胡寶山，趙前進(jìn)，周躍進(jìn)

(安徽理工大學(xué)數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，安徽淮南232001）

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，因果中介分析模型是自變量通過(guò)中介變量對(duì)因變量的影響，以揭示其因果機(jī)制。因果中介分析在心理學(xué)，行為學(xué)，生物醫(yī)學(xué)以及社會(huì)科學(xué)方面有著廣泛應(yīng)用。最近，關(guān)于藥物對(duì)健康的研究已經(jīng)從簡(jiǎn)單的給出總效應(yīng)到更加復(fù)雜的多種效應(yīng)，特別是醫(yī)學(xué)研究越來(lái)越關(guān)注于確定藥物可能對(duì)健康產(chǎn)生影響的機(jī)制，研究自變量如何通過(guò)中介變量對(duì)因變量產(chǎn)生因果效應(yīng)。自變量直接對(duì)因變量產(chǎn)生的效應(yīng)是直接效應(yīng)，自變量通過(guò)中介變量對(duì)因變量產(chǎn)生的效應(yīng)是間接效應(yīng)。中介分析的效應(yīng)值可以進(jìn)行分解，總效應(yīng)分解為直接效應(yīng)與間接效應(yīng)。

1988 年Baron 等首先對(duì)簡(jiǎn)單中介分析模型基于線性回歸分析的方法提出了直接和間接效應(yīng)的估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)[1-2]。近年來(lái)，特別是，Robins 等和Albert 基于反事實(shí)框架下提出了因果中介效應(yīng)定義后，中介分析研究有很大的發(fā)展[3-4]。2009 年，Vander 等提出了具有交互作用的中介分析模型，給出了在自變量和中介變量交互作用下的中介效應(yīng)公式，并估計(jì)直接效應(yīng)和間接效應(yīng)[5-7]。Imai 等.在反事實(shí)框架下對(duì)因果中介效應(yīng)的可識(shí)別性做出了必要的假設(shè)，并且考慮了對(duì)自變量、中介變量和因變量有影響的混雜因素。Pearl 考慮了利用線性和非線性回歸方法估計(jì)直接效應(yīng)和間接效應(yīng)[8-10]。另外，Albert 等[11-12]和Wang 等提供了因果中介分析的一般方法，該方法適用于線性和非線性、參數(shù)和非參數(shù)、連續(xù)或離散介體以及各種類(lèi)型的中介模型[13-15]。Albert 等在研究中介分析中，提出了具有不同靈敏度參數(shù)的靈敏度分析方法[16]。Lange[17]等提出了基于邊際結(jié)構(gòu)模型對(duì)樣本進(jìn)行加權(quán)，并用極大似然估計(jì)獲得直接和間接效應(yīng)估計(jì)，此方法可以應(yīng)用于任意類(lèi)型的變量組合，這減少了中介分析的工作量[18-19]。

到目前為止，包括上面的研究成果主要針對(duì)一個(gè)中介變量的情形。然而，實(shí)際上對(duì)因變量有影響的中介變量可能有多個(gè)。因此，本文針對(duì)帶有靈敏度參數(shù)的多個(gè)中介變量的二變量中介分析模型進(jìn)行研究。

1 因果推斷中的直接和間接效應(yīng)

因果中介分析是研究自變量通過(guò)中介變量對(duì)因變量的影響，并將總效應(yīng)分解為直接效應(yīng)和間接效應(yīng)，對(duì)于中介分析的研究，已經(jīng)由簡(jiǎn)單的中介模型到更加復(fù)雜的多中介變量模型了。圖1 是由自變量A、中介變量M、因變量Y組成的單個(gè)中介變量的中介模型。圖2 是由自變量A、多個(gè)中介變量M=(M1,M2,M3…MK)、混雜變量C和因變量Y組成的多個(gè)中介變量的中介模型。

圖1 單個(gè)中介變量的中介模型

為了準(zhǔn)確地表達(dá)直接效應(yīng)和間接效應(yīng)的概念，令Y(a)表示自變量A=a時(shí)因變量的值；中介變量M是由多個(gè)中介變量組成的向量，即M=(M1,M2,M3…Mk)，M(a)表示自變量A=a時(shí)，由多個(gè)中介組成的中介變量的值，即M(a)=(M1(a),M2(a),…MK(a))；M(a*)表示自變量A=a*時(shí)，由多個(gè)中介組成的中介變量的值，即M(a*)=(M1(a*),M2(a*),…MK(a*))；Y(a,m)表示自變量A=a時(shí)且中介變量M為m 時(shí)因變量的值；Y(a,M(a))表示當(dāng)自變量A=a時(shí)且中介變量M在A=a時(shí)因變量的值。Y(a,M(a*)) 表示當(dāng)自變量A=a時(shí)且中介變量M在A=a*時(shí)因變量的值。

圖2 多個(gè)中介變量的中介模型

為了更好地表達(dá)直接效應(yīng)和間接效應(yīng)的定義，我們使用了Imai 等人提出的假設(shè)，在連續(xù)可忽略性假設(shè)下，直接效應(yīng)和間接效應(yīng)可以用觀察到的數(shù)據(jù)進(jìn)行非參數(shù)識(shí)別，假設(shè)

假設(shè)指出，在給定混雜變量C條件下，自變量A獨(dú)立于中介變量M和因變量Y(a,m)；同樣，在給定自變量A和混雜變量C的條件下，中介變量M和因變量Y(a,m)也是相互獨(dú)立的。

可定義多個(gè)中介變量的直接效應(yīng)、間接效應(yīng)和總效應(yīng)如下：

2 估計(jì)直接效應(yīng)和間接效應(yīng)

在評(píng)估中介效應(yīng)時(shí)，Baron 等提出的單個(gè)中介連續(xù)型變量中介模型型如下：

他們提出通過(guò)估計(jì)θ1來(lái)評(píng)估直接效應(yīng)，并通過(guò)估計(jì)β1θ2來(lái)評(píng)估間接效應(yīng)。

Wang 等[20]提出了一種混合因果中介模型，這種中介模型提供了新的靈敏度參數(shù)，用來(lái)表示由于因果效應(yīng)引起的關(guān)聯(lián)效應(yīng)的比例。模型如下；

其中：θ1表示A對(duì)Y的關(guān)聯(lián)效應(yīng)；φ表示由于自變量的因果效應(yīng)引起的關(guān)聯(lián)效應(yīng)中不可識(shí)別比例，(1-φ)表示由于自變量的因果效應(yīng)引起的關(guān)聯(lián)效應(yīng)的比例。如果φ=0，則表示因變量Y(a,m)的期望不依賴(lài)于觀察到自變量a*。混合因果中介模型可簡(jiǎn)化為Baron 等提出的單中介變量模型。

在本文中，我們將采用上一節(jié)中的因果推論中的直接效應(yīng)和間接效應(yīng)的概念，采用Baron 等和Wang 等提出的中介模型，將它推廣到具有多個(gè)中介變量的二變量中介模型中，建立新的多中介變量模型。

由中介模型（3）和（5），建立新的多中介變量模型。模型如下：

其中

由中介變量模型（6）和（7），我們可以建立新的多中介變量公式，用來(lái)估計(jì)直接效應(yīng)和間接效應(yīng)。新的多中介變量公式如下：

3 模擬研究

對(duì)直接效應(yīng)和自然間接效應(yīng)進(jìn)行了模擬研究，我們先對(duì)參數(shù)β和θ進(jìn)行設(shè)定，然后估計(jì)出參數(shù)β和θ，最后，計(jì)算出直接效應(yīng)和間接效應(yīng)的偏差、誤差和均方誤差，用來(lái)評(píng)價(jià)模擬效果。模擬中生成1 000 個(gè)模擬數(shù)據(jù)集，樣本總量分別采用了n=50、200、500。自變量a和a*服從二項(xiàng)分布B(h,p) ，令h=1,p=0.5，即a(1,0.5) ，a*(1,0.5) 混雜變C 量服從正態(tài)分布N(μ,δ2)，令μ=0,δ2=0.1、1.0、4.0，即C服從N(0,0.1)、N(0,1)、N(0,4)三種正態(tài)分布，分別對(duì)這三種分布進(jìn)行模擬，同樣也對(duì)靈敏度參數(shù)也設(shè)置了三種情況，讓靈敏度參數(shù)φ分別服從均勻分布U(-0.1,0) ，U(-0.05,0.05) ，U(0,0.1)。模擬結(jié)果如下表1～3。

從表1 中觀測(cè)到，自變量a和a*服從二項(xiàng)分布，混雜變量服從正態(tài)分布，靈敏度參數(shù)φ服從均勻分布U(-0.1,0)，直接效應(yīng)和間接效應(yīng)估計(jì)的偏差，誤差和均方誤差都非常小，非常接近真實(shí)值，隨著樣本量的增加，直接效應(yīng)和間接效應(yīng)估計(jì)的偏差，誤差和均方誤差也在逐漸變小。這說(shuō)明對(duì)直接效應(yīng)和間接效應(yīng)的估計(jì)很合理。

表1 自變量a 和a*服從二項(xiàng)分布，混雜變量服從正態(tài)分布，靈敏度參數(shù)φ 服從均勻分布U(-0.1,0)

從表2 可知，變量a和a*服從二項(xiàng)分布，混雜變量c服從正態(tài)分布，靈敏度參數(shù)φ服從均勻分布U(-0.05,0.05)，直接效應(yīng)和間接效應(yīng)估計(jì)的偏差、誤差和均方誤差較小，波動(dòng)較大些，但也非常接近真實(shí)值。隨著樣本量的增加，直接效應(yīng)和間接效應(yīng)估計(jì)的偏差，誤差和均方誤差也在逐漸變小。這說(shuō)明對(duì)直接和間接效應(yīng)的估計(jì)很合理。

從表3 中觀測(cè)到，自變量a和a*服從二項(xiàng)分布，混雜變量c服從正態(tài)分布，靈敏度參數(shù)φ服從均勻分布U(0,0.1)，直接效應(yīng)和間接效應(yīng)估計(jì)的偏差，誤差和均方誤差都非常小，非常接近真實(shí)值，隨著樣本量的增加，直接效應(yīng)和間接效應(yīng)估計(jì)的偏差，誤差和均方誤差也在逐漸變小。說(shuō)明對(duì)直接效應(yīng)和間接效應(yīng)的估計(jì)很合理。

表2 自變量a 和a*服從二項(xiàng)分布，混雜變量c 服從正態(tài)分布，靈敏度參數(shù)φ 服從均勻分布U(-0.05,0.05)

表3 自變量a 和a*服從二項(xiàng)分布，混雜變量c 服從正態(tài)分布，靈敏度參數(shù)φ 服從均勻分布U(0,0.1)

4 小結(jié)

本文介紹了因果推論到直接效應(yīng)和間接效應(yīng)的相關(guān)概念，對(duì)于有多個(gè)中介的問(wèn)題，引用了Baron 等與Wang 等提出的具有靈敏度參數(shù)的中介模型，建立新的具有靈敏度的多中介變量模型，利用新建立的具有靈敏度的多中介變量模型，對(duì)直接效應(yīng)和間接效應(yīng)進(jìn)行模擬研究，模擬結(jié)果表明本文提出的估計(jì)效果良好。