(南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué) 210007)

客觀世界是相互聯(lián)系著的充滿矛盾斗爭(zhēng)的統(tǒng)一體，事物的變化發(fā)展遵循著辯證法的規(guī)律．作為反映數(shù)量關(guān)系和空間形式的學(xué)科，數(shù)學(xué)與唯物辯證法之間有著內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系．恩格斯曾指出：“數(shù)學(xué)是辯證的輔助工具和表現(xiàn)方式”．[1]這意味著，數(shù)學(xué)除了自身知識(shí)和思想方法外，還體現(xiàn)了豐富的唯物辯證法內(nèi)涵．

馬克思主義哲學(xué)中的唯物辯證法以聯(lián)系觀和發(fā)展觀為總特征，包含三個(gè)基本規(guī)律，即對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律、質(zhì)量互變規(guī)律和辯證否定規(guī)律．這些規(guī)律從不同方面揭示了事物內(nèi)部和事物之間最普遍的本質(zhì)聯(lián)系和發(fā)展的實(shí)質(zhì)、狀態(tài)及趨勢(shì)．因此，唯物辯證法是一切實(shí)踐的理論指導(dǎo)和行動(dòng)指南，也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐的根本性指導(dǎo)方法．在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，注意對(duì)唯物辯證法基本觀點(diǎn)的適時(shí)揭示與滲透，有助于幫助學(xué)生以科學(xué)的思維方式去理解物質(zhì)世界，有利于培養(yǎng)學(xué)生在復(fù)雜的問(wèn)題表象中把握變化規(guī)律，捕捉數(shù)學(xué)本質(zhì)．[2]

1 對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律

1.1 運(yùn)用對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律完善學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知

發(fā)展的根本動(dòng)力是矛盾．在數(shù)學(xué)內(nèi)部，在發(fā)現(xiàn)和解決矛盾的過(guò)程中產(chǎn)生了很多著名的定理和結(jié)論．例如，在“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入”一章中提到，數(shù)的概念的發(fā)展與數(shù)系擴(kuò)充是數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線索．?dāng)?shù)系擴(kuò)充的過(guò)程既是客觀實(shí)際的需要，又是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要．為解決負(fù)數(shù)開(kāi)方的問(wèn)題而產(chǎn)生的虛數(shù)，顯然與已有的實(shí)數(shù)是一對(duì)矛盾，但卻在復(fù)數(shù)系下得以統(tǒng)一．?dāng)?shù)系的發(fā)展也是不斷地在舊的數(shù)系中發(fā)現(xiàn)矛盾，再站在統(tǒng)一的全局觀下發(fā)展形成新的數(shù)系．帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程中的辯證關(guān)系，明確現(xiàn)有數(shù)系是歷史發(fā)展的產(chǎn)物且仍處于發(fā)展過(guò)程中的本質(zhì)，有助于學(xué)生形成對(duì)數(shù)學(xué)更為完整的認(rèn)識(shí)．

1.2 運(yùn)用對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律發(fā)展學(xué)生的思維能力

數(shù)學(xué)的概念、性質(zhì)、命題，都是對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律的載體，如正數(shù)與負(fù)數(shù)、原命題與逆命題、函數(shù)與反函數(shù)、無(wú)限與有限、連續(xù)與離散．對(duì)此，數(shù)列的概念可謂一個(gè)很好的解釋．?dāng)?shù)列自身的離散性，似乎表現(xiàn)出它與連續(xù)函數(shù)的某種對(duì)立．然而，數(shù)列在項(xiàng)的序號(hào)與項(xiàng)之間形成的對(duì)應(yīng)關(guān)系又符合函數(shù)定義，故我們?cè)诮鉀Q數(shù)列問(wèn)題時(shí)常常將其轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)的問(wèn)題加以解決．這一過(guò)程體現(xiàn)了連續(xù)與間斷的對(duì)立統(tǒng)一．我們還可以將一些含間斷點(diǎn)的函數(shù)，通過(guò)補(bǔ)充間斷點(diǎn)處定義等途徑轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)進(jìn)行研究．這不僅體現(xiàn)了連續(xù)與間斷的相互轉(zhuǎn)化，還體現(xiàn)了唯物辯證法對(duì)理性思維發(fā)展的良好促進(jìn)作用．

1.3 運(yùn)用對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律提升學(xué)生的解題能力

圖1

圖2

唯物辨證法認(rèn)為，運(yùn)動(dòng)是物質(zhì)的根本屬性，數(shù)學(xué)解題教學(xué)中也常將對(duì)動(dòng)點(diǎn)或變量規(guī)律的探究作為解決運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的突破口．事物的聯(lián)系是多種多樣的，事物存在和發(fā)展的一切條件以時(shí)間、地點(diǎn)、條件為轉(zhuǎn)移．例1中P,M,N三點(diǎn)雖同時(shí)運(yùn)動(dòng)，卻始終保持正三角形的結(jié)構(gòu)不變，此為本題運(yùn)動(dòng)規(guī)律的特征．如果我們轉(zhuǎn)變動(dòng)靜關(guān)系，保持正三角形結(jié)構(gòu)靜止，則AP的運(yùn)動(dòng)僅與點(diǎn)A的位置有關(guān)．再探索點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，易知其運(yùn)動(dòng)軌跡實(shí)為一段優(yōu)弧(圖2)．顯然，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至MN中垂線與優(yōu)弧的交點(diǎn)處時(shí)，AP取得最大值．

動(dòng)靜關(guān)系互換、整體局部互化、特殊與一般、抽象與具體、降維與升維，這些常見(jiàn)的數(shù)學(xué)解題方法都體現(xiàn)了唯物辯證法中的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律．在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中及時(shí)運(yùn)用唯物辯證法的觀點(diǎn)，必將使學(xué)生思維的深度和寬度得以拓展．

2 質(zhì)量互變規(guī)律

發(fā)展的觀點(diǎn)是唯物辯證法的一個(gè)總特征，自然界、人類社會(huì)、人的認(rèn)知都是不斷發(fā)展的,數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展是人的認(rèn)知發(fā)展的一部分．量變和質(zhì)變是事物發(fā)展過(guò)程中兩種不同狀態(tài)[3]．事物的發(fā)展總是從量變開(kāi)始，在新的質(zhì)的基礎(chǔ)上又進(jìn)一步開(kāi)始新的量變．

2.1 “量變是質(zhì)變的必要準(zhǔn)備”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的體現(xiàn)

量變是質(zhì)變的必要準(zhǔn)備，積極做好量的積累，為實(shí)現(xiàn)事物的質(zhì)變創(chuàng)造條件．在質(zhì)量互變規(guī)律的指導(dǎo)下，發(fā)展出了極限思想．高中數(shù)學(xué)教材中的“一尺之棰”“割圓術(shù)”等素材，圓面積、球體積、漸近線等知識(shí)，都蘊(yùn)含著從“有限”走向“無(wú)限”的思想．通過(guò)有限量的無(wú)限積累，學(xué)生的視野從靜止走向運(yùn)動(dòng)，突破有限深入到無(wú)限，更加明晰有限之中包含著無(wú)限、無(wú)限是通過(guò)有限來(lái)表達(dá)的辯證關(guān)系．

圖3 圖4

當(dāng)A,D兩點(diǎn)分別沿射線BA,CD向無(wú)限遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)(圖4)，BA,CD,FE趨向匯聚于同一點(diǎn)，同時(shí)四邊形趨向于三角形，且此過(guò)程中線段長(zhǎng)度的積累并不改變題設(shè)，故由三角形的情形很容易得到結(jié)果．量的積累為我們觀察、分析、處理問(wèn)題帶來(lái)意想不到的收獲．

2.2 “質(zhì)變是量變的必然結(jié)果”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的體現(xiàn)

質(zhì)變是量變的必然結(jié)果，我們要不失時(shí)機(jī)地促成質(zhì)變，實(shí)現(xiàn)事物的飛躍和發(fā)展．

零點(diǎn)存在定理是高中數(shù)學(xué)必修1“函數(shù)與方程”第一課時(shí)的一個(gè)重要定理：一般地，若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)f(b)<0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有零點(diǎn)．根據(jù)該定理，判斷函數(shù)零點(diǎn)的過(guò)程為：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再在每個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)研究是否有異號(hào)情況發(fā)生．用唯物辯證法的觀點(diǎn)來(lái)解釋這個(gè)定理，“f(a)f(b)<0”體現(xiàn)出函數(shù)值的變化，不等式所表現(xiàn)出的異號(hào)情形，無(wú)論是由正到負(fù)還是由負(fù)到正，都可視作函數(shù)值由量變到質(zhì)變的結(jié)果．而“不間斷的曲線”保證了發(fā)展的連續(xù)性，故質(zhì)變的產(chǎn)生反映出發(fā)展過(guò)程中必然經(jīng)歷某一時(shí)刻函數(shù)值恰為0．零點(diǎn)的產(chǎn)生只是發(fā)展進(jìn)程中的一個(gè)瞬間，體現(xiàn)了符號(hào)變化是函數(shù)值發(fā)展的必然結(jié)果．正是一次次抓住了量變和質(zhì)變的關(guān)系，把握住了量的漸進(jìn)和質(zhì)的飛躍之間的契機(jī)，我們才能收獲這些美妙的數(shù)學(xué)定理．

3 辯證否定規(guī)律

事物發(fā)展的過(guò)程是環(huán)環(huán)相扣的，辯證否定是事物發(fā)展的根本途徑．正是這種寓于發(fā)展變化過(guò)程中的否定之否定，促進(jìn)了社會(huì)的變革和進(jìn)步．?dāng)?shù)學(xué)也不例外，很多數(shù)量關(guān)系和空間形式也充滿著否定的觀點(diǎn)．如積分與微分、連續(xù)與間斷、變量與常量、直與曲等，都既有對(duì)立的一面又有統(tǒng)一的一面．?dāng)?shù)學(xué)史上著名的三大危機(jī)都是源于發(fā)展進(jìn)程中對(duì)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)基石的“否定”[4]．正因?yàn)閬?lái)自數(shù)學(xué)內(nèi)部的辯證否定不斷發(fā)生，才使數(shù)學(xué)不斷深化發(fā)展，形成龐大的數(shù)學(xué)體系．教學(xué)中，我們也可以通過(guò)“否定”“否定之否定”來(lái)制造認(rèn)知沖突，推動(dòng)學(xué)生思維發(fā)展，提升創(chuàng)新意識(shí)．

例3拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)片段．

教師回顧相關(guān)知識(shí)后，請(qǐng)學(xué)生探索如何建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(圖5)．

圖5

生1：我想以直線l為y軸，以過(guò)點(diǎn)F垂直于l的直線為x軸建系．

師：想法很好，可以猜想所得方程可能含有哪些項(xiàng)嗎？

生1：圖象將關(guān)于x軸對(duì)稱，所以應(yīng)該有y2項(xiàng)，沒(méi)有y項(xiàng)；還有含x的項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，具體是什么我還沒(méi)想好．

生2：我覺(jué)得這樣建系不如以F為原點(diǎn)建系．(否定)這樣一下子就能看出，根據(jù)PF=d轉(zhuǎn)化來(lái)的方程含y2項(xiàng)、x項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)．

圖6

生3：這么說(shuō)的話，以頂點(diǎn)為原點(diǎn)建系更好．(第二次否定)相當(dāng)于把剛才兩種坐標(biāo)系中的拋物線沿x軸進(jìn)行平移．可以想象，當(dāng)且僅當(dāng)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，圖象過(guò)(0, 0)點(diǎn)，此時(shí)方程肯定不含常數(shù)項(xiàng)，當(dāng)然更簡(jiǎn)單啦(圖6)！

師：同學(xué)們思考得非常到位，而且不斷地追求數(shù)學(xué)的對(duì)稱美和簡(jiǎn)潔美，真的很棒．接下來(lái)，我們可以通過(guò)實(shí)際運(yùn)算證實(shí)一下自己的猜想．

生4：老師，我發(fā)現(xiàn)，不止生3的建系方法好．(第三次否定)如果我們把x軸和y軸互換，得到的方程也是最簡(jiǎn)潔的！

生5：改變x軸或者y軸的正負(fù)方向也行！四種方程都最簡(jiǎn)潔！

師：同學(xué)們能辯證地看待思維過(guò)程中的不足，真好！

盡管事物發(fā)展的道路曲折，但發(fā)展的方向終是前進(jìn)的、上升的．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)的獲得、思維的發(fā)展也是如此，必然要經(jīng)歷一個(gè)由不完善到比較完善的過(guò)程．學(xué)生們?cè)谔骄窟^(guò)程中靈感頻現(xiàn)，想法也在個(gè)體或群體的否定中不斷改進(jìn)，新的思路就在否定的沖突中不斷形成，正是被否定的想法促使思維向更全面更嚴(yán)密的方向發(fā)展．因此，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生善于提出新問(wèn)題，敢于尋找新思路，提升創(chuàng)新思維能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育價(jià)值．

4 幾個(gè)注意點(diǎn)

恩格斯在《自然辯證法》中從不同方面論證了唯物辯證法的一般規(guī)律，解釋了數(shù)學(xué)內(nèi)容的辯證實(shí)質(zhì)．高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要構(gòu)建宏觀的知識(shí)體系，以便在分析和解決問(wèn)題時(shí)具有足夠的高度．教學(xué)中要積極引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)考慮問(wèn)題，從發(fā)展的角度探索未知．為此，需要注意以下幾個(gè)方面：

(1)數(shù)學(xué)性

唯物辯證法從知識(shí)上來(lái)說(shuō)屬于政治學(xué)科教學(xué)內(nèi)容，數(shù)學(xué)課堂上還是應(yīng)以數(shù)學(xué)知識(shí)和方法為載體，運(yùn)用唯物辯證法的規(guī)律和觀點(diǎn)去發(fā)現(xiàn)和揭示數(shù)學(xué)內(nèi)在的辯證因素，最終達(dá)到的還應(yīng)是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解深度和思維高度．

(2)科學(xué)性

在教學(xué)中應(yīng)注意唯物辯證法滲透過(guò)程的自然流暢．靈活、恰當(dāng)?shù)貙⑥q證唯物法運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不能局限于某一章節(jié)、某一冊(cè)書(shū)，甚至是數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部，而應(yīng)該開(kāi)闊視野、廣泛學(xué)習(xí)，形成更為全面的認(rèn)知結(jié)構(gòu), 促進(jìn)自我成長(zhǎng)．

(3)長(zhǎng)期性

唯物辯證法與高中數(shù)學(xué)教學(xué)的有機(jī)結(jié)合是一個(gè)長(zhǎng)期過(guò)程，僅靠時(shí)而浮現(xiàn)的零散思考是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的．教師需要在一段較長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)注意收集和整理相關(guān)的教學(xué)片段并反思，及時(shí)提煉升華，使其體系化，讓唯物辯證法激發(fā)教學(xué)智慧，貫穿學(xué)生的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．