(四川省成都樹德中學(xué) 610031)

栗小妮 汪曉勤 (華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

1 引言

“對數(shù)”是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容之一，也是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個紐帶．德國數(shù)學(xué)家F·克萊因(F.Klein, 1849—1925)曾說：“如果希望進(jìn)一步全面了解對數(shù)的理論，最好是大體上遵循其創(chuàng)造的歷史．”[1]眾所周知，對數(shù)是由蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾(J.Napier, 1550—1617)發(fā)明的，經(jīng)過整整20年的潛心研究，他終于于1614年出版了對數(shù)著作《奇妙的對數(shù)定律說明書》．但鮮為人知的是，幾乎與此同時，另一位瑞士數(shù)學(xué)家比爾吉(J.Bürgi, 1552—1632)也獨立發(fā)明了與其非常類似的對數(shù)概念．對數(shù)大體上經(jīng)歷了三個發(fā)展階段：簡化運(yùn)算思想的形成、對數(shù)表的發(fā)明、對數(shù)與指數(shù)互逆關(guān)系的發(fā)現(xiàn)[2]，納皮爾與比爾吉的主要貢獻(xiàn)是開創(chuàng)了對數(shù)發(fā)展的第二個階段．

現(xiàn)行人教版高中數(shù)學(xué)教科書在“對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算”一節(jié)之后，附加了一篇閱讀材料——對數(shù)的發(fā)明，簡要介紹對數(shù)概念的歷史以及對數(shù)的應(yīng)用．然而，對數(shù)概念的演進(jìn)過程并不是線性的，一種新定義的誕生并非意味著舊定義的廢棄．那么，對數(shù)概念自發(fā)明以后，經(jīng)歷了怎樣的演進(jìn)過程？西方早期教科書或許能夠給我們提供答案．筆者通過對1700—1923年間出版的88種西方早期教科書中有關(guān)對數(shù)內(nèi)容的考察(限于篇幅，大部分文獻(xiàn)未在參考文獻(xiàn)中列出)，試圖回答以下問題：早期教科書中如何定義對數(shù)？定義如何演變？對今日教科書編寫和課堂教學(xué)有何啟示？

2 研究對象

共選取20世紀(jì)中葉以前出版的88種英美早期教科書，若以50年為一段時間，則各教科書的時間分布情況如圖1所示．

圖1 88種教科書的時間分布

查閱早期教科書發(fā)現(xiàn)，對數(shù)概念除了出現(xiàn)在代數(shù)教科書中，許多三角學(xué)著作中也花了大量篇幅介紹對數(shù)的概念、運(yùn)算性質(zhì)及對數(shù)表等內(nèi)容，這是因為早期三角學(xué)包括平面三角和球面三角，其中涉及大量復(fù)雜的運(yùn)算(如長達(dá)七位或八位數(shù)字的正弦的乘積)，當(dāng)時沒有計算器、計算機(jī)等高效的計算工具，通常需要借助對數(shù)幫助人們化簡，省時又省力．

88種教科書中，有48種是代數(shù)教科書，35種是三角學(xué)教科書，2種是幾何教科書，還有3種是數(shù)學(xué)辭典或者百科全書．與今日教科書將對數(shù)編排進(jìn)函數(shù)章節(jié)不同的是，在大多數(shù)早期教科書尤其是代數(shù)教科書中，對數(shù)通常單獨成章，由此可見對數(shù)在當(dāng)時的重要性．

3 對數(shù)定義的分類

對比88種教科書中的對數(shù)內(nèi)容發(fā)現(xiàn)，教科書中對數(shù)的定義不盡相同，大致可以分為四類：“雙數(shù)列定義”“比數(shù)定義”“指數(shù)定義”和“相對定義”．四類定義的具體內(nèi)涵和代表著作如下．

3.1 雙數(shù)列定義

雙數(shù)列定義中構(gòu)造了兩組相互對應(yīng)的數(shù)列，一組為等差數(shù)列，另一組為等比數(shù)列，將等差數(shù)列中的項(又叫做“借數(shù)”(borrowed numbers)或“假數(shù)”(artificial numbers))稱為等比數(shù)列中相應(yīng)項(又叫做“真數(shù)”)的對數(shù)，在總共88種教科書中占比17%．如Forster在《算術(shù)三角學(xué)》中將對數(shù)定義為“對數(shù)是構(gòu)成等差數(shù)列的一組借數(shù)，與構(gòu)成等比數(shù)列的另一組數(shù)相對應(yīng)”．[3]這一類定義還通常與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)一起闡述，如Ronayne在《代數(shù)專論》中給出的定義：“對數(shù)是與真數(shù)相對應(yīng)的一組假數(shù)，任意兩個真數(shù)的對數(shù)(或假數(shù))之和等于這兩個真數(shù)乘積的對數(shù)”．[4]又如Malcolm在《算術(shù)新法：理論與實踐》中這樣定義：“對數(shù)是對應(yīng)于其他數(shù)而構(gòu)造的數(shù)，前者的和與差對應(yīng)于后者的積與商，以及冪與方根”．[5]這種定義方式較多出現(xiàn)于18世紀(jì)，19世紀(jì)中葉以后僅出現(xiàn)了一次，Whitaker在《三角學(xué)基礎(chǔ)》中提到“對數(shù)是一系列與普通的數(shù)相對應(yīng)的數(shù)，后者的乘與除對應(yīng)于前者的和與差”．[6]

結(jié)合對數(shù)的歷史可以發(fā)現(xiàn)，雙數(shù)列定義與納皮爾和比爾吉最初發(fā)明對數(shù)的背景最為相符，定義方式也最為相近．而我們今天教科書上對數(shù)的形式化定義早已脫離開雙數(shù)列的情形，難以從中知曉對數(shù)誕生之初的背景．

3.2 比數(shù)定義

典型的比數(shù)定義是Keill在《平面和球面三角學(xué)基礎(chǔ)》中給出的定義：“一個數(shù)的對數(shù)是該數(shù)與單位之間所含的比數(shù)”，[7]其后Martin(1740)、Ewing(1771)、Hutton(1785)等給出的定義都大同小異，這一定義在88種教科書中約占6.8%．與雙數(shù)列定義相似，比數(shù)定義也主要出現(xiàn)于18世紀(jì)，1800年后僅出現(xiàn)一次，這就是Wood(1825)的定義．

比數(shù)定義可能與對數(shù)的辭源有著密切的聯(lián)系．對數(shù)的英文單詞是logarithm，源于希臘文中的兩個詞logos和arithmos，分別是“比”和“數(shù)”的意思，這兩個詞組合起來就是“比數(shù)”．所謂“比數(shù)”，是指等比數(shù)列中的某一項與首項之間所含公比的個數(shù)．比如，在等比數(shù)列a,aq,aq2,aq3,aq4, …中，若要考慮aq4的對數(shù)，因為q=aq∶a=aq2∶aq=aq3∶aq2=aq4∶aq3，所以aq4與a之間含有4個公比q，即aq4的對數(shù)為4．據(jù)考察，這個“比數(shù)”很有可能就是德國數(shù)學(xué)家斯蒂菲爾(M. Stifel, 1487—1567)在《整數(shù)算術(shù)》(1544)中所說的“指數(shù)”，因為在斯蒂菲爾那個時代，還沒有明確的指數(shù)符號，他就用公比的個數(shù)來刻畫等差數(shù)列中的對應(yīng)項[8]．

3.3 指數(shù)定義

指數(shù)定義是指用“冪指數(shù)”來定義對數(shù)，這一定義在88種教科書中占比最多，為75%．典型的代表是18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(L. Euler, 1707—1783)在《無窮分析引論》(1748)中給出的對數(shù)定義：“若ax=N(a>0,a≠1)，則稱x是以a為底N的對數(shù)”，[9]這也就是我們今日教科書中所采用的對數(shù)定義．

現(xiàn)在人們一般認(rèn)為指數(shù)定義是由歐拉首先提出來的，但值得注意的是，通過考察發(fā)現(xiàn)，其實在歐拉之前就已經(jīng)有人開始使用指數(shù)來定義對數(shù)了，如Gardiner在《對數(shù)表》中給出的定義：“一個數(shù)的常用對數(shù)是使得以10為底的冪等于該數(shù)的冪指數(shù)的值”，[10]以及Stone在《新數(shù)學(xué)辭典》中給出的定義：“對數(shù)是某個給定數(shù)的冪指數(shù)”．[11]

或許是由于歐拉的名聲更大，他的著作對后世的影響更加深遠(yuǎn)，所以人們一般將1748年歐拉《無窮分析引論》的出版看作是對數(shù)形式化定義的標(biāo)志，也是對數(shù)概念發(fā)展過程中第三階段的開始．據(jù)統(tǒng)計，歐拉之后的76種教科書中有82.9%都沿用了他的定義，表明歐拉的指數(shù)定義的確對后世教科書編寫產(chǎn)生了重大影響，是對數(shù)發(fā)展史上的一個重要里程碑．

3.4 相對定義

相對定義是指同一代數(shù)符號在不同情境下可能有不同的名稱，需要根據(jù)某代數(shù)符號與其他不同符號或符號組合的關(guān)系而確定．這一類定義只見于英國數(shù)學(xué)家De Morgan(1835)，他在《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中給出這樣的定義：“在ab中，b相對于a來說是指數(shù)，但b相對于ab來說是對數(shù)，a稱為對數(shù)的底”．[12]在筆者考察的88種教科書中，相對定義僅僅出現(xiàn)了一次．由此可見，De Morgan的定義方式較為新穎，從代數(shù)符號的相對位置角度進(jìn)行定義，關(guān)注到了代數(shù)符號本身的相對性，但其在本質(zhì)上與指數(shù)定義是等價的，因此并沒有對后世產(chǎn)生大的影響．

4 分布與討論

4.1 分布

若以50年為分布單位，四類定義的具體分布情況如圖2所示．

圖2 不同時期對數(shù)定義的百分比分布

從圖2中可見，從18世紀(jì)至19世紀(jì)中葉，教科書中的對數(shù)定義呈現(xiàn)出多樣化的特點．隨著18世紀(jì)歐拉發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系，此后對數(shù)的定義便漸趨統(tǒng)一，“雙數(shù)列定義”“比數(shù)定義”以及曾經(jīng)在歷史上有過短暫亮相的“相對定義”逐漸退出歷史舞臺，“指數(shù)定義”呈現(xiàn)出一枝獨秀的態(tài)勢，占據(jù)了絕對的統(tǒng)治地位．

由于“相對定義”曇花一現(xiàn)，故暫且不予以考慮．圖3給出了早期教科書中所呈現(xiàn)的對數(shù)定義的演進(jìn)過程．

4.2 與今日教科書的異同分析

早期教科書中從對數(shù)到指數(shù)的呈現(xiàn)順序與今日教科書中順序正好相反．早期教科書中通常是先講對數(shù)，包括對數(shù)的概念、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及對數(shù)表的構(gòu)造與使用，然后再講指數(shù)方程，接著對年息問題和復(fù)利問題等相關(guān)內(nèi)容加以介紹．由于今日教科書都采用指數(shù)來定義對數(shù)，所以編排順序必然與早期教科書不同，這是由對數(shù)的定義方式所決定的．因此，我們可以這樣說，從教科書中指數(shù)與對數(shù)內(nèi)容的編排順序可以看出那個時期數(shù)學(xué)的發(fā)展水平．

早期教科書中包含大量今日教科書不再提及的內(nèi)容．早期教科書中經(jīng)常出現(xiàn)長達(dá)幾頁的對數(shù)表，這是早期教科書的一大特征，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，對數(shù)表逐漸被更加高效實用的計算工具所替代，計算變得更加方便快捷．此外，早期教科書中還會介紹對數(shù)的“整數(shù)部分(characteristic)”和“小數(shù)部分”(mantissa)、“線性插值”“對數(shù)曲線”“對數(shù)級數(shù)”“指數(shù)方程”“余對數(shù)”(cologarithm)或“反對數(shù)”(antilogarithm)等概念，以及如何計算某個數(shù)(通常是素數(shù))的對數(shù)值，如常用對數(shù)lg 2, lg 3, lg 5等，還有選取10作為常用對數(shù)的底數(shù)的優(yōu)點等．雖然其中很多內(nèi)容今天的教科書中已經(jīng)不再涉及，但對數(shù)仍在許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支中都起著至關(guān)重要的作用，利用對數(shù)函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型有助于解決某些實際問題，對數(shù)思想具有永久的生命力，歷久而彌新，深深影響著我們的生活．

4.3 對數(shù)的早期歷史

16世紀(jì)末17世紀(jì)初，人類在天文觀測、遠(yuǎn)距離航海、大地測量等科學(xué)領(lǐng)域取得前所未有的進(jìn)展．這些領(lǐng)域與數(shù)學(xué)息息相關(guān)，涉及大量繁雜的計算，龐大的天文數(shù)字給人們(尤其是天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家)帶來巨大的負(fù)擔(dān)，改進(jìn)數(shù)字計算方法成為人們的首要目標(biāo)，對數(shù)因此應(yīng)運(yùn)而生．對數(shù)思想主要來源于兩個方面——“指數(shù)律”(即指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì))和“加減術(shù)”(prosthaphaeresis，即三角函數(shù)中的積化和差公式)．納皮爾與比爾吉兩位數(shù)學(xué)家受此啟發(fā)，花費數(shù)十年的時間苦心鉆研，不約而同地在等差數(shù)列和等比數(shù)列相互對應(yīng)的情形下，在前人以2或3作為等比數(shù)列的公比的基礎(chǔ)上對雙數(shù)列進(jìn)行改進(jìn)，分別以0.999 999 9和1.000 1為新的公比，從而構(gòu)造出更加實用的雙數(shù)列(也就是龐大的對數(shù)表，標(biāo)志著對數(shù)的誕生)，解決了等比數(shù)列相鄰兩項之間間隔越來越大的難題，發(fā)明了對數(shù)這一能夠降低運(yùn)算級數(shù)、簡化計算的神奇工具．

部分早期教科書中提及了對數(shù)的歷史，基本停留在附加式，簡要介紹納皮爾用運(yùn)動學(xué)的方法發(fā)明對數(shù)以及布里格斯(H. Briggs, 1561—1630)改進(jìn)對數(shù)等相關(guān)數(shù)學(xué)史，但鮮少有教科書涉及到比爾吉用純代數(shù)的方法發(fā)明對數(shù)的這段歷史．值得一提的是，在88本教科書中有1本格外引人注目，這就是Rider(1923)的《平面三角學(xué)》，書中全面詳盡地介紹了對數(shù)的歷史．

Rider將對數(shù)作為單獨的一章，并采用重構(gòu)歷史的方式進(jìn)行編排．在章節(jié)的開頭展示了納皮爾的畫像，在下方簡要呈現(xiàn)了納皮爾的生平事跡和主要成就．第一節(jié)中介紹了指數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)——兩個同底的冪相乘對應(yīng)于指數(shù)相加，冪相除對應(yīng)于指數(shù)相減，冪的乘方對應(yīng)于指數(shù)相乘，冪的開方對應(yīng)于指數(shù)相除．考慮以2為底的正整數(shù)指數(shù)冪與其指數(shù)所構(gòu)成的一一對應(yīng)的雙數(shù)列：

便可借助上述性質(zhì)提高運(yùn)算效率，但適用范圍非常有限，僅僅適用于第二行中出現(xiàn)的這些數(shù)，而對更多其他的2的非正整數(shù)指數(shù)冪的那些數(shù)則無法起到簡化計算的作用．因此，需要將數(shù)表擴(kuò)充至更大范圍或插入其他的數(shù)(如可插入幾何中項與相應(yīng)的算術(shù)中項)，體現(xiàn)了改進(jìn)數(shù)表之需．接下來，從歷史的角度考察了對數(shù)的辭源．由于16世紀(jì)科技的發(fā)展和急劇增加的計算需求，納皮爾發(fā)明了對數(shù)，同時也提到比爾吉的對數(shù)研究工作，并詳細(xì)講述了納皮爾與布里格斯的那場曠世之約，二人相見恨晚，一言不發(fā)地對視了長達(dá)十五分鐘之久！正是這次會面，促成了常用對數(shù)的誕生[13]．

5 結(jié)論與啟示

在漫長的二百余年里，對數(shù)概念始于雙數(shù)列定義而終于指數(shù)定義．對數(shù)的歷史告訴我們，今天我們所理解的作為一個函數(shù)概念的對數(shù)，在許多方面都與它最初的構(gòu)想完全不同，現(xiàn)代教科書中均采用指數(shù)的逆運(yùn)算來定義對數(shù)，這已完全脫離了對數(shù)最初的起源，反映出隨著數(shù)學(xué)體系的不斷發(fā)展和完善，人們對對數(shù)的認(rèn)識經(jīng)歷了從復(fù)雜到簡單，從模糊到清晰的過程．早期教科書中對數(shù)定義從不完善到完善的過程，能夠為今日教科書編寫，尤其是以對數(shù)為主題的閱讀材料的編寫和課堂教學(xué)，帶來一定的啟示．

5.1 對教科書編寫的啟示

首先，教科書是我們傳遞文明、傳承文化的重要載體和工具，教科書中對數(shù)定義的演變過程基本反映了數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)?shù)的研究過程．但一些教科書中也出現(xiàn)了倒退的現(xiàn)象，如Whitaker仍采用雙數(shù)列定義[6]．所以這就要求教科書編寫者對當(dāng)前數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域的發(fā)展現(xiàn)狀有充分的了解，才能準(zhǔn)確把握教科書知識內(nèi)容的科學(xué)性和前沿性．

其次，簡明扼要地從逆運(yùn)算的角度用指數(shù)來定義對數(shù)，雖然能夠讓學(xué)生迅速掌握對數(shù)的本質(zhì)，了解對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，對問題解決有一定的實用價值，但無助于學(xué)生理解對數(shù)學(xué)習(xí)的必要性、體會對數(shù)有什么作用，缺乏整體性理解而學(xué)到的知識很容易隨著時間的流逝而被人遺忘．雖然現(xiàn)行人教版教科書中有閱讀材料“對數(shù)的發(fā)明”，但并沒有說明納皮爾離散的雙數(shù)列與連續(xù)的運(yùn)動模型之間到底有什么聯(lián)系、對數(shù)如何從雙數(shù)列的背景下過渡到用指數(shù)進(jìn)行定義．因此，教科書編寫應(yīng)體現(xiàn)對數(shù)定義的多樣化，揭示知識的本源、產(chǎn)生及發(fā)展過程．

5.2 對教學(xué)設(shè)計的啟示

歷史是課堂的參照和指南，課堂是歷史的再現(xiàn)與重構(gòu)．教師可以借鑒對數(shù)概念的發(fā)展過程，采用重構(gòu)歷史的方式整體上設(shè)計對數(shù)概念的教學(xué)，使學(xué)生感受到對數(shù)產(chǎn)生的自然性．歷史上對數(shù)概念的曲折發(fā)展，還可以滲透數(shù)學(xué)學(xué)科的德育價值，運(yùn)用附加式，介紹對數(shù)發(fā)展過程中數(shù)學(xué)家遇到的困難，以及他們是如何克服的，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)并不是一蹴而就的，數(shù)學(xué)家也會遇到挫折和挑戰(zhàn)，幫助學(xué)生樹立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自信心，養(yǎng)成勇敢堅強(qiáng)、持之以恒的精神品質(zhì)．