積，Dθ為斜面(式(23))與外表面(式(22))之交線在XY平面投影所圍區(qū)域。由式(24)定出δ之后，浮心Q(即體積V的形心)在隨體坐標系(O;X,Y,Z)中的坐標為重心C在隨體坐標系(O;X,Y,Z)中的坐標為

由此得到純橫向傾斜且傾角為θ時浮力與重力的恢復力偶矩為

其中θ不超過最大允許橫向傾角θmax。船體所能承受的最大橫向外界擾動力矩為

純橫向傾斜穩(wěn)定性判據(jù)為

這可由式(27)來判斷?？捎猛耆愃频姆椒ㄓ懻摷兛v向傾斜，OZ軸相對于oz軸在y方向傾角為φ時浮心Q的求法。在隨體坐標系(O;X,Y,Z)中看，吃水面為一個向后傾斜的平面

其中Δ=0 (當φ=0)。排水體積V必須等于平衡時的排水體積，即

其中V為斜面(式(28))與外表面(式(22))之間的體積，Dφ為斜面(式(28))與外表面(式(22))之交線在XY平面投影所圍區(qū)域。由式(29)定出Δ之后，浮心Q(即體積V的形心)在隨體坐標系(O;X,Y,Z)中的坐標為

重心C在隨體坐標系(O;X,Y,Z)中的坐標仍由方 程(25)和(26)給 出。 向 量--→CQ在 隨 體 坐 標 系(O;X,Y,Z)中的坐標為

將最大允許縱向傾角記為φmax，于是得到純縱向傾斜且傾角為φ(φ≤φmax)時浮力與重力的恢復力偶矩為

船體所能承受的最大縱向外界擾動力矩為

純縱向傾斜穩(wěn)定性判據(jù)為這可由式(30)來判斷。至此，已完成任意形狀船體在給定重量和重心時，對橫向和縱向傾斜的穩(wěn)定性及所能承受最大外部擾動力矩的推導。實際船體的設(shè)計除了考慮穩(wěn)定性(包括承受外部擾動力矩的能力)之外，還需考慮貨運量，行進速度，建造費用等因素。例如，增大船體寬度固然對貨運量和穩(wěn)定性都有利，但也會增大行進的阻力，從而降低行進速度，并且也會增加建造費用。內(nèi)河航運的游船和貨船還需考慮河水寬度和橋墩間距等因素。

5 討論

現(xiàn)在將浮體穩(wěn)定平衡的各種判據(jù)作一小結(jié)，比較它們各自的優(yōu)點和局限性，以及它們之間可能存在的邏輯關(guān)系。

判據(jù)1

定理1浮體平衡時，若重心低于浮心，則該平衡態(tài)是穩(wěn)定的。

證明設(shè)水面為z= 0。eeez為z軸單位向量，指向上。平衡時，重心C和浮心Q在同一鉛直線上，且已知

將過C和Q的直線與水面的交點取作原點o。在浮體上取一個平衡時與ez重合的“隨體”單位向量EZ?，F(xiàn)考慮浮體方位從該平衡態(tài)發(fā)生一個小偏離達到一個擾動態(tài)。無妨設(shè)擾動態(tài)的EZ與eeez所在的平面為xoz平面，EZ從eeez向x方向傾斜了一個角度θ。將平衡時的浮心刻在浮體上的位置記為Q0，它隨浮體一起動。令隨體坐標系(O;X,Z)在平衡時與空間坐標系(o;x,z)重合。在擾動態(tài)(θ ＞0)仍有

即

由式(14)，有

將以上二式相加，得到

因此擾動態(tài)重力和浮力的力偶矩是恢復力矩。故該平衡態(tài)穩(wěn)定。證畢。

此判據(jù)的優(yōu)點是其簡單性：完全不必計算擾動態(tài)浮心的位置。此判據(jù)的局限性是，它只適宜于浮體重心低于浮心的情形。此情形只有不均勻浮體和船體，當重量集中在底部附近時才會出現(xiàn)。密度小于1的均勻浮體，其平衡態(tài)有一部分露出水面，重心一定高于浮心。

判據(jù)2

力偶矩法

對于平衡態(tài)附近的擾動態(tài)，重心位置由隨體變化容易得出。只要算出浮心的位置，便可直接判斷擾動態(tài)重心與浮心力偶矩是不是恢復力矩，從而判斷該平衡態(tài)是否穩(wěn)定。此方法的優(yōu)點是，第一，它普遍適用于一切浮體；第二，它無需計算“浮心曲線”或“浮心曲面”的具體形狀；第三，此法便于計算船體所能承受的最大外部擾動力矩，如本文在第3 節(jié)和第4節(jié)中所作的那樣。

判據(jù)3

最小總勢能法

浮體只受重力和浮力。重力場是有勢的，做功與路徑無關(guān)，因而有重力勢能。若將水面定義為z= 0(z ＞0 和z ＜0 分別表示水面以上和水面以下)，并將重力勢能的零點取為z= 0, 則浮體的重力勢能UG可簡單地表示為

其中W為浮體重量，zC為重心C的z坐標。類似地，可以引進“浮力場”

它在z ＜0 和z ＞0 分別為兩個有勢場，但在z= 0處間斷。容易證明“浮力場”f 做功與路徑無關(guān)，或等價地，“浮力場” f 沿任一閉曲線c做功為零。事實上，若閉曲線c完全在z ＜0 區(qū)域或完全在z ＞0 區(qū)域，這是顯然的。當閉曲線c的一部分在z ＜0 區(qū)域而其余部分在z ＞0 區(qū)域時，對每段水面以上的部分，可用從該段的出水點到入水點的從下方緊貼于水面的直線段來代替，因為本來浮力場對z ＞0部分做功就為零，而緊貼于水面的直線段上，浮力場與線段垂直，做功亦為零。經(jīng)過這樣替代后的整個閉曲線c′處于z ＜0的有勢場中, 因而

由于當浮體整個處于水面以上時浮力為零，因而浮力在z ＞0不做功，自然將浮體整個處于水面以上的狀態(tài)定義為浮力勢能為零。于是，浮體在任一姿態(tài)下的浮力勢能UF便是將浮體從該姿態(tài)向上提升出水面過程中浮力所作的功，也就是該過程中浮力對浮體浸于水下部分所有體積元做功之和

其中V為浮體位于水面以下的那部分體積,ρ′為水密度。此式對浮體的任何位置和姿態(tài)都成立。特別，對于浮力等于重力的情形(包括平衡態(tài))，有

因此，在浮力等于重力這一限定下，有

于是，在浮力等于重力這一限定下，可將總勢能U簡單地寫成

由此得到

定理2浮體平衡態(tài)是穩(wěn)定平衡的充分必要條件是重心與浮心的高度差zC-zQ在浮力等于重力這一限定下達極小。

證明由穩(wěn)定平衡的最小總勢能原理和式(31)立即得證。

(注意，“浮力等于重力”這一限定是必要的。若取消這一限定，例如對均勻浮體，可將浮體整個按入水中，重心將與浮心重合，zC-zQ將等于零。)

推論1浮體的穩(wěn)定平衡態(tài)若重心高于浮心，則重心與浮心的距離在浮力等于重力這一限定下達極小。

證明重心C與浮心Q的距離為

由于該穩(wěn)定平衡態(tài)重心C高于浮心Q，由定理2知，該穩(wěn)定平衡態(tài)的zC-zQ在浮力等于重力這一限定下達極小。在平衡態(tài)，重心C與浮心Q在同一鉛直線上，上式根號下的前兩項為零。因而距離l在浮力等于重力這一限定下達極小。

推論2密度小于1 的均勻浮體的穩(wěn)定平衡態(tài)，其重心與浮心的距離在浮力等于重力這一限定下達極小。

證明密度小于1 的均勻浮體的平衡態(tài)，重心一定高于浮心，于是由推論1立即得證。

將上述推論1和推論2總結(jié)為

判據(jù)4

密度小于1 的均勻浮體的穩(wěn)定平衡態(tài)(或非均勻浮體重心高于浮心時的穩(wěn)定平衡態(tài))，其重心與浮心的距離在浮力等于重力這一限定下達極小。

穩(wěn)定平衡時重心與浮心距離達極小這一說法常在一些文章中用到[5-7]。這里則給出了從總勢能最小原理推導出這一判據(jù)的邏輯關(guān)系。

判據(jù)5

定傾中心法：

當浮體處于平衡態(tài)時，浮力等于重力，重心與浮心處于同一鉛直線上。設(shè)想將這一鉛直線刻在浮體上，稱為“刻線”。當浮體偏離該平衡態(tài)，保持排水量不變，而傾斜到一個擾動態(tài)時，“刻線”將達到一個新位置。而浮心也由擾動態(tài)排水體積的形狀而達到一個相應(yīng)的位置。將過擾動態(tài)浮心的鉛直線與擾動態(tài)“刻線”的交點稱為“定傾中心”。該判據(jù)稱，若擾動態(tài)的重心低于定傾中心，則穩(wěn)定；若擾動態(tài)的重心高于定傾中心，則不穩(wěn)定。許多作者討論過這一方法[1-3,5,8]。對于二維問題，不難看出，此法與力偶矩法等價。但在三維擾動的一般情形下，過擾動態(tài)浮心的鉛直線是否與“刻線“相交，會引出一些數(shù)學上的復雜討論。總之，雖然在船舶設(shè)計中這是一個常用的概念，使用起來，它并不比上述4種判據(jù)更方便。

判據(jù)6

當浮體具有明顯的對稱性，使得從直觀上即可判斷它只有有限的幾個平衡姿態(tài)時，可直接比較這些平衡態(tài)的總勢能，或重心浮心的高度差zC-zQ，或(當重心高于浮心時)重心浮心距離l，來直接判斷哪些平衡態(tài)穩(wěn)定，哪些平衡態(tài)不穩(wěn)定，而不必對這些平衡態(tài)之間的擾動態(tài)作任何計算。(見下面的例1)

例1橫截面為矩形(長為a, 寬為b,a ＞b)的均勻柱體，密度與水密度之比為η ＜1，能以(1)臥式和(2)立式兩個姿態(tài)在水面平衡(圖8)。

圖8

易知在臥式和立式兩個姿態(tài)下的浸水深度分別為

兩個姿態(tài)下的重心(分別記為C1和C2)和浮心(分別記為Q1和Q2)的z坐標分別為

顯然zC1-zQ1＜zC2-zQ2。又由直觀判斷，zC-zQ不可能在臥式和立式兩個姿態(tài)之間的任何中間態(tài)達極值。因此，zC-zQ必在臥式(1)達極小，在立式(2)達極大。因而，臥式平衡(1)穩(wěn)定，而立式平衡(2)不穩(wěn)定。

例2再次考慮3.2 節(jié)中討論過的半圓柱殼形的船體模型。設(shè)船體與加載的總重量W小于該半圓柱殼中充滿水時水的重量Wwater，則平均密度與水密度之比

設(shè)船體與加載的質(zhì)量分布沿縱向均勻，且在橫截面上關(guān)于對稱軸對稱分布。在此條件下，該加載船體在水面平衡時的浸水深度和浮心位置完全由圓半徑R和總重量W決定，與總重量W在鉛直方向如何分布無關(guān)。因此，可以在保持總重量W不變前提下調(diào)解其鉛直方向分布，從而相應(yīng)地調(diào)解重心位置，而保持浮心位置不變。

圖9 是針對η= 0.5 算出的浸水深度和浮心位置Q。調(diào)解質(zhì)量的鉛直方向分布可分別得出平衡時圖中所示的重心位置C1,C2,C3。其中，C1在浮心Q之下；C2在浮心Q之上，但在圓心O之下；C3則在圓心O之上。當船體連同載荷向右傾斜角度θ時，只要θ在允許范圍內(nèi)(即水不漫過船沿)，則浮心Q的空間位置不變，而重心C1，C2，C3分別隨船體旋轉(zhuǎn)到D1，D2，D3。注意此問題中定傾中心就是O點。對于平衡態(tài)C1，可用判據(jù)1，2，3，5 中任何一個，斷定它是穩(wěn)定平衡；對于平衡態(tài)C2，可用判據(jù)2，3，4，5 中任何一個，斷定它是穩(wěn)定平衡；對于平衡態(tài)C3，可用判據(jù)2，3，4，5 中任何一個，斷定它是不穩(wěn)定平衡。此問題中，可以對平衡態(tài)C1,C2和C3直接算出重心與浮心距離作為傾角θ的函數(shù)

圖9

顯然，l1(θ)和l2(θ)分別在θ= 0 達極小值QC1和QC2。而l3(θ)則在θ= 0 達極大值QC3。注意，l2(θ)和l3(θ)分別在θ=0 達極小和極大是判據(jù)4(或總勢能極小原理)的自然推論；而l1(θ)在θ= 0 達極小雖是事實，卻不是判據(jù)4(或總勢能極小原理)的推論。

6 結(jié)語

本文通過盡可能簡單的模型，討論了浮體(包括船體)平衡的穩(wěn)定機制和判據(jù)，給出求船體能承受的最大外部擾動力矩的計算方法。這些方法不但適用于簡單的船體模型，而且適用于實際的船體。這對改進船體設(shè)計會有一定參考價值。本文中對各種穩(wěn)定性判據(jù)的詳細討論有助于澄清該領(lǐng)域的一些基本概念，為改進該領(lǐng)域的教學和研究會有所助益。

致謝作者謹向武際可教授表示衷心的感謝。感謝他建議作者深入考慮了這個有興趣的課題。并且作者從和他的多次討論中，獲得許多有益的啟示。