范建平，賈雪飛，吳美琴

山西大學 經(jīng)濟與管理學院，太原030006

1 引言

自從1965 年Zadeh[1]提出模糊集（Fuzzy Sets，F(xiàn)S）的概念之后，模糊集被廣泛應(yīng)用，但是Zadeh 提出模糊集僅僅使用隸屬度這一個參數(shù)來表示決策信息的不確定性。Atanassov[2]在模糊集的基礎(chǔ)上引入非隸屬度，提出了直覺模糊集（Intuitionistic Fuzzy Set，IFS），可以有效地處理模糊集所不能處理的問題。Gargov 等人[3]和Atanassov 等人[4]將隸屬度函數(shù)和非隸屬度函數(shù)擴展到區(qū)間數(shù)，提出了區(qū)間直覺模糊集。然而在處理實際問題時，刻畫模糊信息的隸屬度可能會在幾個值之間進行波動，為解決這個問題Torra[5]定義了猶豫模糊集（Hesitant Fuzzy Set，HFS）。Qian 等人[6]和Zhu 等人[7]在此基礎(chǔ)上分別定義了廣義猶豫模糊集和雙重猶豫模糊集。但是，有時會出現(xiàn)隸屬度與非隸屬度之和大于1的情況，Yager[8]提出Pythagorean 模糊集來解決這一問題，允許隸屬度與非隸屬度之和大于1，同時需要滿足隸屬度與非隸屬度的平方和小于等于1，Pythagorean 模糊集拓展了直覺模糊集能夠處理的模糊性信息。盡管模糊集理論已經(jīng)被廣泛研究和拓展，但是模糊集及其拓展無法處理不連續(xù)和不一致的信息。例如，醫(yī)生做出某種診斷的時候，認為這位患者60%是患這種疾病，但是又有50%可能是另一種疾病，同時還有20%的不確定性，這種情況無法用模糊集及其拓展集進行處理，所以就需要一些新的理論。Neutrosophic 集（Neutrosophic Set，NS）的出現(xiàn)剛好彌補了這一不足，Smarandache[9]提出Neutrosophic 集的概念，用真實值隸屬函數(shù)，不確定性隸屬函數(shù)和失真值隸屬函數(shù)，即非標準單位區(qū)間]0-,1+[的集合來表示模糊信息，其中不確定性隸屬函數(shù)不像直覺模糊集中的猶豫度與隸屬度和非隸屬度有關(guān)，這里的不確定性隸屬函數(shù)、真實值隸屬函數(shù)和失真值隸屬函數(shù)彼此獨立[13]。

Neutrosophic 集雖然擴大了不確定信息的表達方式，但是在實際應(yīng)用中非常不方便，為了簡化Neutrosophic集，Wang 等人[10]在Neutrosophic 集的實例上定義了集合理論算子（the set theoretic operators），并稱之為單值Neutrosophic 集（Single Valued Neutrosophic Set，SVNS）。Ye[11]將單值Neutrosophic 集和區(qū)間Neutrosophic 集統(tǒng)稱為簡單Neutrosophic 集，并提出相應(yīng)的集結(jié)算子和cosine相似度測量，將其運用到多準則決策（Multi-criteria Decision Making，MCDM）中。Peng 等人[12]對文獻[11]中簡單Neutrosophic 集中不合理的地方進行了改進，Peng 等人[13]基于直覺模糊集的得分函數(shù)提出了Neutro‐sophic 集相應(yīng)的得分函數(shù)、精確函數(shù)和確定函數(shù)，并根據(jù)其對Neutrosophic 數(shù)（Neutrosophic Numbers，NN）的大小進行比較，這些在之后Neutrosophic 集的相關(guān)研究中被廣泛使用。Ye[14]對文獻[11]中的cosine 相似度測量公式進行改進。Majumdar 和Samanta[15]定義了單值Neutrosophic 集中相關(guān)的距離公式，并提出單值Neutro‐sophic 集的熵（Entropy）及相似度的測量。劉春芳和羅躍生[16]將區(qū)間Neutrosophic集中的熵和相似度應(yīng)用于排序之中。Ye[17]在模糊集交叉熵（Cross Entropy）的基礎(chǔ)上進行拓展，提出了單值Neutrosophic集的交叉熵，并將其運用到MCDM 中。Wu 和Wang[18]指出文獻[17]中的交叉熵有缺陷，并據(jù)此提出兩個新的交叉熵測度。Biswas、Pramanik 和Giri[19]將三角模糊數(shù)和單值Neutrosophic 集結(jié)合起來，研究了單值三角Neutrosophic 集及其在MCDM 中的應(yīng)用，提出單值三角Neutrosophic 集的加權(quán)算術(shù)平均算子和加權(quán)幾何平均算子用以聚合單值三角Neutrosophic 集。Deli[20]提出了單值三角Neutrosophic集（Single Valued Triangular Neutrosophic Set，SVTrNS）的截集和真實值隸屬度、不確定性隸屬度、失真值隸屬度的模糊性，并據(jù)此給出了一種新的排序方法。Avishek 等人[21]定義了不同類型的線性和非線性廣義三角Neutrosophic 數(shù)，同時給出了將Neutrosophic 數(shù)轉(zhuǎn)化為精確數(shù)的方法。Abdelbasset 等人[22]分析了單值三角Neutrosophic 集的互反判斷矩陣，并對群決策中的一致性問題進行處理。

Chen 等人[23]提出TOPSIS 方法，通過備選方案與正、負理想解之間的距離確定其排序。Smarandach 等人[24]將TOPSIS 方法進行簡化，并將其應(yīng)用于Neutro‐sophic 集中。Biswas 等人[25]將TOPSIS 方法應(yīng)用于單值Neutrosophic 集中。Liang 等人[26]對TOPSIS 方法進行改進，并將其運用到語言Neutrosophic集中，用于評估金屬礦山的投資風險。TOPSIS 方法需要用到?jīng)Q策信息的差異程度，但是采用距離公式測量會丟失掉一部分不確定信息，而交叉熵可以有效衡量決策信息的模糊性和準則之間的關(guān)聯(lián)性，同時還可以消除距離測度的不利影響，比較適合測量不確定信息和不連續(xù)信息。

本文在單值三角Neutrosophic集環(huán)境中提出一種新的交叉熵測度，用新的交叉熵公式測量兩個單值三角Neutrosophic 集之間的差異程度，并提出基于單值三角Neutrosophic交叉熵的TOPSIS方法。

2 相關(guān)概念

2.1 Neutrosophic集

定義1[9]令X 是一個對象（點）集，滿足x ∈X。X上的Neutrosophic 集A是x 屬于A的真實值隸屬函數(shù)TA( x),不確定性隸屬函數(shù)IA( x )和失真值隸屬函數(shù)FA( x)組 成 ，是 ]0-,1+[ 中 的 非 標 準 子 集 ，即TA( x):X →]0-,1+[I,A( x):X →]0-,1+[,FA( x):X →]0-,1。+[由于TA( x)、IA( x)、FA( x )的和沒有限制，因此滿足：

Neutrosophic集A可記為：

定義2[27]令X 是一個對象（點）集，滿足x ∈X。TA( x)、IA( x)、FA( x )退化成[0，1]中的一個精確數(shù)時，則稱 A 為 單 值 Neutrosophic 集 ，且 滿 足0 ≤TA( x )+IA( x )+FA( x )≤3。為 方 便，稱x=( T,I ,F)為 單 值Neutrosophic 數(shù)，其 中T,I,F ∈[ 0,1]，并 且0 ≤T+I+F ≤3。

2.2 單值三角Neutrosophic集

定義3[28]將x 用三角模糊數(shù)表示，令μ,v,γ分 別 是 屬 于[ 0,1 ]區(qū) 間 上 的 精 確 數(shù)，且a1,a2,a3∈R,a1≤a2≤a3，其中μ,v,γ分別表示最大真實值隸屬度、最小不確定性隸屬度和最小失真值隸屬度。則一個單值三角Neutrosophic 數(shù)可以表示為其真實值隸屬函數(shù)，不確定性隸屬函數(shù)和失真值隸屬函數(shù)如下：

定義4[29]設(shè)是兩個單值三角Neutrosophic 數(shù)，則：

（3）運算[19]：

3 單值Neutrosophic交叉熵

3.1 交叉熵

定義5[30]設(shè)A、B 是兩個模糊集，論域為X={x1, x2, …,xn}，則A相對于B的交叉熵為：

基于模糊集交叉熵的定義，Ye[17]在此基礎(chǔ)上進行拓展，提出了單值Neutrosophic集的交叉熵，并將其運用到MCDM 中。Wu 等[18]指出文獻[17]中的交叉熵有缺陷，并據(jù)此提出兩個新的交叉熵測度。設(shè)A、B是兩個單值Neutrosophic集，則公式如下：

上述式子說明了A和B 之間的差異程度，即單值Neutrosophic 集中的差異信息，同時因為ISNS( A,B )無對稱性，則A和B之間的對稱差異信息測度可以表示為：

文獻[18]中的兩個新的交叉熵公式中存在不足，不能處理一些特殊的情況，如果假定δ=( 0,0 ,1 )是最小的單值Neutrosophic 數(shù)，在給定的單值Neutrosophic 數(shù)α和β 時，當α ＞β 時，α 與δ 的對稱差異信息測度應(yīng)該大于β與δ的對稱差異信息測度，但是根據(jù)式（12）、（13）這兩個交叉熵公式測量的結(jié)果剛好相反。正如例1所示：

例1令α=( 0.6 4,0,0.18),β=( 0.6 ,0.23,0.19 )是 兩 個單值Neutrosophic 數(shù)，根據(jù)0.64>0.6，0<0.23，0.18<0.19，可得α ＞β，同時令δ=( 0,0 ,1) 是最小的單值Neutrosophic數(shù)，計 算得出DSNS,1( α,δ )=0.587 5,DSNS,1( β,δ )=1.956 9,DSNS,2( α,δ )=0.841 0,DSNS,2( β,δ )=0.843 5,即

與理論不符，由于α ＞β，α與δ 的對稱差異信息測度應(yīng)該大于β 與δ 的對稱差異信息測度，所以本文在此基礎(chǔ)上對交叉熵公式中不合理的地方進行改進。

3.2 改進的交叉熵

為了克服這個不足，下面對單值Neutrosophic 集中的交叉熵公式中不足的地方進行改進。在證明改進交叉熵公式合理性的過程中，對定理的證明是必要的。

定義6設(shè)A、B是兩個單值Neutrosophic 集，則A相對于B的交叉熵可以表示為：

上述式子說明了A和B 之間的差異程度，即單值Neutrosophic集中的差異信息，同時因為ISTN( A,B )無對稱性，則A和B之間的對稱差異信息測度可以表示為：

對稱差異信息越大，表明A和B之間的差異程度也就越大。

據(jù)此，例1所出現(xiàn)的問題已經(jīng)得到解決，假定δ=( )0,0,1是最小的單值Neutrosophic數(shù)，根據(jù)式（16）、（17）計算得出DSNS,1( α,δ )=4.056 3,DSNS,1( β,δ )=3,974 1,DSNS,2( α,δ )=1.667 7,DSNS,2( β,δ )=1.656 4 同時DSNS,1( α,δ )＞DSNS,1( β,δ),DSNS,2( α,δ )＞DSNS,2( β,δ)。滿足在給定的單值Neutrosophic數(shù)α,β，當α ＞β 時，α與δ的對 稱差異信息測度大于β 與δ的對稱差異信息測度，根據(jù)本文改進后的交叉熵公式，文獻[18]中交叉熵公式中不合理的地方已經(jīng)得到解決，而改進后的交叉熵公式更加符合常理，適用于更多的情況。

假設(shè)A、B 是兩個單值Neutrosophic 集，A、B 之間的對稱差異信息測度為DSTN( )A,B，則下列定理成立：

（1）DSTN,1( A,B)=DSTN,1( B,A)DSTN,2( A,B)=DSTN,2( B,A)

（2）DSTN,1( A,B )≥0(DSTN,1( A,B)=0當且僅當A=B)DSTN,2( A,B )≥0(DSTN,2( A,B)=0當且僅當A=B)

（3）A、B之間的差異越大，則DSTN( A,B )就越大。

很明顯就可以看出定理（1）是成立的，定理（2）、（3）的證明如下。

證明1已知

其 中，x,y ∈[ 0,1],不 論 是x ≥y 還 是x ≤y,都 有f1( x,y )≥0,f2( x,y )≥0 成立。那么A和B 之間的對稱差異測度可以表示為：

由于TA( xi)、TB( xi)、IA( xi)、IB( xi)、FA( xi)、FB( xi)都是[ 0,1 ]之間的精確數(shù)，根據(jù)f1( x,y )≥0,f2( x,y )≥0 可以得到：

成立，進一步可以推導出DSTN,1( A,B )≥0 成立，當且僅當TA( xi)=TB( xi)，IA( xi)=IB( xi)，F(xiàn)A( xi)=FB( xi)時DSTN,1( A,B)=0 成立。

證明2A、B、C 是三個單值Neutrosophic 集，同時滿足 A ≥B ≥C， 則 有 TA≥TB≥TC，IA≤IB≤IC,FA≤FB≤FC那么：

證明可得：

同理可證其他等式關(guān)系也成立，可得，DSTN,1( A,B )≤DSTN,1( A,C),DSTN,1( B,C )≤DSTN,1( A,C)都成立。同理可證，對于DSTN,2等式也成立。

定義7考慮到SVTrN-numbers具有的優(yōu)勢，將本文提出的單值Neutrosophic 集交叉熵引入到單值三角Neutrosophic集中，可得：

4 模型構(gòu)建

步驟1決策矩陣標準化

決策矩陣的信息必須進行標準化，只有標準化之后才可進行如下處理，標準化分為成本準則和效益準則，可以根據(jù)下列公式進行處理[8]：

B、D分別為效益準則集和成本準則集。

步驟2計算正、負理想解

在單值三角Neutrosophic 環(huán)境下，根據(jù)三角Neutro‐sophic數(shù)的大小關(guān)系定義其正理想解和負理想解：

表1 決策矩陣

步驟3根據(jù)式（18）和式（19）分別計算備選方案與正、負理想解之間的交叉熵，交叉熵是用來衡量不同方案之間的對稱差異信息測度，本文在這里用交叉熵來替代備選方案與正負理想解的距離，因為采用距離公式會丟失掉一部分不確定信息，而交叉熵可以有效地衡量信息的模糊性和準則之間的關(guān)聯(lián)性，同時還可以消除距離測度的不利影響，比較適合測量不確定信息和不連續(xù)信息。

步驟4計算相對貼近度

通過式（18）和式（19）可得出不同方案的對稱差異信息測度，根據(jù)其對稱差異信息測度，確定相對貼近度，公式如下：

步驟5排序

根據(jù)相對貼近系數(shù)的大小對方案進行排序。ζ 的值越大，則方案越接近于正理想解，同時越遠離負理想解；反之亦然。

5 算例分析

算例是一個醫(yī)療代表選擇的問題，藥房公司想選擇一名醫(yī)療代表，現(xiàn)有5 個備選者X={ x1, x2,x3,x4,x5}，有三個準則C={c1,c2,c3}，分別代表的是口頭溝通的技巧、從業(yè)的能力和自信程度，準則權(quán)重為W={0.3 ,0.3,0.4}T以此來選擇出最適合的醫(yī)療代表。表1 是決策矩陣D={dij},i=1,2,3,4,5,j=1,2,3，表內(nèi)的每一個數(shù)都是單值三角Neutrosophic 數(shù)，表示的是每個備選者在相應(yīng)準則下的評估值。

步驟1決策矩陣標準化

由于本案例中的三個準則C={c1,c2,c3}，分別代表的是口頭溝通的技巧、從業(yè)的能力和自信程度都是效益準則，不用進行變更。

步驟2計算正、負理想解

根據(jù)式（21）和式（22）計算正、負理想解，結(jié)果如下：

表2 由DSTN,1 得到的結(jié)果

表3 由DSTN,2 得到的結(jié)果

步驟3計算備選方案與正、負理想解之間的交叉熵

根據(jù)DSTN,1分別計算出方案與正、負理想解的對稱差異信息測度及其排序情況如表2所示。

根據(jù)DSTN,2分別計算出方案與正、負理想解的對稱差異信息測度及其排序情況如表3所示。

步驟4計算相對貼近度

由式（23）分別計算各個方案的相對貼近度，結(jié)果見表2和表3。

表4 對于不同方法的結(jié)果

步驟5排序

根據(jù)相對貼近度選出最適合的醫(yī)療代表，不論是表 2，還是表 3，相應(yīng)的排序結(jié)果都為：x4?x5?x2?x3?x1，最適合的是x4，最不適合的是x1。

表4 是本文的方法與現(xiàn)有的不同方法之間比較的結(jié)果。

表4 是基于不同文獻的對稱差異信息測度公式，結(jié)合TOPSIS方法，根據(jù)相對貼近度計算得出的排序結(jié)果，本文的排序與已有方法的排序結(jié)果相比較，最適合的人選都是x4，其他人選的排序結(jié)果略有偏差，但是本文的兩個交叉熵公式的排序結(jié)果是一樣的，驗證了本文改進交叉熵公式的穩(wěn)定性。

6 結(jié)語

單值三角Neutrosophic 集相對于三角模糊數(shù)和單值Neutro‐sophic 集，擁有更多的不確定信息，因此也就能解決三角模糊數(shù)和單值Neutrosophic 集單個所不能解決的問題。本文的主要貢獻：將交叉熵測度引入到單值三角Neutrosophic 集環(huán)境中，并對文獻[18]中有關(guān)交叉熵公式中不合理的地方進行改進，提出新的交叉熵公式，使其適用于更多的情況，并將新的交叉熵公式和TOPSIS方法進行結(jié)合，用于MCDM中。

在未來，由于區(qū)間Neutrosophic 集和單值Neutrosophic 集統(tǒng)稱為簡單Neutrosophic 集，可以試著將三角模糊數(shù)引入到區(qū)間Neutrosophic集中，同時還可以對交叉熵公式的不同形式進行完善和證明。