(安徽省肥西中學(xué) 231200)

劉菲菲 (安徽涉外經(jīng)濟(jì)職業(yè)學(xué)院 230011)

GeoGebra是一款免費(fèi)的動(dòng)態(tài)交互式數(shù)學(xué)軟件,功能強(qiáng)大,操作簡便,交互性強(qiáng),具有動(dòng)態(tài)處理代數(shù)與幾何的功能,特別是其3D功能是傳統(tǒng)幾何畫板難以實(shí)現(xiàn)的,因此GeoGebra在立體幾何中有著廣泛的應(yīng)用.

下面我們用GeoGebra的3D功能來動(dòng)態(tài)解答2018全國理科Ⅰ卷的選擇題12題:

已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為( ).

這是一道關(guān)于截面最值的立體幾何題,考查了學(xué)生的抽象思維能力和空間想象能力,傳統(tǒng)教學(xué)無法給學(xué)生展示動(dòng)態(tài)過程,使得教學(xué)不夠生動(dòng)具體,教師講完這道題以后,學(xué)生可能對此題還是一頭霧水,不能夠理解,也無法想象出具體的情形,教學(xué)效果很弱.下面我們采取GeoGebra的3D功能來解這道題,試圖解決以上教學(xué)效果薄弱問題,同時(shí)也激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和好奇心,培養(yǎng)他們的學(xué)習(xí)興趣.

(1)使用3D功能中的正六面體工具新建一個(gè)正方體ABCD-EFGH.

(2)使用三點(diǎn)平面工具過E,B,D作一個(gè)平面.

(3)用多邊形工具新建正方形EFGH,再點(diǎn)擊對象上的點(diǎn)工具新建正方形EFGH上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,過P點(diǎn)用平行平面工具作一個(gè)平面與已知的平面平行.

(4)點(diǎn)擊相交曲線工具選中正方體和剛作的平面形成截面多邊形,并隱藏線段的標(biāo)簽,隱藏多邊形的頂點(diǎn),隱藏兩個(gè)平面.

(5)拖動(dòng)改變正方體的視角,單擊文本工具輸入“S截面=”,再點(diǎn)擊空白輸入框輸入“面積(ploy1)”,單擊確定.

(6)隱藏坐標(biāo)系、網(wǎng)格和xOy平面,連續(xù)拖動(dòng)P點(diǎn)觀察面積變化直到看到最大面積時(shí)為止.

圖1

可以觀察到當(dāng)截面為正六邊形時(shí)截面面積最大(圖1),故此題選A.

下面我們給出此題的嚴(yán)格證明:

由題目可知平面α∥平面ACD1,在線段C1D1上任取一點(diǎn)R,過R作RS∥A1C1交A1D1于S,過R作RN∥CD1交CC1于N,過N作NF∥BC1交BC于F,過F作FE∥AC交AB于E,過E作EM∥A1B交AA1于M,連接MS,此時(shí)多邊形RNFEMS即為α平面與正方體所形成的截面(圖2).

圖2

從本題可以看出,使用GeoGebra的3D功能來解答立體幾何形象生動(dòng)具體,不僅激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,感受到數(shù)學(xué)的無窮魅力，還也讓讀者感受到GeoGebra和傳統(tǒng)數(shù)學(xué)軟件幾何畫板相比體現(xiàn)的優(yōu)越性.同時(shí)也希望通過本文讓更多的人認(rèn)識并使用GeoGebra,豐富我們的課堂,使我們的教學(xué)更加智慧、有趣、形象、生動(dòng).